点位精度评定

点位精度评定 Hanford 2015 年 07 月 14 日 目 录 目 录 第 1 章 点位精度评定...............................................................................................1 1.1 简介..................................................................................................................1 1.2 期望..................................................................................................................1 1.3 方差..................................................................................................................2 1.4 标准差..............................................................................................................2 1.5 协方差..............................................................................................................2 1.6 DRMS...............................................................................................................3 1.7 2DRMS.............................................................................................................3 1.8 CEP...................................................................................................................3 1.9 CEP95...............................................................................................................3 1.10 CEP99.............................................................................................................4 1.11 对比 ................................................................................................................4 1.12 SEP .................................................................................................................4 1.13 误差椭圆........................................................................................................5 1.14 置信椭圆........................................................................................................5 1.15 误差椭球........................................................................................................6 1.16 求解误差椭球................................................................................................7 1.17 置信椭球........................................................................................................8 I 第 1 章 点位精度评定 第 1 章 点位精度评定 1.1 简介 下图显示了一系列的散点。

点位精度评定就是计算一些数值，用来评定这些点的离散程度精度评定数值越小说明点的离散程度越小，精度越高 1.2 期望 上图的圆心和椭圆中心，是散点的真实位置假定其坐标为,xy，那么x就是随机变量y的期望 就是随机变量x的期望，y期望的数值，有可能是已知的，也可能是未知的在未知的情况下，需要对期望进行估值一般情况下，期望的估值采用的是算术平均值，即： 12ˆn xxxx n1 第 1 章 点位精度评定 12ˆn yyyy n1.3 方差 方差用来描述随机变量的离散程度，它的数值越小说明离散度越低 随机变量2xx的方差： var( )ixxn随机变量2var( )iyy yny的方差： 使用的是估计值12ˆn xxxx nxx注意：如果随机变量的期望，则方差的估值为2ˆx1ixn 把n改成1n的原因在于：求出ˆx后，12,,,nx xx的自由度由 n变成了1.4 标准差 中误差，它是方差的平方根，即： 1n标准差也叫随机变量x的标准差： 22ˆ1ixxxn ixx xn或 随机变量y的标准差： 2iyyyn 或 2ˆ1iyyyn 1.5 协方差 随机变量x、之间的协方差： y1xyixiynxy同样的，如果期望和y使用的是估计值，则xyx按下式计算 2 第 1 章 点位精度评定 1ˆ1xyiyxynˆxi1.6 DRMS 离散随机变量 的均方根RMS（Root Mean Square）为： t222 12n ttttRMS n点位误差里的RMS其实是距离均方根差（DRMS） ，即： 22 12ndddDRMS2将n222 iixiydxy代入上式，可得 2222iyixxyyx MSnn DR1.7 2DRMS 双倍距离均方根的计算公式如下： 2DRMS22222xyDRMSDRMS 1.8 CEP CEP（Circular Error Probable）的含义：以,xy圆概率误差为圆心，CEP为半径画一个圆，点落入圆内的概率为50%。

其计算公式如下： 0.589xyCEP 1.9 CEP95 3 第 1 章 点位精度评定 ,xyCEP95（也被称之为R95）的含义：以为圆心，CEP95为半径画一个圆，点落入圆内的概率为95%其计算公式如下： 95 1.2272xyCEP 1.10 CEP99 ：以,xyCEP99的含义为圆心，CEP99为半径画一个圆，点落入圆内的概率为99%其计算公式如下： 991.5222xyCEP 1.11 对比 P95、CEP99之间是有严格的比例关系的；DRMS、2DRMS之间也是有严格的比例关系的；那么CEP与DRMS有什么关系呢？ CEP、CE假定xy，则：0.589 2CEP ，2DRMS此时1.2 CEP DRMS 换句话EP与D1MS 说就是CRMS之间有着近似的转换公式：这几个统计量从小到大依次为：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99 .2DRCEP 以,xy为圆心，各个统计量为半径，点落入这个圆的概率见下表： 统计量 概 率 CEP 50%DRMS 63%~68%CEP95 95%2DRMS 95%~98%CEP99 99%1.12 SEP 4 第 1 章 点位精度评定 ,,xyzSEP的含义：以为球心，SEP为半径画一个圆球，点落入球内的概率为50%。

其计算公式如下： 0.51xyzSEP 1.13 误差椭圆 点位沿着任意方向cossinTl在二维平面内，的方差按下式计算： 2 22cossinxxyT lll22cossinxxyyxyyxy化简后可得： 22 2cos(2)2xy lK上式中 22224xyxKy 22atan2 2,2xyxyatan2, y x表示原点到, x y注意：的方位角 当222xyKEn0, 1, 2, l时（）3,n取最大值； 当取最小值222xy 2nKF 时（）0, 1, 2, 3,n   l就是误差椭圆的长半轴，就是误差椭圆的短半轴，FE这里是长半轴 方位角 1.14 置信椭圆 的长半轴为E、短半轴为的椭圆被称之为标准误差椭圆置信椭圆是标准F5 第 1 章 点位精度评定 误差椭圆的k倍 点落入置信椭圆内的概率为221k e将1k 代入上式可求出点落入标准误差椭圆内的概率为39.35%。

也就是说 置信39.31.15 在三维空间，点位沿着任意方向度5%的置信椭圆就是标准误差椭圆 误差椭球Txyzllll的方差按下式计算： 上式中的2T ll l D222xxyxzyxyyzzxzyzD   是随机变量, ,x y z的方差、协方差矩阵 注意方向 是单位向量，即满足l1Tl l  现在的问题是：2 l何时最大？何时最小？它的实质就是在满足的条件下，求出的极值 1Tl l 2 lTl Dl可根据拉格朗日乘数法求极值，其步骤为：构造拉格朗日函数1TTl Dll l ，然后求解如下方程组： xyz Tllll l     记0001Txyzd dllll（即一个数对一个列向量求导） ，则22dDlldl取极值时00dDE ldl根据上式可知2 l 6 第 1 章 点位精度评定 0DE ll是与是矩阵D的特征值，而满足的对应的特征向量的特征值和特征向量后，矩阵是由特征值组成的对角阵，即1Tl l 表示需要将特征向量单位化。

求出矩阵D可被对角化，即： DTDPP上式中1 23  。