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1、11中国矿业大学徐海学院概率论与数理统计概率论与数理统计主讲： 彭红军主讲： 彭红军中国矿业大学徐海学院中国矿业大学徐海学院考研数学基础班考研数学基础班2中国矿业大学徐海学院第三讲多维随机变量及其分布第三讲多维随机变量及其分布 考试要求考试要求 1. 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布 的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、 边缘分布和条件分布，理解二维连续型随机变量的概率 密度、边缘密度和条件密度.会求与二维随机变量相关事 件的概率. 2. 理解随机变量的独立性及不相关的概念，掌握随机变 量相互独立的条件. 3. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的概率密度， 理解其中
2、参数的概率意义 . 4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独 立随机变量简单函数的分布.3中国矿业大学徐海学院1 联合分布函数联合分布函数?( , ),F x yP Xx Yy=121122( ,),nnnF x xxP Xx XxXx=?21(,)xy22(,)xy12( ,)x y11( ,)x yy2x1x1y2y0x1212,P xXxyYy时，时，21(, )(, )F xyF xy对任意固定的对任意固定的x，当，当21yy时，时，21( ,)( ,)F x yF x y0( , )1F x y(,)0F =( , )F x y关于关于, x y右连续，即右连续，即( ,
3、 )(0, )F x yF xy=+, 0),(= yF, 0),(=xF. 1),(=+F,( , )( ,0)F x yF x y=+5中国矿业大学徐海学院2 二维二维离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量6中国矿业大学徐海学院2 二维二维离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量若若( , )f x y在点在点( , )x y连续，则有连续，则有2( , )( , )F x yf x yx y= (, )( , ),GPX YGf x y dxdy=?二维连续型随机变量在任何曲线上的概率为二维连续型随机变量在任何曲线上的概率为0.27中国矿业大学徐海学院2 二维二维离散型与连续型
4、随机变量离散型与连续型随机变量二维均匀分布二维均匀分布()的密度函数为，如果二维随机变量YXAD其面积为是平面上的有界区域，设()上的均匀分布服从区域，则称二维随机变量DYX()() ()= DyxDyxAyxf ， 01?8中国矿业大学徐海学院2 二维二维离散型与连续型随机变量离散型与连续型随机变量?二元正态分布二元正态分布 ()的密度函数为，随机变量设YX()XY则称随机变量，服从二维正态分布，记作()()()()()() + =2 22 22121 2 12 1 22 212 121exp121 yyxrx rryxf，()()22 1212,XYNr，()21，=+ii11r9中国矿业
5、大学徐海学院3 边缘分布边缘分布?边缘分布函数边缘分布函数 ( )XFx),( +=xF=)(yFY),(yF+离散型随机变量的边缘分布律离散型随机变量的边缘分布律?iipP Xx=i,1=jjiyYxXP=1jjip1jji j ipP Yyp=i连续型随机变量的边缘概率密度连续型随机变量的边缘概率密度?( )( , )Xfxf x y dy=( )( , )Yfyf x y dx=10中国矿业大学徐海学院4 条件分布条件分布?,ijij iji j jjP Xx YyppP Xx YyP Yyp=i ,ijij jij i iiP Xx YyppP Yy XxP Xxp=i离散型随机变量连
6、续型随机变量离散型随机变量连续型随机变量( , )()( )Y X Xf x yfy xfx=( , )()( )X Y Yf x yfx yfy=11中国矿业大学徐海学院5 随机变量的独立性随机变量的独立性?XY与随机变量相互独立,则随机变量相互独立,则)()(),(yFxFyxFYX=对于离散型的随机变量对于离散型的随机变量,两随机变量独立的充要条件两随机变量独立的充要条件=,jiyYxXPji,jiyYPxXP=对于连续型的随机变量对于连续型的随机变量,两随机变量独立的充要条件两随机变量独立的充要条件)()(),(yfxfyxfYX=?以上独立的充要条件对以上独立的充要条件对n个随机变量
7、的情形同样成立。个随机变量的情形同样成立。12中国矿业大学徐海学院6 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布离散型离散型?设离散型随机变量设离散型随机变量),(YX的分布律为的分布律为?,2,1,=jipyYxXPjiji设设),(yxgz =为二元函数，为二元函数，jijipyxgZP=),(?, 2 , 1,=ji则有则有313中国矿业大学徐海学院6 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布连续型连续型Z = X+Y 的分布的分布?+=dyyyzfzfZ),()(+=dxxzxf),(特别地特别地,当当X 与与Y 相互独立时相互独立时,有有( )()( )ZXYfzfzyfy d
8、y+=( )()XYfxfzx dx+=上式称为上式称为XYff与的卷积公式的卷积公式 ,记为记为XYffnXXX,21?若随机变量相互独立，并且若随机变量相互独立，并且 ),(2 kkkNX(1 , 2 ,)kn=?),(12211 =nkkknkkknkkkNXZ,则则?14中国矿业大学徐海学院6 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布连续型连续型Z = X/Y 的分布的分布?( )(, )Zfzf yz y dy+=特别地特别地,当当X 与与Y 相互独立时相互独立时,有有( )()( )ZXYfzfyzfy dy+=15中国矿业大学徐海学院6 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数
9、的分布连续型连续型?M= max(X,Y )，N= min(X,Y ) (随机变量相互独立）随机变量相互独立）( )( )( )MXYFzFzF z=( )1 1( )1( )NXYFzFzF z= = 推广 当推广 当12,nX XX?独立同分布时，随机变量独立同分布时，随机变量( )( ) , in MXFzFz= =( )1 1( ) in NXFzFz= = 12max(,),nMX XX=?12min(,)nNX XX=?的分布函数为的分布函数为16中国矿业大学徐海学院6 例题例题17中国矿业大学徐海学院18中国矿业大学徐海学院419中国矿业大学徐海学院20中国矿业大学徐海学院21中国矿业大学徐海学院22中国矿业大学徐海学院23中国矿业大学徐海学院24中国矿业大学徐海学院525中国矿业大学徐海学院26中国矿业大学徐海学院27中国矿业大学徐海学院28中国矿业大学徐海学院29中国矿业大学徐海学院
