问题引导思维_动态演绎精彩_一道习题探究教学案例设计

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1、高中版高中版2014 年 4 月教材 教法案例点评“数学是思维的体操， 问题是数学的心脏” .问题是引发学生思维与探究活动的向导， 是学生课堂学习活动的载体， 能有效地激发学生的好奇心和求知欲.通过问题， 可以把知识的逻辑结构与学生的思维过程有机地联系起来，使知识的逻辑结构转化为学生的认知结构.通过问题， 能使学生主动探究发现数学的内在规律， 认识与理解数学的本质.新课标指出：“动手实践， 探索交流是学生学习数学的重要而有效的方式， 学生的数学学习活动是一个动态的、 活泼的、 富有个性的 再创造 过程.” 叶澜教授曾提倡：“用动态生成的观念，重新全面地认识课堂教学， 构建新的课堂教学观， 使课

2、堂焕发生命活力.” 因此， 在数学教学， 特别是习题探究课的教学中， 要注重问题设计的整体性、 层次性和探究性， 通过问题串的设计来体现低起点、 小坡度、 密台阶， 符合学生的认知规律.让学生在问题串的引导下， 可以自主学习， 同时， 问题间的适度思维差又能激发学生合作探究的兴趣.笔者在每一单元授课结束后， 都安排一节习题探究课， 让学生在低起点、 小坡度、 密台阶的问题串下自然地探究学习.下面的案例是笔者在教学椭圆单元后的一节习题课探究的教学设计.一、教学简述题目设点A， B的坐标分别为 （-5， 0 ） ，（5， 0 ） ， 直线AM， BM相交于点M， 且它们的斜率之积为-4 9， 求点

3、M的轨迹方程.题目给出后， 全班学生几乎都不屑一顾， 这不是前面已做过的一道例题吗？答案我们都没忘记， 点M的轨迹方程是x2 25+y2 100 9=1 （x5 ） .是的， 不过老师今天不是让你们去重复昨天的故事， 而是想通过这道题目带着大家去继续探索研究， 发现更多更有价值的问题， 弄清试题的本质， 从中感悟数学的真谛 （同学们都笑了 ） .教师： 你能通过观察从试题的条件和所求出的结果中， 提出一般性的问题吗？学生1： 设点A， B的坐标分别为 （-a， 0 ） ，（a， 0 ） ， 直线AM， BM相交于点M， 且它们的斜率之积为-b2 a2， 求点M的轨迹方程.众生： 点M的轨迹方程

4、为x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） （xa ） .教师： 把上述试题看作命题， 从逆向思考问题的视角出发， 你能提出一个新的问题并且会验证它成立吗？学生2：（口述 ） 设点A， B分别为椭圆E：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） 长轴的左右顶点， 点M （不同于点A， B ） 为椭圆E上一点， 则kMA kMB=-b2 a2.学生共同完成证明过程如下：由已知易得A （-a， 0 ） ， B （a， 0 ） ， 设点M （x0， y0） ， 则x20 a2+y20 b2=1， 即y20=-b2 a2（x20-a2） .于是kMA kMB=y0 x0+ay0 x0-a=y20x20-

5、a2=-b2 a2， 从而命题是真命题.教师： 上面的问题中， 点A， B是椭圆E长轴的两个顶点时成立， 那么， 换成短轴的两个顶点时， 是否有同样的结论呢？众生： 我们通过验证， 也有同样的结论.此时， 同学们激情高昂， 渴望更多， 更有价值的新问题， 新结论出现， 教师趁热打铁.教师： 结合上面的问题， 谁还能提出新的问题或猜想？同学们积极思考， 同桌交流， 组内合作探讨， 大约过了3分钟的时间， 便有同学举手发言.学生3： 我由学生2和您刚提出的问题受到启发， 提问题引导思维， 动态演绎精彩一道习题探究教学案例设计筅宁夏彭阳县第三中学王伯龙16高中版高中版2014 年 4 月教材 教法案

6、例点评出一个猜想 （口述） ： 点A， B， M是椭圆E：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） 上不同的三点， 若kMA kMB=-b2 a2， 则点A， B的连线过椭圆的中心O.学生4： 受学生3提出的猜想的启发， 从逆向思维的视角思考问题的方法， 我也提出一个猜想 （口述） ： 过原点O的直线l交椭圆E：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） 于点A， B， M （不同于点A， B ） 为椭圆E上一点， 则kMA kMB=-b2 a2.教师： 很好， 你们不负众望， 老师为你们骄傲 （掌声鼓励 ） .为了研究问题的方便， 把学生3， 学生4提出的猜想分别记为， .刚才两位同学提出了两

7、个猜想， 既然是猜想， 当然需要我们去验证.教师用 “几何画板” 演示， 给学生直观、 动态的感受.从动态的演示中， 同学们欣喜若狂发现他们的猜想是成立的.经过师生共同的参与研究， 完成猜想的验证过程如下：为了方便， 记kMA=k， 设M （x0， y0） ， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ，则直线MA： y-y0=k （x-x0） .由方程组y-y0=k （x-x0） ，b2x2+a2y2=a2b22，消去y整理得x的一元二次方程 （b2+a2k2） x2+2a2k （y0-kx0） x+a2 （y0-kx0）2-b2 =0， 因为方程有一个根为x=x0， 由根与系数 间

8、的 关 系 得 x0+x1=2a2k （kx0-y0） a2k2+b2， 所 以 x1=a2k2x-2a2ky0-b2x0 a2k2+b2， 代入得y1=b2y0-a2k2y0-2b2kx0 a2k2+b2.又由kMAkMB=-b2 a2得kMB=-b2 a2k，所以将方程组中的k换成-b2 a2k， 解得x2=-a2k2x0+2a2ky0+b2x0 a2k2+b2， y1=-b2y0+a2k2y0+2b2kx0 a2k2+b2.于是x1+x2=0， y1+y2=0，所以点A， B关于原点O对称，故A， B的连线过椭圆的中心O.对于猜想学生求解的思路是：当l为椭圆E的长、 短轴所在的直线时，

9、前面已知.这里只写出不是长、 短轴的情形.设M （x0， y0） ， A （x1， y1） ， B （x2， y2） ， 直线l： y=kx.由方程组y=kx，b2x2+a2y2=a2b22，消去y得 （a2k2+b2） x2-a2b2=0， 所以x1+x2=0， x1x2=-a2b2 a2k2+b2.于是有y1+y2=0， x1x2=-k2a2b2 a2k2+b2.所以kMAkMB=（y2-y0） （y1-y0） （x2-x0） （x1-x0）=y1y2- （y1+y2） y0+y20x1x2- （x1+x2） x0+x20=-b2（y20-k2x20）a2（y20-k2x20）=-b2 a

10、2（注意到b2x20+a2y20=a2b2） .综上， 猜想成立.教师： 大家已验证了猜想是成立的， 那么把我们的研究成果形成结论， 不妨分别叫做结论1和结论2.请大家仔细观察图1，老师过椭圆的中心O作OPMA交MB于点P， 结合结论1和结论2， 你有什么新的发现吗？学生5： 我发现了点P是线段MB的中点， 且kOP kMB=-b2 a2（表述理由的过程此处略 ） .教师： 好！ 看来大家也能像数学家一样， 发现数学问题得出数学结论 （学生脸上露出了微笑 ） .那么， 我们就把学生的发现形成下面的结论：结论3AB是中心为O的椭圆E：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ）的弦， 点P是AB的中

11、点， 则kOP kMB=-b2 a2.二、体验高考经过一番探究后， 在大家都为自己的探究兴奋不已时， 笔者顺势抛出了下面的三道练习题：题1 （2013年全国高考大纲卷理科第8题） 椭圆C：x2 4+y2 3=1的左、 右顶点分别分A1、 A2， 点P在C上， 且直线PA2的斜率的取值范围是 -2， -1 ， 那么直线PA1的斜率的取值范围是 （） .A.1 2，34B.3 8，34C.1 2，1D.3 4，1题2 （2013年全国高考新课标卷理科第10题） 已知椭圆E：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） 的右焦点为F （3， 0 ） ， 过点F的直线交E于A， B两点.若AB的中点坐标为

12、 （1， -1 ） ， 则E的方程为 （） .A.x2 45+y2 36=1 B.x2 36+y2 27=1 C.x2 27+y2 18=1 D.x2 18+y2 9=1题3 （2010年全国高考数学上海卷理科第23题 ） 已知椭圆T：x2 a2+y2 b2=1 （ab0 ） ， 点P的坐标为 （-a， b ） .（ ） 略.（） 设直线l1： y=k1x+p交椭圆T于C、 D两点， 交直线l2： y=k2x于点E.若k1k2=-b2 a2， 证明： E为CD的中点.yBxPMOA图 117高中版高中版2014 年 4 月（1 ） 求证： 直线EF/面ACD； （2 ） 求证： 面EFC面BC

13、D. BEACDF图 2 在解题过程中， 相同的， 也有定义法和建立直角坐 标系法两种， 要证明两平面垂直， 首先就得明白： 两个 平面相交， 如果所成的二面角是直二面角， 那么这两个 平面互相垂直.如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线， 那么这两个平面互相垂直.如果一个平面垂直 于两个平行面中的一个， 那么， 也垂直于另一个平面. 当然，也可以同样通过以D为原点建立直角坐标 系， 通过求两个平面的法向量， 当两个平面的法向量数 量积为0时， 那么两个平面相互垂直. 4.复习课的设计要以学生为主体，引导学生进行有 效复习与巩固 在高中数学复习阶段，复习时更应该以学生为主 体.在讲授新课时，

14、多以教师的讲授和学生的被动接受 为主要方式， 但是， 在复习时就应该打破这样的模式， 教 师在这一过程中， 应当以学生为主， 尽可能地让学生自己去回忆和思考以前所学的知识，在学生想不起来时， 再予以提醒和指点.然后， 在学生对知识有了印象之后， 再将前后的知识连贯起来， 突出新的知识点.最后， 再在 新知识的基础上， 出练习题， 让学生练习.这样， 学生不 仅不会觉得复习课无聊， 相反， 他们还会觉得复习课有 新的知识点， 更有乐趣， 而且， 综合的练习题对于学生而 言， 更有挑战性， 更能激发学生学习和练习的积极性.二、总结传统高中数学课的复习主要以题海战术和教师讲 述为主， 在目前的教育环

15、境下， 所取得的效果不是非常 理想.因为这样的复习课无法使学生拥有学习的兴趣和 积极性， 相反， 还会打消他们学习数学的热情.所以， 高 中数学复习课教学设计的创新是一个重要的环节， 对学 生复习效果有着举足轻重的影响.只有创新的、 新颖的 复习课设计才能提高学生的积极性， 复习效果才会更为 理想.参考文献： 1.朱彤.从几个案例谈高中数学复习课教学设计的创新J.成功（教育），2012（3）. 3.吕增锋.切口宜求小，视角力求新数学复习课教学“新思维”J.教学时空（论教谈学），2012（8）.FH教材 教法案例点评（ ） 略. 很快， 有学生结合结论得出了题1， 题2的选项分别 为B和D.对于

16、题3， 当大家正在激烈地进行代数运算时， 平时爱思考的学生6给出了简洁证法：证明：过点C作CGl2交椭圆T于点G， 由k1k2=-b2 a2得k1kCG=-b2 a2， 由结论1知原点O为GD的中点， 所以E为CD的中点. 课堂在一片热烈的掌声中落下了帷幕.三、教后反思本节课迎合新课程理念， 不仅圆满地完成了预期的 课堂教学任务， 更重要的是达到了以下的效果. （1 ） 给学生留出了时间， 留出了空间， 提供了体验和 领悟的机会， 通过问题串的引领， 让学生经历了数学认 知的过程， 让学生大胆地猜想， 感悟数学问题的产生原 本就是那么的自然、 合理、 简单， 自己通过努力也能发现 和解决， 从心理上消除了数学难学的困惑. （2 ） 调动了学生探究学习的热情， 激发了学生的求 知欲和进取精神， 学习潜力也得到了挖掘， 正所谓 “知之者不如好之者， 好之者不如乐之者” .也增强了课堂教学 活力， 提高了教学效率. 教材凝聚了专家们的心智， 教材中的