《2015高三数学:导数压轴题题型归纳》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2015高三数学:导数压轴题题型归纳(34页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第 1 页 共 34 页 导数压轴题题型归纳导数压轴题题型归纳 1. 高考命题回顾高考命题回顾 例例 1 已知函数 f(x)exln(xm)(2013 全国新课标卷) (1)设 x0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性; (2)当 m2 时,证明 f(x)0. 例例 2 已知函数 f(x)x2axb,g(x)ex(cxd),若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y4x+2(2013 全国新课标卷) ()求 a,b,c,d 的值 ()若 x2 时, ( )( )f xkg x,求 k 的取值范围。 例例 3 已知函数)(xf满足
2、21 21)0() 1 ( )(xxfefxfx(2012 全国新课标) (1)求)(xf的解析式及单调区间; (2)若baxxxf2 21)(,求ba) 1( 的最大值。 例例 4 已知函数ln( )1axbf xxx,曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy。(2011 全国新课标) ()求a、b的值; ()如果当0x ,且1x 时,ln( )1xkf xxx,求k的取值范围。 例例 5 设函数2( )1xf xexax (2010 全国新课标) (1)若0a ,求( )f x的单调区间; (2)若当0x 时( )0f x ,求a的取值范围 例例 6 已知函数 f(x)
3、(x3+3x2+ax+b)ex. (2009 宁夏、海南) (1)若 ab3,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明 6. 2. 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论 (1)曲线( )yf x在0xx处的切线的斜率等于0()fx,且切线方程为 000()()()yfxxxf x。 (2)若可导函数( )yf x在 0xx 处取得极值,则0()0fx。反之,不成立。 (3)对于可导函数( )f x,不等式( )fx00()的解集决定函数( )f x的递增(减)区间。 (4)函数( )f x在区间 I 上递增(减)的充要条
4、件是:xI ( )fx0( 0)恒成立(( )fx 不恒为 0). (5)函数( )f x(非常量函数)在区间 I 上不单调等价于( )f x在区间 I 上有极值,则可等价转化为方程( )0fx在区间 I 上有实根且为非二重根。(若( )fx为二次函数且 I=R, 则有0 ) 。 (6) ( )f x在区间 I 上无极值等价于( )f x在区间在上是单调函数,进而得到( )fx0或( )fx0在 I 上恒成立 (7)若xI ,( )f x0恒成立, 则min( )f x0; 若xI ,( )f x0恒成立, 则max( )f x0 (8)若0xI, 使得0()f x0, 则max( )f x0
5、; 若0xI, 使得0()f x0, 则min( )f x0. (9)设( )f x与( )g x的定义域的交集为 D,若xD ( )( )f xg x恒成立,则有 min( )( )0f xg x. (10)若对11xI、22xI ,12( )()f xg x恒成立,则minmax( )( )f xg x. 第 2 页 共 34 页 若对11xI,22xI,使得12( )()f xg x,则minmin( )( )f xg x. 若对11xI,22xI,使得12( )()f xg x,则maxmax( )( )f xg x. (11)已知( )f x在区间1I上的值域为 A,,( )g x在
6、区间2I上值域为 B, 若对11xI,22xI,使得1()f x=2()g x成立,则AB。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点,则方程( )0fx有两个不等实根12xx、,且极大值大于 0,极小值小于 0. (13)证题中常用的不等式: ln1 (0)xxx ln+1(1)xx x () 1xex 1xex ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx3. 题型归纳题型归纳 导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用 例例 7(构造函数,最值定位)(构造函数,最值定位)设函数 21xf xxekx(其中k R). () 当1k 时,求函数 f x的单调区间; () 当1,
7、12k时,求函数 f x在0,k上的最大值M. 例例 8(分类讨论,区间划分)(分类讨论,区间划分)已知函数3211( )(0)32f xxaxxb a,( )fx为函数( )f x的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是33yx,求, a b的值; (2)若函数( )( )axg xefx,求函数( )g x的单调区间. 例例 9(切线)(切线)设函数axxf2)(. (1)当1a时,求函数)()(xxfxg在区间 1 , 0上的最小值; (2) 当0a时, 曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l,l与x轴交于点)0 ,(
8、2xA求证:axx21. 例例 10(极值比较)(极值比较)已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR 当0a 时,求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2 3a 时,求函数( )f x的单调区间与极值. 例例 11(零点存在性定理应用)(零点存在性定理应用)已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe 若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -,求函数 (x)的单调区间; 设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0,f (x0)处的切线,证明:在区间(1,+)上存在唯一的x0,使得直线
9、 l 与曲线 y=g(x)相切 例例12(最值问题,两边分求)(最值问题,两边分求)已知函数1( )ln1af xxaxx()aR. 当1 2a时,讨论( )f x的单调性; 设2( )24.g xxbx当1 4a 时,若对任意1(0,2)x ,存在21,2x ,使12( )()f xg x,求实数b取值范围. 例例13(二阶导转换)(二阶导转换)已知函数xxfln)( 1 x x + 第 3 页 共 34 页 若)()()(RaxaxfxF ,求)(xF的极大值; 若kxxfxG2)()(在定义域内单调递减,求满足此条件的实数 k 的取值范围. 例例 14(综合技巧)(综合技巧)设函数1(
10、)ln ().f xxax aRx讨论函数( )f x的单调性; 若( )f x有两个极值点12,x x, 记过点11( ,( ),A xf x22(,()B xf x的直线斜率为k,问: 是否存在a,使得2ka?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由. 交点与根的分布交点与根的分布 例例 15(切线交点)(切线交点)已知函数 323,f xaxbxx a bR在点 1,1f处的切线方程为20y 求函数 f x的解析式; 若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有12f xf xc,求实数c的最小值; 若过点若过点2,2Mmm 可作曲线可作曲线 yf x的三条切线,求实数的三条切线
11、,求实数m的取值范围的取值范围 例例 16(根的个数)(根的个数)已知函数xxf)(,函数xxfxgsin)()(是区间-1,1上的减函数. (I)求的最大值; (II)若 1 , 11)(2xttxg在上恒成立,求 t 的取值范围; ()讨论关于()讨论关于 x 的方程的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数的根的个数 例例 17(综合应用)(综合应用)已知函数.23)32ln()(2xxxf求 f(x)在0,1上的极值; 若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式 成立,求实数 a 的取值范围; 若关于 x 的方程bxxf2)(在0,1上恰有两个不同的实根,求实数 b 的
12、取值范围. 不等式证明不等式证明 例例 18(变形构造法变形构造法)已知函数1)(xax ,a 为正常数 若)(ln)(xxxf,且 a29 ,求函数)(xf的单调增区间; 在中当0a时, 函数)(xfy 的图象上任意不同的两点11, yxA,22, yxB, 线段AB的中点为),(00yxC,记直线AB的斜率为k,试证明:)(0xfk 若)(ln)(xxxg,且对任意的2 , 0,21xx,21xx ,都有1)()(1212 xxxgxg,求 a的取值范围 例例 19(高次处理证明不等式高次处理证明不等式、取对数技巧、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf . (1)若2)(
13、xxf对任意的0x恒成立,求实数a的取值范围; 第 4 页 共 34 页 (2)当1a时,设函数xxfxg)()( ,若1),1 ,1(,2121xxexx ,求证4 2121)(xxxx例例 20(绝对值处理)(绝对值处理)已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点,且在1x处取得极大值 (I)求实数a的取值范围; (II)若方程9) 32()(2axf恰好有两个不同的根,求)(xf的解析式; (III)对于(II)中的函数)(xf,对任意R、,求证:81| )sin2()sin2(|ff 例例 21(等价变形)(等价变形)已知函数xaxxfln1)()aR ()讨论函数)(xf在定
14、义域内的极值点的个数; ()若函数)(xf在1x处取得极值,对x ),0(,2)( bxxf恒成立, 求实数b的取值范围; ()当20eyx且ex 时,试比较xy xy ln1ln1 与的大小 例例 22(前后问联系法证明不等式)(前后问联系法证明不等式)已知217( )ln , ( )(0)22f xx g xxmxm ,直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切,且与函数( )f x的图像的切点的横坐标为 1。 (I)求直线l的方程及 m 的值; (II)若( )(1)( )()h xf xg x其中g(x)是g(x)的导函数,求函数( )h x的最大值。 (III)当0ba时,求证:()(2 ).2baf abfaa例例 23(整体把握,贯穿全题整体把握,贯穿全题)已知函数ln( )1xf xx (1)试判断函数( )f x的单调性; (2)设0m,求( )f x在 ,2 mm上的最大值; (3)试证明:对任意*nN,不等式11ln()enn nn都成立(其中e是自然对数的底数) 例例 24(化简为繁,统一变量化简为繁,统一变量)设aR,函数( )lnf xxax. ()若2a ,求曲线( )yf x在1, 2P处的切线方程; ()若( )f x无零点,求实数