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1、第 1 页 共 34 页 导数压轴题题型归纳导数压轴题题型归纳 1. 高考命题回顾高考命题回顾 例例 1 已知函数 f(x)exln(xm)（2013 全国新课标卷） (1)设 x0 是 f(x)的极值点，求 m，并讨论 f(x)的单调性； (2)当 m2 时，证明 f(x)0. 例例 2 已知函数 f(x)x2axb，g(x)ex(cxd)，若曲线 yf(x)和曲线 yg(x)都过点 P(0，2)，且在点 P 处有相同的切线 y4x+2（2013 全国新课标卷） （）求 a，b，c，d 的值 （）若 x2 时, ( )( )f xkg x，求 k 的取值范围。 例例 3 已知函数)(xf满足
2、21 21)0() 1 ( )(xxfefxfx（2012 全国新课标） (1)求)(xf的解析式及单调区间； (2)若baxxxf2 21)(，求ba) 1( 的最大值。 例例 4 已知函数ln( )1axbf xxx，曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程为230xy。（2011 全国新课标） （）求a、b的值； （）如果当0x ，且1x 时，ln( )1xkf xxx，求k的取值范围。 例例 5 设函数2( )1xf xexax （2010 全国新课标） (1)若0a ，求( )f x的单调区间； (2)若当0x 时( )0f x ，求a的取值范围 例例 6 已知函数 f(x)
3、(x3+3x2+ax+b)ex. （2009 宁夏、海南） (1)若 ab3,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在(,),(2,)单调增加,在(,2),(,+)单调减少,证明 6. 2. 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论 (1)曲线( )yf x在0xx处的切线的斜率等于0()fx，且切线方程为 000()()()yfxxxf x。 (2)若可导函数( )yf x在 0xx 处取得极值，则0()0fx。反之，不成立。 (3)对于可导函数( )f x，不等式( )fx00（）的解集决定函数( )f x的递增（减）区间。 (4)函数( )f x在区间 I 上递增（减）的充要条
4、件是：xI ( )fx0( 0)恒成立（( )fx 不恒为 0）. (5)函数( )f x（非常量函数）在区间 I 上不单调等价于( )f x在区间 I 上有极值，则可等价转化为方程( )0fx在区间 I 上有实根且为非二重根。（若( )fx为二次函数且 I=R， 则有0 ） 。 (6) ( )f x在区间 I 上无极值等价于( )f x在区间在上是单调函数，进而得到( )fx0或( )fx0在 I 上恒成立 (7)若xI ，( )f x0恒成立， 则min( )f x0; 若xI ，( )f x0恒成立， 则max( )f x0 (8)若0xI， 使得0()f x0， 则max( )f x0
5、； 若0xI， 使得0()f x0， 则min( )f x0. (9)设( )f x与( )g x的定义域的交集为 D，若xD ( )( )f xg x恒成立，则有 min( )( )0f xg x. (10)若对11xI、22xI ，12( )()f xg x恒成立，则minmax( )( )f xg x. 第 2 页 共 34 页 若对11xI，22xI，使得12( )()f xg x,则minmin( )( )f xg x. 若对11xI，22xI，使得12( )()f xg x，则maxmax( )( )f xg x. （11）已知( )f x在区间1I上的值域为 A,，( )g x在
6、区间2I上值域为 B， 若对11xI,22xI，使得1()f x=2()g x成立，则AB。 (12)若三次函数 f(x)有三个零点，则方程( )0fx有两个不等实根12xx、，且极大值大于 0，极小值小于 0. (13)证题中常用的不等式: ln1 (0)xxx ln+1(1)xx x （） 1xex 1xex ln1(1)12xxxx 22ln11(0)22xxxx3. 题型归纳题型归纳 导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用 例例 7（构造函数，最值定位）（构造函数，最值定位）设函数 21xf xxekx(其中k R). () 当1k 时,求函数 f x的单调区间; () 当1,
7、12k时,求函数 f x在0,k上的最大值M. 例例 8（分类讨论，区间划分）（分类讨论，区间划分）已知函数3211( )(0)32f xxaxxb a,( )fx为函数( )f x的导函数. (1)设函数f(x)的图象与x轴交点为A,曲线y=f(x)在A点处的切线方程是33yx,求, a b的值; (2)若函数( )( )axg xefx,求函数( )g x的单调区间. 例例 9（切线）（切线）设函数axxf2)(. （1）当1a时，求函数)()(xxfxg在区间 1 , 0上的最小值； （2） 当0a时， 曲线)(xfy 在点)(,(111axxfxP处的切线为l，l与x轴交于点)0 ,(
8、2xA求证：axx21. 例例 10（极值比较）（极值比较）已知函数22( )(23 )(),xf xxaxaa exR其中aR 当0a 时，求曲线( )(1,(1)yf xf在点处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当2 3a 时，求函数( )f x的单调区间与极值. 例例 11（零点存在性定理应用）（零点存在性定理应用）已知函数( )ln , ( ).xf xx g xe 若函数 (x) = f (x)1 1x x+ -，求函数 (x)的单调区间； 设直线 l 为函数 f (x)的图象上一点 A(x0，f (x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线
9、 l 与曲线 y=g(x)相切 例例12（最值问题，两边分求）（最值问题，两边分求）已知函数1( )ln1af xxaxx()aR. 当1 2a时，讨论( )f x的单调性； 设2( )24.g xxbx当1 4a 时，若对任意1(0,2)x ，存在21,2x ，使12( )()f xg x，求实数b取值范围. 例例13（二阶导转换）（二阶导转换）已知函数xxfln)( 1 x x + 第 3 页 共 34 页 若)()()(RaxaxfxF ，求)(xF的极大值； 若kxxfxG2)()(在定义域内单调递减，求满足此条件的实数 k 的取值范围. 例例 14（综合技巧）（综合技巧）设函数1(
10、)ln ().f xxax aRx讨论函数( )f x的单调性； 若( )f x有两个极值点12,x x， 记过点11( ,( ),A xf x22(,()B xf x的直线斜率为k,问： 是否存在a，使得2ka？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 交点与根的分布交点与根的分布 例例 15（切线交点）（切线交点）已知函数 323,f xaxbxx a bR在点 1,1f处的切线方程为20y 求函数 f x的解析式； 若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,x x都有12f xf xc，求实数c的最小值； 若过点若过点2,2Mmm 可作曲线可作曲线 yf x的三条切线，求实数的三条切线
11、，求实数m的取值范围的取值范围 例例 16（根的个数）（根的个数）已知函数xxf)(，函数xxfxgsin)()(是区间-1，1上的减函数. （I）求的最大值； （II）若 1 , 11)(2xttxg在上恒成立，求 t 的取值范围； （）讨论关于（）讨论关于 x 的方程的方程mexxxfx2)(ln2的根的个数的根的个数 例例 17（综合应用）（综合应用）已知函数.23)32ln()(2xxxf求 f(x)在0,1上的极值； 若对任意03)(ln|ln|,31,61xxfxax不等式 成立，求实数 a 的取值范围； 若关于 x 的方程bxxf2)(在0，1上恰有两个不同的实根，求实数 b 的
12、取值范围. 不等式证明不等式证明 例例 18(变形构造法变形构造法)已知函数1)(xax ，a 为正常数 若)(ln)(xxxf，且 a29 ，求函数)(xf的单调增区间； 在中当0a时， 函数)(xfy 的图象上任意不同的两点11, yxA，22, yxB， 线段AB的中点为),(00yxC，记直线AB的斜率为k，试证明：)(0xfk 若)(ln)(xxxg，且对任意的2 , 0,21xx，21xx ，都有1)()(1212 xxxgxg，求 a的取值范围 例例 19(高次处理证明不等式高次处理证明不等式、取对数技巧、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2aaxxxf . （1）若2)(
13、xxf对任意的0x恒成立，求实数a的取值范围； 第 4 页 共 34 页 （2）当1a时，设函数xxfxg)()( ，若1),1 ,1(,2121xxexx ，求证4 2121)(xxxx例例 20（绝对值处理）（绝对值处理）已知函数cbxaxxxf23)(的图象经过坐标原点，且在1x处取得极大值 （I）求实数a的取值范围； （II）若方程9) 32()(2axf恰好有两个不同的根，求)(xf的解析式； （III）对于（II）中的函数)(xf，对任意R、，求证：81| )sin2()sin2(|ff 例例 21（等价变形）（等价变形）已知函数xaxxfln1)()aR （）讨论函数)(xf在定
14、义域内的极值点的个数； （）若函数)(xf在1x处取得极值，对x ),0(,2)( bxxf恒成立， 求实数b的取值范围； （）当20eyx且ex 时，试比较xy xy ln1ln1 与的大小 例例 22（前后问联系法证明不等式）（前后问联系法证明不等式）已知217( )ln , ( )(0)22f xx g xxmxm ，直线l与函数( ), ( )f x g x的图像都相切，且与函数( )f x的图像的切点的横坐标为 1。 （I）求直线l的方程及 m 的值； （II）若( )(1)( )()h xf xg x其中g(x)是g(x)的导函数，求函数( )h x的最大值。 （III）当0ba时，求证：()(2 ).2baf abfaa例例 23(整体把握，贯穿全题整体把握，贯穿全题)已知函数ln( )1xf xx （1）试判断函数( )f x的单调性； （2）设0m，求( )f x在 ,2 mm上的最大值； （3）试证明：对任意*nN，不等式11ln()enn nn都成立（其中e是自然对数的底数） 例例 24(化简为繁，统一变量化简为繁，统一变量)设aR,函数( )lnf xxax. （）若2a ，求曲线( )yf x在1, 2P处的切线方程； （）若( )f x无零点,求实数
