再论按椭球面法线投影的方法和应用

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1、再论按椭球面法线投影的方法和应用再论按椭球面法线投影的方法和应用 施一民施一民1,2陈月梅陈月梅1(1.同济大学 测量系,上海 200092；2.现代工程测量国家测绘局重点实验室上海,200092 ) 摘摘 要：要： 对于作者所曾提出的按单幅图并按椭球面法线投影的方法，本文就 1：50000 图幅再进行数据验证，不仅各类投影变形仍然很小，而且由对“田“字形的 4 个图幅的拼接数据的分析和处理，论证了实现无缝拼接的条件和可行性。为了能对跨越两个以上的 1:50000 图幅之间的点进行精确的量度，推证出由平面直角坐标反推大地经纬度的严密转换式，实现了由二维平面坐标经由三维直角坐标再到大地经纬度的转

2、换。 关键词： 关键词： 地图投影；投影变形；切割平面；椭球面法线；图幅拼接 The Method and Application of Map Projection according to the Normal of the Ellipsoidal Surface SHI Yi-min Chen Yue-mei (1 Department of Surveying, Tongji University, Shanghai, 200092,China ； 2. Key Laboratory of Modern Engineering Surveying ,State Bureau of Su

3、rveying and Mapping, Shanghai, 200092, China) Abstract: A new map projection according to the normal of ellipsoid surface at any point in each map sheet has been proposed. The results of the data verification about 1:50000 map sheets indicate that the projection distortions are also very small, and

4、there are some advantages for putting four map sheets together. To measuring two points which are in different map sheets , the formulas, which can transform from plane rectangular coordinate to the geodetic coordinate, are given. Key words: Key words: map projection；projection distortion；secant fac

5、et; normal of ellipsoidal surface; map sheet splice 1 引言 1 引言 采用现有的多达数百种的地图投影方法， 都不能从根本上减小可观的投影变形， 仅可消 除单项的角度或面积变形，而以增大另一类变形为代价。也还存在着折衷于两者之间的任意 投影，其中的等距离投影也只是体现在所限定的某一组特定主方向上。为了限制投影变形， 只能实施分带投影，由于采用了较大的投影区域，在边缘处地图投影变形自然就相当大。为 了减小长度投影变形，作者在文献1中提出了一种新的地图投影方法，用多个连续吻合的 平面图幅（等腰梯形）来切割椭球面，将各投影区域分别限定在单幅图内，即

6、按某一比例尺 地图图幅规定的经差和纬差构成规则的经纬网格， 分别对每一网格按某种纯几何方式进行投 影，为此文献1设想了四种投影方式，这类投影方法其实也属于多面体投影。国际百万分 之一地图所采用的投影也是将每幅图均单独投影的多面体投影， 但采用的是改良多圆锥投影 或等角圆锥投影2 ，其投影公式是按其投影方式和限制投影变形的条件来确定的。 基金项目：国家自然科学基金资助项目(40471114) ,地球空间环境与大地测量教育部重点实验室开放基金 资助项目（03-04-02） 作者简介：施一民(1942- ), 男 ,浙江宁波人, 教授，博士生导师。E-mail: 在作者所提出的这类多面体投影中，并未

7、人为地附加上限制某类投影变形的数学条件, 1 http:/ 但因平面图幅上的 4 个图廓点本就是椭球面上相应经纬网格的 4 个角点， 在从椭球面到平面 的投影中， 其本身点位并无变动， 而其间的 6 条边从椭球面到平面所发生的变形即为弦弧差, 显然极其微小。文献3 采用了类似于楔形的投影方式，亦即椭球面上同纬度的点子均以该 纬线所在平面与椭球短轴交点为投影中心来投影到所在的切割平面。 其优点是能使纬线族投 影为平行直线，经线族投影为向北收敛的斜直线(对于北半球)，且减小了最大的长度投影变 形,但它并非是等角投影，角度变形还是偏大了些。 把投影范围限制在单幅图内，这就为减小投影变形创造了前提,

8、为使各类投影变形更 小， 文献4提出了按各点的椭球面法线方向投影的方法， 并推证了投影公式。但如此投影后， 因各投影平面在切割椭球面时并不在同一个平面上， 就会产生一些前所未有的新问题， 需予 以研究解决。 2 对按椭球面法线方向投影公式和坐标原点取值的分析 2 对按椭球面法线方向投影公式和坐标原点取值的分析 文献4 推证得出了由椭球面上一点 P 的大地经纬度(B，L)按法线方向投影为平面图幅 上一点 P的平面直角坐标(x，y)的投影公式，在此归结如下: = WSBSL snsyx()() ()() + +10002/sin2/cos02/cos2/sin001102WEWEWEWEZZLLL

9、LLLLL vv() () ()()()+ SSWSSWSSBeNBteNLBNLBtNLBNLBtNsin1sin1sincossincoscoscoscoscos22(1) 式 (1) 中 222/ZYXZZVVVVv+= (2) 而为投影平面法线向量的三个分量，可由所取的经纬网格线的大地经纬度L(T ZYXVVV)W， LE ，BS ，BBN 求得 SSEWSSNNXBNLLeBNBNVcos)sin)(sin1)(sinsin(2= SSWESSNNYBNLLeBNBNVcos)sin)(sin1)(sinsin(2= ()SSWESSNNZBNLLBNBNVcossin)sinsin

10、(= (3) 而 t 的绝对值即是点 P 与点 P之间的距离，可由经纬网格角点的经纬度及待投影点的大地 经纬度(B，L) 求得 ()() ()()()()122sinsincoscoscossin1sin1sincossincoscoscoscoscos+=BVLBVLBVBeNBeNVLBNLBNVLBNLBNVtZYXSSZWSSYWSSX(4) 由文献4的推证过程可知，各图幅内所定义的平面直角坐标系是以南图廓线为横坐标 轴 y ，正向指东；与其正交的方向为 x 轴方向，正向指北。并且作为坐标原点的西南图廓 点(WS)的平面坐标取值为 2 http:/ = WSBSLWSWS snsyx(

11、5) 式(5)中, () WSBLss为西南图廓点的新大地纵横坐标, 为南边纬线的长度归化因子Sn5 00cos/cosBNBNnWSS= (6) B0 和BW分别为新大地坐标系中起始纬线和西南图廓点的纬度，N0和NS分别为其相应的卯酉 线曲率半径。由式(5)和(6)并顾及新大地横坐标的定义式，则有 ()()7coscoscoscos0 00000LLBNBNBNLLBNyWWSWS WWS=( ) 每幅图的西南图廓点的平面坐标统一赋值为椭球面上相应的经纬网格西南角点至起始 纬线的子午线长度sL和至起始经线的平行圈上的长度NS cos BW(LW L0 )， 这样就基于新大地 坐标将各图幅西南

12、图廓点保持在切割椭球面时的相对位置。 为作进一步的考察，对“田”字形的 4 幅 1:50000 图按式（1）来计算各图廓点的平面 坐标，计算结果如表 1 所示。在此，新大地坐标系原点取为No.1 图幅的西南点，其B0=53 35, L0=121。若将这四个图幅看成在同一个平面坐标系，则从表 1 所得的坐标数据似乎 也可部分地得到印证： 左右两图幅的南或北图廓线均成一直线， 遂使各图幅的坐标轴互相平 行； 任一图幅的西南图廓点(WS)和东南图廓点(ES)的平面坐标均分别与东西方向的相邻接图 幅的公共图廓点的平面坐标相同；而南北方向相邻接图幅的公共图廓点的平面纵坐标也相 同。然而四个图幅的同名图廓

13、点上的坐标并不完全相同：在东西向相邻接时，No.1 图幅的 东北图廓点(EN)的平面横坐标与No.2 图幅的西北图廓点(WN)的平面横坐标相差了 65.216m ，No.3 图幅与No.4 图幅的该同名点也相差了 65.357m；在南北向相邻接时，No.1 图幅的西北(东北)图廓点的平面横坐标与No.3 图幅的西南(东南)图廓点的平面横坐标都相差 了 32.601m ，No.2 图幅与No.4 图幅的两对同名图廓点都相差了 97.804m。由于各图幅西南 图廓点的平面坐标是按其在椭球面上的位置来赋值， 因此各图幅显然不在同一平面， 各图幅 所相应的平面直角坐标系也不相同。 如果作为同一个平面坐

14、标系来看待， 这就在相邻图幅之 间产生较大的裂隙而影响拼接，值得注意的是，相邻图幅间的公共图廓线长度仍保持相等， 这就为通过坐标转换实现相邻图幅间的拼接创造了有利条件。 表 1：田字形的 4 幅 1:50000 图的各图廓点的平面纵横坐标 表 1：田字形的 4 幅 1:50000 图的各图廓点的平面纵横坐标 图幅号(点号) x Y 图幅号(点号) x Y NO.3(WS) 18549.805 0.000 NO.4(WS) 18549.805 16492.020 NO.3(ES) 18549.805 16492.007 NO.4 (ES) 18549.805 32984.027 NO.3(WN)

15、 37100.095 32.672 NO.4 (WN) 37100.095 16524.692 NO.3(EN) 37100.095 16459.335 NO.4 (EN) 37100.095 32951.355 NO.1(WS) 0.000 0.000 NO.2(WS) 0.000 16557.223 NO.1(ES) 0.000 16557.220 NO.2(ES) 0.000 33114.433 NO.1(WN) 18549.770 32.601 NO.2(WN) 18549.770 16589.824 NO.1(EN) 18549.770 16524.608 NO.2(EN) 18549.770 33081.831 3 http:/ 图 1 “田”字形四个图幅按同一平面坐标系拼接的示意图 图 1 “田”字形四个图幅按同一平面坐标系拼接的示意图 3. 单幅图内投影变形的数据验证： 由文献4的数