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1、1.解（1）1 （2）25 （3）15 （4）T)3, 1, 1, 2(151 |=。 2.解 先正交化 T) 1 , 1 , 1 (11=，TTT) 1 , 0, 1() 1 , 1 , 1 (36)3, 2, 1 (,1 1121 22=， TTTT)31,32,31() 1 , 0 , 1(28) 1 , 1 , 1 (314)9, 4, 1 (, ,2 2232 1 1131 33=，再单位化，Te)31,31,31(|11 1=，Te)21, 0,21(|22 2=， Te)61,62,61(|33 3=。 3. 证明 由已知可得1= AAT，1= BBT，而111)()(=ABAB
2、ABABTTT，故AB也是正交阵 4. 证明 由已知可得1= AAT，而11)()()()(=AAAATT，故A也是正交阵 5.解 （1） 由)3)(3)(1 ( 136014021+= EA 可得A的特征值为3, 3, 1321=， 当11=时，解0)(=xEA， 由 =000020012036024020EA得一组基础解系 = 1001， 对应于11=的所有的特征向量为11k（01k） 。 当32=时，解0)3(=xEA， 由 =0002300112360440223EA得一组基础解系=132322， 对应于32=的所有的特征向量为22k（02k） 。 当33=时，解0)3(=+xEA，
3、由 =+0004600124360240243EA得一组基础解系=132313， 对应于33=的所有的特征向量为33k（03k） 。 （2）由2)1)(4(211121112= EA 可得A的特征值为1, 4321=， 当41=时，解0)4(=xEA， 由 =0001101212111211124EA得一组基础解系 =1111， 对应于41=的所有的特征向量为11k（01k） 。 当132=时，解0)(=xEA， 由 =000000111111111111EA得一组基础解系 = =101,01132， 对应于132=的所有的特征向量为3322kk+（32,kk不全为零） 。 6. 证明 由于E
4、AEAEATT=)(，故TA与A有相同的特征值。 7. 解 由113377+=+x得3=x， 当321=时，解0)3(=xEA， 由 =0001801440441441443EA得一组基础解系=181811， 对应于321=的所有的特征向量为11k（01k） 。 当113=时，解0)11(=xEA， 由 =00020014484414414411EA得一组基础解系 =0112， 对应于113=的所有的特征向量为22k（02k） 。 8. 解 由已知可得A的特征值为1, 2 , 2，EAA23+的特征值为3 , 3, 1， 923=+EAA。 9. 解 由已知可得AAA7523+的特征值为6 ,
5、 3 , 3，187523=+AAA。 10. 证明 由于0A，故A可逆，且1111)()(=ABAAABAAAB，故AB与BA相似。 11. 解 由2)1)(2(163053064+= EA 可得A的特征值为1, 2321=， 当21=时，解0)2(=+xEA， 由 =+0003300113630330662EA得一组基础解系 =1111， 当132=时，解0)(=xEA， 由 =000000063063063063EA得一组基础解系 = =100,01232， 取 =101011021P，则P可逆，且 =1121APP。 12. 解 （1）由 =+=+bAaba4) 1(62241 可得6
6、, 5=ba。 （2）当221=时，解0)2(=xEA， 由 =0000001113332221112EA得一组基础解系 = =101,01121， 当63=时，解0)6(=xEA， 由 =0004601111332221156EA得一组基础解系=132313， 取=11032013111P，则P可逆，且BAPP=1。 13. 解 (1) 由2)4)(2(310130004= EA 可得A的特征值为4, 2321=， 当21=时，解0)2(=xEA， 得一组基础解系 =1101，单位化得=212101e， 当432=时，解0)4(=xEA， 得一组基础解系 = =110,00132，正交化、单
7、位化得=21210, 002132ee， 取=21021210210210P，则P是正交矩阵，且 =4421APP。 (2) 由)2)(4)(1 ( 20212022+= EA， 可得A的特征值为2, 4, 1321=， 当11=时，解0)(=xEA，得一组基础解系 =12111，单位化得=3231321e， 当42=时，解0)4(=xEA，得一组基础解系 =1222，单位化得=3132322e， 当23=时，解0)2(=+xEA，得一组基础解系= 11213，单位化得=3232313e， 取=32 31 3232 32 3131 32 32P，则P是正交矩阵，且 =2411APP。 14.
8、解 取, 212122221),(321 =pppP则 =1011APP。 由,92 91 9291 92 9292 92 91100010001100010001212122221 )|( =EP 得, 212122221911=P所以= =032 3232 310320311011PPA。 15. 解 由)1)(1)(5( 122221212+= EA， 可得A的特征值为1, 1, 5321=， 当51=时，解0)5(=xEA，得一组基础解系 =1111， 当12=时，解0)(=xEA，得一组基础解系 =0112， 当13=时，解0)(=+xEA，得一组基础解系 =2113， 取 =201
9、111111P，则P可逆，且= =1151APP。 由,31 61 61021 2131 31 31100010001100010001201111111 )|( =EP 得, 211033222611=P 而 =21103322261) 1(15201111111 )(11kkkkkkPPPPA + =kkkkkkkkkkkkkkkkkk) 1(452) 1(252) 1(252) 1(2523) 1(523) 1(52) 1(2523) 1(523) 1(5261， 设891056)(xxxx+=，则0)5(=，12) 1(=，所以 = =+=844422422124122122122121212212126156)(8910AAAA。
