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1、教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 1 页 共 6 页 教案：闭区间上教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义积分的实际来源及数学定义 课程： 数学分析（） （一年制，面对力学类等）课程： 数学分析（） （一年制，面对力学类等） 1. 知识点（教学内容及其目标概述） 本知识点：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义。主要内容分为：Riemann积分定义的四要素：分割、选取、求和、求极限的实际来源。Riemann 积分的极限定义，可有 Cauchy 叙述、Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理三种等价性叙述。基于实际问题，给予分析事例以
2、展示 Riemann 积分分析理论的特质。 2. 知识要素（教学内容细致目录） 本知识点，包括如下知识要素： Riemann 积分定义的实际来源 oabo1iR iR1:iii1,iiixyab1ii我们的目标为计算上图所示的曲边扇形的面积。对此，基本的想法为： 1. 分割。对曲边扇形进行分割。对现有情形，可以角度进行划分，亦即对,ab 进行分割： 01: aiiNbP 对分割P，引进其模的定义： 1maxii NP 。 2. 选取。对每一块，实际也是曲边扇形，由此我们考虑用“规则”的几何形状来近似实际的形状。对现有情形，我们取1,iii，以 iR为半径，角度跨度为1,ii的扇形作为第i块曲边
3、面积的近似 21:2iiiSR。 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 2 页 共 6 页 3. 求和。累加各块近似值，我们有： 2 2111, ,22NNiii iiRPSR ，称为部分和。至此，我们提供部分和 2 , ,2RP 作为原曲边扇形的面积。 4. 求极限。类比于数列极限的引入，我们希望，定义在,ab 上的函数 22R，具有行为： S 。对0 ，0，成立： 2 ,2RPS ，P 上述行为不受限于相对P的选取，亦即对于任意的选取都成立上述行为。 如果上述行为成立，则表明：当分割的模足够小，部分和（不受限于选取）将趋近一个固定的数。我们希望将此固定的数作为对曲边
4、扇形真实面积的计算。 需指出，上述“分割选取求和求极限”的数学建模过程适用于诸多数学及非数学的研究与应用情形，如计算曲线的长度（弧长） ，旋成体的侧面积，做功等等。这些，构成了Riemann 积分定义的实际来源。 Riemann 积分的定义 对 :,f xa bxf x，具有如下行为： Cauchy 叙述 S 。对0 ，0，成立*： ,fxPS，P Heine 叙述 S 。对 nnP，0nP ，成立： ,nnfxPS，P。 此处nn为相对于分割族 nnP的任意的选取族。 类比于函数极限的 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述，可证明二者等价。由此，函数 f x在闭区间,a b上的部分和极限
5、，记为： 0lim, Pf PS ，理解为 Cauchy 叙述或者Heine 叙述。 进一步，我们可以引入： Cauchy 收敛原理 * 对选取不作说明，则指选取可以任意。以下同。 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 3 页 共 6 页 0, 0 ，成立：, ,f Pf PPP可证明，Cauchy 收敛原理等价于 Cauchy 叙述以及 Heine 叙述。 定理： 0lim, , Pf PS 等价于 Cauchy 收敛原理 分析： 当已有 Cauchy 收敛原理，亦即： 0, 0 ，成立：, ,f Pf PPP则有： 对0nP，有,nnnnf PSf PS，以下证：S
6、S。 考虑： 221, 2:, 21k nkas nkas nk 则有：,nnf PS， 进一步有：222,kkkf PSS，212121,kkkf PSS。 上述结论说明： 0,nnnPf PS对有，S不依赖于选取； 0,nnnPf PS对有，S不依赖于选取。以下证：SS考虑： 221, 2:, 21k nkPas nkP Pas nk ，0,nnnPf PS易见故有，S不依赖于选取。 进一步考虑到：222,kkkf PPSS，212121,kkkf PPSS。即得证。 综上，我们可以 Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理理解部分和极限，亦即Riemann 可积性
7、。 Riemann 积分的基本分析性质 1. 有界性是 Riemann 可积的必要性条件，但非充分。 ,f xR a b,则有 f x在, a b上有界。 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 4 页 共 6 页 2. 有限个离散点上的改变不影响 Riemann 积分。 xyoab1cjc lc水 渠1jxjx fx gx现需计算上述土地的面积，因灌溉之需在某些位置1jcjl上开有水渠（设水渠足够狭窄） 。我们考虑的近似面积为： 1, ,Nii ifgxPfgx。 现有“困惑” （称为阿基米德的困惑） ，当1,jkkcxx（最多属于一个闭子区间） ，对此 0:0kkkj
8、 kkk kjfgxascSfgxasc从近似角度而言， 对于含有水渠的闭子区间， 是否计及其面积 “似乎” 对近似值的影响很大？对此“困惑” ，在极限观点下得以解决：对于含有水渠的闭子区间，是否计及其面积都有相同的极限值。对此，我们归纳如下的数学性质： ,f xR a b， *f xasxxf xCasxx，则有： 0lim,bPaf Pfx dx 分析： 首先，由于 ,f xR a b，故 f x在, a b上有界，由此易见 f x在, a b上有界。 然后，估计 ,bbaaf Pfx dxf Pf Pf Pfx dx由于： ,f xR a b，即有（按部分和极限的 Cauchy 叙述）
9、： 对0 ，0，成立： , ,baf Pf x dx，P 估计：设*1,kkxxx 此处仅考虑了一个间断点，有限个间断点情况，可以逐个考虑或直接进行估计。 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 5 页 共 6 页 1,* ,2 max sup,Niiikkk ii kkkk a bf Pf PffxffxffxfxCP综上，即可得证。 3. 课时安排 本知识点，共计安排 2 课时： 第 1 课时：Riemann 积分定义的实际来源； Riemann 积分的定义（Cauchy 叙述，Heine叙述） 第 2 课时： Riemann 积分的定义（Cauchy 收敛原理） ；
10、Riemann 积分的基本分析性质 4. 讲述特点及追求效果 我们将数学作为认识自然及非自然世界的系统的思想及方法，而非仅是逻辑过程。故在教学过程中，需要三个过程：实践中所需研究的对象（背景） ；基于此些对象的共性形成“数学定义” 。通过数学逻辑研究数学定义，亦即数学分析过程；并获得相关数学结论，反映为所定义事物的性质或定理。数学结论“反馈”至实际对象，以期获得对实际对象更新或更深入的认识。 上述三个过程对应 “数学建模数学分析指导实际” ，亦可称为“数学实验” 。基于上述理念，我们需要细致说明，Riemann 积分的实际来源，相关研究对象的共性为“分割选取求和求极限”的数学建模过程。 Rie
11、mann 积分概念的引入，往往基于闭区间上某函数同坐标轴所夹曲边梯形的面积。本教案，特别设计以平面曲边扇形的面积计算作为研究对象，以期消除“分割选取求和求极限”的数学建模过程仅限于曲边梯形面积计算的误解。实际上述建模过程具有极其广泛的应用背景，远不止限于力学、物理学等学科。 强调 Riemann 积分的本质为“部分和极限”部分和的一种“逼近行为” ，对其认识有Cauchy 叙述，Heine 叙述以及 Cauchy 收敛原理，三者等价。此部分所涉及的分析思想及方法基本上完全类比于函数极限的相关分析，故可作为实践“温故而知新”的极佳机会。 作为初步的体会，引入“阿基米德的困惑” ，将问题的“解决”提炼为 Riemann 积分的相关性质，并得以证明，以初步展现 Riemann 积分的特质“局部改变不影响整体” 。需指出，在微积分层面，我们仅处理有限离散间断的情形，进一步可有测度意义上的间断。 教案：闭区间上 Riemann 积分的实际来源及数学定义 第 6 页 共 6 页 5. 教学方式 全程脱稿板书。
