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1、重积分重积分（小结小结） 1、 二重积分二重积分： 01( , )lim( ,)niii iDf x y df （1） 二重积分的计算-化为二次积分 直角坐标系直角坐标系：2211( )( )( )( )( , )( , ), ( , )( , ).xxbdDaxDcxf x y ddxf x y dyf x y ddyf x y dx极坐标系极坐标系：21( )( )( , )( cos , sin ).rDrf x y ddf rrrdr注： 二重积分化为极坐标下的二次积分， 由两个条件决定： 区域条件： 当积分区域为圆形、扇形及环形区域或它们的部分区域；函数条件：( , )f x y含有
2、22xy；当上述两条件满足时， 化为极坐标运算更简便。 当上述两条件均不满足时， 可在直角坐标系下计算二重积分。 （2） 几何意义 ( , )0f x y 时，( , )Df x y d表示以( , )zf x y为顶，积分区域D为底的曲顶柱体的体积； ( , )1f x y 时，( , )Df x y d表示积分区域D的面积。 （3） 对称性 奇偶对称性： 设积分区域D关于y轴对称， 则12( , ), (, )( , ); ( , ) 0, (, )( , ) . DDf x y dfx yf x y f x y d fx yf x y 其中1D是D在y轴右侧的部分：1( , )0Dx y
3、D x； 设积分区域D关于x轴对称，则22( , ), ( ,)( , ); ( , ) 0, ( ,)( , ) . DDf x y df xyf x y f x y d f xyf x y 其中2D是D在x轴上方的部分：2( , )0Dx yD y。 轮换对称性：设区域D关于yx对称，则( , )( , ).DDf x y df y x d2、 三三重积分重积分： 01( , , )lim( ,)niiii if x y z dvfv （1） 三重积分的计算-化为三次积分 直角坐标系直角坐标系： 投影法（先一后二法） ： 222xy111( , )( )( , )DXxoy( , )( )
4、( , )( , , )( , , )( , , )xyzx yyxzx ybDzx yayxzx yf x y z dvdxdyf x y z dzdxdyf x y z dz视为 型向面投影22xy11( )( , )DY( )( , )( , , ).xyzx ydcxyzx ydydxf x y z dz视为 型222xz111( , )( )( , )DXxoz( , )( )( , )( , , )( , , )( , , )xzyx zzxyx zbDyx zazxyx zf x y z dvdxdzf x y z dydxdzf x y z dy视为 型向面投影22xz11(
5、)( , )D( )( , )( , , )xzyx zfexzyx zdzdxf x y z dy视为Y型222111( , )( )( , )DXyoz( , )( )( , )( , , )( , , )( , , )yzyzxy zzyxy zdDxy zczyxy zf x y z dvdydzf x y z dxdydzf x y z dx视为 型向面投影2211( )( , )D( )( , )( , , )yzzyxy zfezyxy zdzdyf x y z dx视为Y型截面法（先一后二法） ( )( )( )zzffeDeDf z dvdzf z dxdyf z dzdxd
6、y ， 其中zD为用过(0,0, ) z且平行于xoy面的平面去截所得截面； ( )( )( )xxbbaDaDf x dvdxf x dydzf x dxdydz ，其中xD为用过( ,0,0)x且平行于yoz面的平面去截所得截面； ( )( )( )( )yyddcDcDf y dvdyf y dxdzf y dyf y dxdz ， 其中yD为用过(0, ,0)y且平行于xoz面的平面去截所得截面。 柱面坐标系柱面坐标系：2211( )( , )( )( , )( , , )( cos , sin , )rzrrzrf x y z dvddrf rrz rdz； 球面坐标系球面坐标系：
7、2211( )( , ) 2( )( , )( , , )( cos sin , sinsin ,cos )sinrrf x y z dvddf rrrdr . 注：计算三重积分( , , )f x y z dv应选用何种方法主要取决于积分区域的形状，其次是被积函数的特征。 选用柱面坐标计算法：(a)区域条件：积分区域 在坐标面上的投影为圆形、扇形及环形区域或它们的部分区域；(b)函数条件：( , , )f x y z含有与22xy相关的项。 选用球面坐标计算法：(a)区域条件：积分区域为球形、或球形的一部分；(b)函数条件：( , , )f x y z含有与222xyz相关的项。 选用截面法
8、（先二后一） ：(a)区域条件：积分区域被平行与坐标面的平面去截时，截得的截面面积可求；(b)函数条件：( , , )f x y z仅为一个变量的函数。 若上述方法都不易计算，则可以考虑投影法（先一后二）计算。 （2） 几何意义： 当( , , )1f x y z 时，( , , )f x y z dvdv表示积分区域的体积。 （3） 奇偶对称性 设积分区域关于xoy面对称，则 12( , , ), ( , ,)( , , ); ( , , ) 0, ( , ,)( , , ) . f x y z dv f x yzf x y z f x y z dv f x yzf x y z 其中1是在x
9、oy面上方的部分：1( , , )0x y zz ； 设积分区域关于yoz面对称，则 22( , , ), (, , )( , , ); ( , , ) 0, (, , )( , , ) . f x y z dv fx y zf x y z f x y z dv fx y zf x y z 其中2是在yoz面前方的部分：2( , , )0x y zx ； 设积分区域关于xoz面对称，则 32( , , ), ( , )( , , ); ( , , ) 0, ( , )( , , ) . f x y z dv f xy zf x y z f x y z dv f xy zf x y z 其中3是在xoz面右方的部分：3( , , )0x y zy 。
