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1、Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 1 耶鲁大学公开课：博弈论 习题集 1（第 1-3 讲内容） Ben Polak, Econ 159a/MGT522a. 由人人影视博弈论制作组 Darrencui 翻译 1. 严格劣势策略与弱劣势策略： 严格劣势策略与弱劣势策略：严格劣势策略的定义是什么？弱劣势策略的定义是什么？ 请用 一个包含两个参与人的博弈矩阵来举例说明，要求其中一个参与人有三个策略且三者之一为严格劣势策略；另一个参与人有三个策略但三者之一为弱劣势策略。请指出你所举例子中的劣势策略。 2.迭代剔除（弱）劣势策略：迭代剔除（弱）劣势策略：
2、请看下面的博弈 2 l c r T 1,1 0,1 3,1 1 M 1,0 2,2 1,3 D 1,3 3,1 2,2 (a). 这个博弈中是否存在严格劣势策略和弱劣势策略？如果存在，请指出并说明。 (b). 剔除掉严格劣势策略和弱劣势策略之后，在简化的博弈中是否还有劣势策略呢？如果是，请 指出并说明。最后哪些策略不会被剔除呢？ (c). 回顾你第一次剔除劣势策略时哪些策略是劣势策略并给出解释。把它与第二次剔除的劣势策 略作比较。从中你能得出关于迭代剔除劣势策略的何种结论？ 3. 霍特林的选址博弈（也称霍特林模型）：霍特林的选址博弈（也称霍特林模型）：回顾一下课堂中所讲的选票博弈。其中有两个参
3、与 人，每个参与人都从集合 * +中选出自己的立场。这十个立场均分全部的选票。选民 把选票投给与自己立场最接近的候选人。如果两个候选人站在同一个立场上，那么持该立场选民 的选票平均分给每个候选人。候选人想要最大化自己的得票率。举例来说， ( ) 。而( ) 提示：回答这道题时不必画出整个矩阵 (a).课堂中我们指出立场2严格优于立场1，而实际上还有其它的立场也是严格优于立场1的，请找 出所有优于立场1的立场并作出解释。 (b).假设现在有三名候选人。举例来说， ( ) 而 ( ) 。此时立场2是否严格 优于立场1？立场3呢？请作出解释。另外，假设我们剔除了立场1和10，但是该立场的选票依然存
4、在。在简化的博弈中，立场2是否严格劣于或弱劣于其它（纯）策略 ？请作出解释。 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 2 4. “到底谁的话语权更重”“到底谁的话语权更重”：由三人组成的评审委员会要决出一场全国艺术大赛的冠军。经过激 烈的讨论之后，有三名选手进入最后的获奖候选人名单，分别是：一名画城市中的羚羊的女画家、 一名做铅盒的男工匠、一名做根雕的男雕塑家。不妨称这三个选手分别为 a、d、c，三名评审委 员为 1、2、3。评审委员有如下偏好：评审委员 1 认为 a 优于 b，b 优于 c；评审委员 2 认为 c 优 于 a，a 优于 b。委员
5、3 认为 b 优于 c，c 优于 a。比赛规则规定，如果评审委员意见不统一时，需 要进行保密投票，每位评审委员只能投一票。如果仍出现平局，评审委员 1 的投票将决定哪位选 手能够获奖。咋一看，评审委员 1 似乎掌握了更多的话语权。 (a).仔细分析一下这个投票博弈。每位评审委员都有 3 个策略：a、b、c。对于每一位评审委员来 说，有严格劣势策略或是弱劣势策略吗？提示：在讨论评审委员 1 的时候请仔细考虑。想要回答 本题，并不需要知道确切的收益，任何符合评审委员偏好顺序的收益都满足题意，并且你也不需 要画出整个矩阵 (b).假设我们剔除了所有的劣势策略。请指出这种情况下，对于每位评审委员来说哪
6、些策略是弱 劣势策略和严格劣势策略？请预测一下投票的结果，然后把它和评审委员 1 的偏好进行比较，你 会发现什么？请作答。 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 1 耶鲁大学公开课：博弈论 习题集 2（第 4-5 讲内容） Ben Polak, Econ 159a/MGT522a. 由人人影视博弈论制作组 Darrencui 翻译 1. 回顾罚球的案例： 回顾罚球的案例：裁判判罚给参与人 1 一次点球的机会，参与人 1 即将执行判罚。她有三种射 门路径：左路、中路、右路。参与人 2 是门将。他可以选择防守左路、中路或者右路。两名参与人的行为同时发
7、出。收益（以达成目概率的十倍计算）如下： 2 l m r L 4,6 7,3 9,1 1 M 6,4 3,7 6,4 R 9,1 7,3 4,6 (a). 对于每一个参与人来说，有哪个策略严格劣于另一个（纯）策略吗？ (b). 在对参与人1的策略存在何种信念下，参与人2会觉得策略m是最佳对策？在对参与人2的策略 存在何种信念下，参与人1会觉得策略M是最佳对策？提示：本题不需要绘制三维图像！ (c). 假设参与人 2 站在参与人 1 的立场上思考后发现，无论参与人 1 存在何种信念，她都会选择 改信念下的最佳对策。在这种情况下，参与人 2 是否应该选择策略 m 呢？ (d). 这个博弈是否存在（
8、纯策略）纳什均衡？ 2.回顾合伙人案例（Watson 书中习题）：回顾合伙人案例（Watson 书中习题）：回顾一下我们在第四讲中提到的商业合伙人的案例。两 名律师合伙开了一家律师事务所并且平分收益。每名律师都要各自打算一下自己要为事务所付出多少劳动。事务所的收入按照如下公式计算： ，其中 、 分别表示律师 1 和 律师 2 付出的劳动量。参数 反映了两人的协同效果：一名律师付出越多的辛劳，合伙人就会获得越多的收益。假设 并且 。两名律师的收益分别是： 其中 表示劳动的成本（注意：边际成本递增）。假设这家律师事务所没有其它的开销。在课堂上我们论证了，理性策略（即迭代剔除非最佳对策后剩余的策略）
9、是 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 2 (a). 假设两名律师达成一致，决定两个人都付出一样多的劳动，并通过合同的形式规定了劳动量 的指标。如果他们想要最大化净收益（即收益减去劳动成本），他们应该在合同中规定各自付出 多大的劳动量 呢？这与课堂上得出的理性策略的劳动量相比有什么不同？提示：为了解题方 便，可以暂时考虑 b=0 的特殊情况 (b). 假设第(a)题中的合同只对合伙人2有约束力，即合伙人2需要按照要求中的 付出等量的劳 动，而合伙人1可以任意在0,4的劳动量中自由选择。合伙人1会选择付出多少劳动呢？这与和 有什么不同吗？请给出简
10、明的解释。 (c). 回到最开始的博弈状态，假设现在 ，即合伙人的辛勤劳动起到了反协同效果。求出 这种情况下的最佳对策函数，并绘制相应的函数图像，找出这种情况下对应的理性策略。把它与 (a)中的指标作比较。提示：并不需要重做(a)的全部过程 3. 纳什均衡与迭代剔除（Gibbons教科书上的习题）：纳什均衡与迭代剔除（Gibbons教科书上的习题）：请看下面的这个博弈： L C R T 2,0 1,1 4,2 M 3,4 1,2 2,3 B 1,3 0,2 3,0 (a). 哪些策略不会被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？ (b). 找出此博弈的（纯策略）纳什均衡 (c). 请尽可能详尽地解释说
11、明，通常情况下（并不要局限于此博弈），组成纳什均衡的策略是否 无法被迭代剔除严格劣势策略的过程剔除？ 4. 分钱计划（Gibbons 教科书中习题）分钱计划（Gibbons 教科书中习题）：参与人 1 和参与人 2 因为如何分配 10 美元的问题争执 不休。每个参与人都说出了一个自己预期金额 ，该金额在 0 到 10 之间且允许出现小数。两人需 要同时做出选择。参与人的收益就是她分得的钱款。这个博弈有两条规则。无论按哪条规则来分 钱，如果出现 的情况，每人获得自己的预期金额，剩余的钱款被销毁。 (a).第一条规则是，如果 ，那么每个参与人都一无所获并且钱会被销毁。这种情况下的（纯策略）纳什均衡
12、是什么？ (b).第二条规则是，如果 ，并且每个人的预期金额是不同的，那么预期金额最小的参 与人分得等值的钱款而剩余的钱款归另一个参与人。如果 ，并且 ，那么每个人 都分得 5 美元。这种情况下的（纯策略）纳什均衡是什么？ (c).假如我们为前两条规则增加一个限制条件，即预期金额必须是整数。这是否会改变前两条规 则下的（纯策略）纳什均衡？ Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 1 耶鲁大学公开课：博弈论 习题集 3（第 6-7 讲内容） Ben Polak, Econ 159a/MGT522a. 由人人影视博弈论制作组 Darrencui 翻译
13、线性城市模型：差异产品的价格竞争： 在课堂中我们学到了两种双寡头垄断竞争模型：古诺（产量）竞争模型和伯川德（价格）竞争模 型。把企业间的竞争考成价格竞争的情况似乎更合情合理一些，然而古诺的结论却比伯川德的结 论更令人信服。在这次习题集中我们来探讨一下第三种寡头竞争模型。和伯川德模型类似，这个 模型中两家公司会进行价格竞争而非产能竞争。但与伯川德模型的不同之处在于，本模型中两家 公司的产品并不是同质产品。用经济学的行话来说，产品之间是存在差异的。这次我就不在板书 上给大家讲解如何分析这个模型了，各位不妨独自求索。大家也不必惊慌，本次习题集采用循序 渐进的模式。请各位按照顺序依次回答每个问题。 首
14、先介绍博弈 首先介绍博弈 模型中我们假设一座城市是一条街道（一条线段） 有两家公司：公司 1 和公司 2。他们分别位于街道（线段）的两端 - 两家公司同时分别制定产品价格 和 - 两家公司的边际成本是一个常数 - 每家公司都追求利润最大化 潜在顾客平均分布在这条街道上，在每一点上都有一个潜在顾客 - 顾客总数为 1（或者可以把它理解成整个市场份额） 每位顾客都只购买 1 单位的产品，要么买公司 1 的，要么买公司 2 的。也就是说总需求是 1 单位产品。 处于位置 的顾客她与公司 1 的距离是 而与公司 2 的距离是 - 当且仅当满足下列条件时，她会选择公司 1 的产品 （a） 当且仅当满足下
15、列条件时，她会选择公司 2 的产品 （b） 如果恰好位于两家公司正中间时，她就抛硬币决定买哪家公司的产品 对于模型的解读：对于模型的解读：顾客需要同时考虑价格和与公司的距离这两个因素。如果把线段想象成现实中的道路的话，我们可以用 距离 来表示到该公司的交通成本。或者，如果把线段想象成产品某方面的质量（比如冰激凌中的脂肪含量），那么此时 差异 就表示产品实际体验与顾客最 佳预期之间的差异。从顾客的角度上看，参数 越大，那么两家公司生产的产品的差异也就越大。 如果 ，那么这两种产品就是完全替代品。 Open Yale Course |人人影视博弈论制作小组 Darrencui 翻译 2 下面我们需要考虑什么呢？下面我们需要考虑什么呢？ 1 公司 会不会按照 来给产品定价，为什么呢？ 2 如果公司 2 定价为 。公司 1 如何定价才能垄断整个市场（也就是说给定一个 ， 为何 值时所有顾客都从公司 1 购买产品）？ 假设公司 1 通过定价高于问题 2 的答案能获得更多的收益，那么坏消息是这样做公司 1 必须 放弃一部分市场份额；好消息是每一位公司 1 的顾客都会付更多的钱。 3 假如 和 非常接近，导致两家公司分摊市场份额（不一定是平均分摊）。通过表达式 （a）和（b）我们可以找到一个对于购买公司 1 还是公司 2 产品完全中立的顾客。用你的 答案来说明一下，在两家公司分摊市场情
