第5讲研究分支中的一类特殊现象——突变

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1、非线性力学导论非线性力学导论第5讲 突 变第5讲研究分支中的一类特殊现象突变 。5.1 5.1 梯度系统、突变及其条件梯度系统、突变及其条件如果质点的加速度很小、可以略去不计，则质点运动满足下列的梯度系统(5.1)按第4讲讨论，这样可以进一步定义下列一类特殊的分支点-突变5.1 5.1 梯度系统、突变及其条件梯度系统、突变及其条件定义5.1 (突变): 当系统参数改变时, 原处于位势 V 极小值的质点, 通过分支点时变成拐点，因而质点突然就从 V 的低谷处跳出来,进入另一个本质与原先完全不同的状态，称为突变。显然，突变是因参数改变引起的。 5.2 5.2 通用扩展和余维数通用扩展和余维数( (

2、参数的个数参数的个数) )不失一般性，设 是分支点, 则 应有 的形式。5.2.1 折叠突变(余维数为1)5.2.2 尖点突变(余维数为2)5.2.1 5.2.1 折叠突变折叠突变( (余维数为余维数为1)1)不妨设(5.2)当 时, 满足 ，这样当 不稳定； ，稳定。当 , 无平衡点。这样，当 ，稳定的 + 不稳定的 平衡点消失，可视为稳定与不稳定平衡点折叠到消失，称为折叠突变。由图5.1可知，当 从 变到 时，极小点的位置从 变到 ，也是一种突变。5.2.1 5.2.1 折叠突变折叠突变( (余维数为余维数为1)1)图5.2 对应势函数(5.2) 的平衡点图5.2.1 5.2.1 折叠突变

3、折叠突变( (余维数为余维数为1)1)当然也可用 代替(5.2), 但由于所以可以通过变量变换和参数变换得到(5.2) 式（差一常数，不影响系统方程。）。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)(5.3)是余维数为2的势能，称为尖点突变。这样，(5.1) 变成A. 常数（不妨设 ）从而(5.4)5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)平衡点: 不稳定, 稳定；稳定。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)突变处: , 所以 是突变点（一种折叠突变）。可视为两个稳定与一个不稳定平衡点折叠到一个稳定平衡点。5

4、.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)B. 常数 (5.5)平衡点：由 的判别式可得,当 有一个实根,当 有三个实根（见附录2）。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)这样,突变点为 。图5.6 系统(5.5) 平衡点图 当参数 变化时, 平衡点 会发生跳跃,跳跃有滞后性，称为跳跃突变。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)C. (5.6)这里 刚好是三次方程的判别式(附录2), 意味实根的个数发生变化，这个变化为跳跃突变；此外 折叠突变。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为

5、2)2)图5.7 系统5.3的尖点突变5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)例5.1 一维非线性后屈曲问题。当压杆在侧向力作用下的中央挠度 (图5.12a），按线性理论可计算5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)它与 之间的关系如图5.12b所示，这里 是欧拉临界力。当 P 超过 即后屈曲时，线性理论不会给出什么结果。为了考虑后屈曲行为，我们将压杆简化为下列一维非线性系统（图5.13），这里折合的弹簧刚度系数 。5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)系统的势能为(a)平衡位置由 得到，由此可得( )

6、(b)由图5.14可以看到，当 固定、轴力 P 经过临界力 时，系统会出现单向跳跃突变（单参数）。图5.10 与 之间的关系5.2.2 5.2.2 尖点突变尖点突变( (余维数为余维数为2)2)现考虑两参数( )系统。将(a) 式展成 的幂级数( ，保留到4次项）(c)式中这样，一维非线性后屈曲问题化为已讨论过的二参数的尖点突变问题(5.3)。类似地，可以得到余维为3、4的通用扩展余维数3: , 燕尾突变余维数4: , 蝴蝶突变5.3 5.3 相变相变( (尖点突变的应用尖点突变的应用) )非理想气体平衡时满足的范德瓦尔(Van der Wall) 状态方程为(5.6)这里 分别是压力和体积（

7、状态变量）， 是系统系数。取 代 替变量 , 则上式变为(5.7)这里显然（5.7）是尖点突变的平衡方程，我们用上述方程讨论水的气相和液相的变化。5.3.1 5.3.1 零阶相变零阶相变考虑图5.11中跨越 的相变。此时 代入平衡方程(5.7) 得此方程有两个不同的根(一为重根) ，其中一根在 一侧，为极小点(5.8)另一根在 一侧，亦为极小点5.3.1 5.3.1 零阶相变零阶相变对应的位势差为产生跳跃突变。结论: 经过 时, 位势发生了间断(突变)有滞后现象。由于位势 V 是 x 的连续函数，所以 x （体积 v 的函数）也发生了突变、即相变。5.3.2 5.3.2 一阶相变一阶相变在 的

8、区域的中心线上 ，此时有但 (这里均指的是势能达到最小的平衡点) 。在一阶相变中，位势 V 是连续的(无滞后现象), 但是 是间断的。5.3.3 5.3.3 二阶相变二阶相变此时 连续, 但是 不连续，两边的差值为 。实际中水的气液相变都是一阶和二阶,而无零阶相变。所以实际水的气液相变中,我们并没有看到滞后现象, 而液态水沸腾的温度和水汽凝结的温度是一样的。5.4 5.4 突变的规则突变的规则1. 拖延规则。如图5.11中路线 通过 线发生的突变，有滞后效应尽管出现新的极小点，但一直要拖延到原先极小点消失，才跳跃到新的极小点，如图 5.15（a）所示。2. Maxwell规则。如图5.11中路线 通过 线发生的突变，其质点总是处在整个系统位势最小位置上, 此时系统连续变化时,位置也是连续变化的, 如图5.15（b）所示。Maxwell规则无滞后效应。图5.11 尖点突变的两种规则 (a) 拖延规则; (b) Maxwell规则.课后习题课后习题