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1、本文由本文由 SCIbird 编辑编辑 1北京大学北京大学 2011 年数学分析试题年数学分析试题 简评简评 很长时间没静心思考数学了，因为这套题，过年特地在家现看看书。下面简单 说点个人看法，当然解法也不是尽善尽美，这方面大家还需要自己多独立思考。很长时间没静心思考数学了，因为这套题，过年特地在家现看看书。下面简单 说点个人看法，当然解法也不是尽善尽美，这方面大家还需要自己多独立思考。 本试题由论坛的本试题由论坛的 tian27546 网友提供网友提供。 1. 只需证明连续函数的介值性质即可，只需证明连续函数的介值性质即可，,()a bI ab，当，当(,)x +，( )f xc， 则对充分
2、小的， 则对充分小的h有有()0f xh+， 此时， 此时|()|( )|()( )f xhf xf xhf x+=+。其它情况类似。其它情况类似。 4. 据网友回忆说，原题要求构造连续函数。裴礼文的数学分析中的典型问题和方法关于据网友回忆说，原题要求构造连续函数。裴礼文的数学分析中的典型问题和方法关于 Fourier 级数一致收敛有一个充分条件： 若级数一致收敛有一个充分条件： 若( )f x是周期为的连续函数， 在是周期为的连续函数， 在, 上分段光滑，则上分段光滑，则( )f x的的 Fourier 级数一致收敛于级数一致收敛于( )f x。 注意到，连续函数的注意到，连续函数的 Fou
3、rier 级数若收敛，必收敛到自身，所以依题意构造的函数级数若收敛，必收敛到自身，所以依题意构造的函数( )f x在在0, 上为上为 0，而，而,0上的光滑连续函数可取上的光滑连续函数可取20, (),()x xxx+等。等。 5. 本题没看明白意思。本题没看明白意思。 6.假设在该点可微，则存在唯一常数假设在该点可微，则存在唯一常数,A B，使得，使得( , )df x yAdxBdy=+。 单位向量单位向量(cos ,sin )=e，依方向导数定义可知，依方向导数定义可知， 函数在该方向的方向导数为函数在该方向的方向导数为cossinAB+ 若函数在三个方向的方向导数相等，则得到一个以若函
4、数在三个方向的方向导数相等，则得到一个以,A B为未知数的二元一次方程组为未知数的二元一次方程组 本文由本文由 SCIbird 编辑编辑 3uAvBmsAtBmpAqBm+= += +=其系数矩阵和增广矩阵的秩都为其系数矩阵和增广矩阵的秩都为 2，故方程组只有零解。，故方程组只有零解。 所以函数在该点的所以方向导数都为所以函数在该点的所以方向导数都为 0，矛盾！，矛盾！ 7. 没太想出好的方法，暂时不打算想了。好像北大比较重视广义重积分这块有点偏的内容，没太想出好的方法，暂时不打算想了。好像北大比较重视广义重积分这块有点偏的内容， 07 年也考过一会。个人建议报考北大的人，还是补充看北大的教材
5、的好。年也考过一会。个人建议报考北大的人，还是补充看北大的教材的好。 8. 我的第一反应是逆映射定理（见数学分析新讲第我的第一反应是逆映射定理（见数学分析新讲第 2 册） ，设册） ，设, ( )( )xy T xT y=。 凸区域中，因为雅克比行列式凸区域中，因为雅克比行列式0JT （因为正定） ，由逆映射定理存在局部同胚关系。（因为正定） ，由逆映射定理存在局部同胚关系。 即存在包含即存在包含x的开集的开集xU， 包含， 包含( )T x的开集的开集TxV， 使得， 使得()xTxT UV=。 类似地，。 类似地，()yTyT UV= 因为因为TxTyDVV=I也是开集，也是开集，1:()
6、T TDD是同胚。容易验证是同胚。容易验证1,()x yTD，这与，这与( )( )T xT y=矛盾！矛盾！ 注：不知道使用逆映射定理是否有循环论证之嫌？！注：不知道使用逆映射定理是否有循环论证之嫌？！ 9. 以下证明方法来自论坛上以下证明方法来自论坛上 xjsh 网友。网友。 由算术由算术-几何均值不等式，有几何均值不等式，有 1212111 1nnnaaa na aa+ 故故 21212111nnnnn a aaaaa +下面对下面对12nna aa进行估计。进行估计。 因为因为 1212 12()(2)()()(2)()1 !nnnnnnaanaaanaa aannn+= 所以所以 2
7、 12 1212()(2)() 111!nnnnnaanannn a aann aaa+ +又正项级数又正项级数1n na=收敛，由收敛，由 Abel 变换可知变换可知12()(2)()0naana n+ （不错的小题）（不错的小题） 本文由本文由 SCIbird 编辑编辑 4关键在于对关键在于对!n进行估计，利用斯特林公式（见数学分析新讲第进行估计，利用斯特林公式（见数学分析新讲第 2 册）册）!2nnnne所以所以 1 2(2)!n nnenen， 由夹逼定理可知由夹逼定理可知 212lim0111nnnaaa= +注：原题极限是注：原题极限是 0 容易猜到，比如取特例容易猜到，比如取特例
8、21nan=。本题直观上感觉像是用。本题直观上感觉像是用 Stolz 定理，似乎暗示我们去证明定理，似乎暗示我们去证明lim0nnna =，特例似乎也支持这一点，但这可能导致思路出现偏差。，特例似乎也支持这一点，但这可能导致思路出现偏差。 考虑考虑 221212mn mnma nn= ，正项级数，正项级数1n na=收敛，但收敛，但limnnna 不存在。不存在。 一般地，需要补充单调递减条件一般地，需要补充单调递减条件1nnaa+，才有，才有lim0nnna =成立。这也是用特例测试本题时，容易产生成立。这也是用特例测试本题时，容易产生lim0nnna =“错觉”的原因。实际上“错觉”的原因
9、。实际上 Stolz 定理，是说若极限定理，是说若极限11nnnnyy xx 存在，则极限存在，则极限nny x也存在且相等，但反之并不一定成立。也存在且相等，但反之并不一定成立。 10. 设设|( )|nfxM，, , n xa b。取。取, , s ta b，则由微分中值定理，得，则由微分中值定理，得 |( )( )|nnfsf tM st 对对n取极限，得取极限，得 |( )( )|f sf tM st 所以所以 ( )f x在闭区间在闭区间 , a b上一致连续，从而上一致连续，从而( )f x在闭区间在闭区间 , a b上连续。上连续。 注：本题是压轴题？感觉作为压轴题，难度低了些。注：本题是压轴题？感觉作为压轴题，难度低了些。 小建议小建议：报考北大数分必备的两本习题集：裴礼文的数学分析中的典型问题和方法和谢惠民等的数学分析习题课讲义 。：报考北大数分必备的两本习题集：裴礼文的数学分析中的典型问题和方法和谢惠民等的数学分析习题课讲义 。
