《等效“平摆线”在物理解题中的应用——2013高考福建省物理压轴题和2013北约自主招生压轴题的思考》由会员分享，可在线阅读，更多相关《等效“平摆线”在物理解题中的应用——2013高考福建省物理压轴题和2013北约自主招生压轴题的思考（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 4年 第 1 期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 等效“ 平摆线“在物理解题 中的应用 2 0 1 3高考福建省 物理压 轴题和 2 0 1 3北约 自主招 生压轴题 的思考 周 华 ( 长乐第一 中学物理组 福建 福州 3 5 0 2 0 0 ) ( 收稿 日期 ： 2 0 1 3 0 6 1 5 ) 2 0 1 3高考刚落下帷幕 ， 今年福建省理科综合物 理试题第 2 2 题和北约物理 自主招生第 1 2题相似 ， 都不约而同地 考查 的是数 学 中的摆线 问题； 此前 ， 2 0 0 8江苏卷高考物理试题第 1 4题也考查 了摆线问 题 摆线问题在物理竞赛和 自主招生考试
2、中是一个 必备 的知识 点 ， 只要 参 加 过 物 理 奥赛 和 自主 招 生 培 训 的 同学 就会 非 常 熟 悉 ， 最 近 在 2 0 1 1年 第 2 8届 全 国中学生物理竞赛复赛试卷第 3 题 ( 渐开线)和第 4 题 中 ( 平 摆线 )有考 查 过 摆 线 是 一类 十 分 重要 的 曲 线 ， 可 以分 为平 摆线 、 圆摆 线 、 渐开 线三 大类 今年 福 建高考和北约 自主招生考查 的是平摆线 ， 下 面就对 平 摆 线在 物理解 题 中 的应用 做一 个总结 1 平摆 线 的数 学定 义和 参数 方程 摆线 为奇 妙 的数学 曲线 之一 ， 平摆 线定 义是 ：
3、一 个 圆在一 条定 直线 上滚 动 时 ， 圆周 上 一个定 点 的轨 迹称为平摆线 也 叫做“ 等时曲线”或“ 旋 轮线” 如 历史上著名的“ 最速降线”就是平摆线； 在 日常生活 中， 自行车、 马车、 火车等车轮上 的任一点随车辆 的 前进 而描 绘 出美妙 的旋 轮线 如 图 1 所 示 ， 为正 在平 直路 面 以速度 匀 速行 驶 的某 车辆 的一 只轮 子 ， 轮子 的半 径 为 r ， 以轮缘 上 某 时刻 与地 面 的接触 点 A 作 为 直 角坐 标 系 的原 点 ， 与 。方 向为 -z轴 ， 建立 坐 标 系 经 时间 t ， 轮子 转 过 的角 ， 此 时轮 缘 A
4、 点 的参 数方 程 为 = = = r 0 r s i n O y= r r c o s O ， 、 其中 O BA Br ， 为参数 本题图中却是 2 6 m s ； 当时间 t 一7 s 时速度等于 3 9 9 6 3 5 m s ， 还 不 到 4 m s ， 而 此 题所 给 时 间 不 到 4 S 就达 到最 大 速度 了 ， 计 算表 明 ， 实际上 4 S 时速度 只有 3 9 2 6 7 3 m s 这个 图像 应该 怎 样 画 呢? 笔者 借助于电子表格软件绘 出其图像如下 一一一一 ， | f r 0 I s ) 图 3 速度一 时间图像 图 1 利用积分 ， 可知 一4
5、 +4 ( e 一1 ) ， 用几何画板 也可以作出位移一 时问图像 ， 如图 4所示 f ， 0 十 1 | 1 l t 0 5 1 O 1 5 图 4 位移一 时问图像 2 O 1 4年 第 1 期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 2 平摆线 的等 效性 运动 学和 动 力学原 理 对 于平 摆 线 在 物 理 学 中完 全 可 以看 作 是 “ 圆” 在“ 直线 ”上滚 动 ， 即可将 平摆 线 的运 动 可 看成 匀 速 直线 运 动和匀 速 圆周 运 动 的合 运 动 而作 为对 应 的 渐 开线 ， 在物 理学 中完 全可 以看 作 是 “ 直 线”在 “ 圃” 上滚 动 ， 即
6、可将 渐 开 线 的运 动 可 看 成匀 速 圆周 运 动 和匀 速直 线运 动 的合运 动 根据力与运动的关系， 在具体情况 中， 只要对物 体运 动进 行受 力分 析 ， 就 能 找 出对应 的匀 速 直 线 的 分运 动 的合 力 为零 ， 做 匀 速 圆周 的分 运 动 受 到 一个 大小 恒定 而方 向不 断随 速度 变化 的 向心 力 3 平摆 线原 理在 物理 解题 中 的应用 下面就以 2 0 1 3年 高考福建 省理综第 2 2题 和 2 0 1 3 年北约 自主招生第 1 2 题为例 ， 讲解等效平摆线 在 物理 解题 中的应用 【 例 l l ( 2 0 1 3 年高 考
7、福 建卷 第 2 2 题 ) 如 图 2 ( a ) ， 空 问存 在一 范 围 足够 大 的 垂 直 于 x O y平 面 向外 的 匀 强磁 场 ， 磁感 应 强 度 为 B 让 质 量 为 I T l ， 电荷量 为 q ( q 0 )的粒子 从坐 标原 点 0沿 O y平 面 以不 同 的初速 度 和方 向入射 到 该 磁 场 中 不 计 重 力 和粒 子 间的影 响 ( 1 )若粒 子 以初速 度 7J 沿 Y轴 正 向入射 ， 恰 好 能 经过 ,3 5 轴 的 A( n ， O ) 点 ， 求 7 J 的大小 ； ( 2 ) 己知 一粒 子 的初 速 度大小 为 v ( v )
8、， 为 使该粒子能经过 A( n ， 0 )点 ， 其入射角 ( 粒子初速 度 与 轴正 向的夹 角 ) 有几 个 ?并 求 出对 应 的 s i n 0 值 ； ( 3 ) 如 图 2 ( b ) ， 若 在此 空 间再加 入沿 y轴 正 向 、 大小 为 E的匀 强 电场 ， 一 粒子从 0点 以初 速度 。 沿 Y轴正向发射 ， 研究表明： 粒子在 x O y平面内做周期 性 运 动 ， 且 在 任 一时 刻 ， 粒 子速 度 的 -z分量 与 其 所在 位置 的 Y坐 标成 正 比 ， 比例 系数 与 场 强 大小 E 无关 求 该粒 子运 动过程 中的最 大速度 值 6 4 ( bJ
9、 图 2 标 准答案 给 出的原 解如 下 ： ( 1 ) 带电粒子以速率 在匀强磁场 B中做匀速 圆周 运 动 ， 半 径为 R， 有 q v B 簧 ( 1 ) 当粒子沿 Y轴正向入射 ， 转过半个圆周至A点 ， 该圆 周半 径 为 R ， 有 R 一 号 ( 2 ) 将式 ( 2 ) 代 入式 ( 1 )得 7 J1 一磐 ( 3 ) 一 ( 2 ) 如 图 3 ， O和 A 两 点处 于 同一 圆周 上 ， 且 圆 心 在 一 号的 直 线 上 ， 半 径 为 R 当 给 定 一 个 初 速 率 时 ， 有 2 个 人射 角 ， 分 别在 第 1 ， 2象 限 ， 有 s i n0=
10、( 4) 由式 ( 1 ) 、 ( 4 )解得 s i n 0= ： ： ( 5) 2 J 。 ： 、 I l ， 、 、 、 、 - ， 图 3 ( 3 ) 粒 子在 运 动过 程 中仅 电 场 力做 功 ， 因 而 在 轨道的最高点处速率最大 ， 用 Y 表示其 Y坐标 ， 由 2 0 1 4年 第 1期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 动能 定理 ， 有 q E 一 1舢 2 _ 1 m ( 6 ) 由题 知 ， 有 = = =k y ( 7) 若 E一0时 ， 粒子 以初 速度 沿 Y轴正 向入射 ， 有 q v。 B m ) 。一 k R o ( 9) 由式 ( 6 ) ( 9 )
11、解得 一 + () 。 + 其实第( 3 )问中， 粒子的运动轨迹就是摆线 ， 命 题人为了降低难度 ， 给出了“ 研究表明 ： 粒子在 x O y 平面内做周期性运动 ， 且在任一时刻 ， 粒子速度 的 X 分量 与其所在位置的Y坐标成正 比， 比例系数与 场 强 大小 E无 关 ”这 一 条件 ， 希 望 引 导学 生 能 得 出 正确结 论 其实 ， 根据牛顿经典力学 中力与运动 的关系可 知 ， 只要物 体 的受 力情况 和 初始情 况 确定 ， 其 以后 的 任一状态都是可以预知的 所以这些条件是多余 的， 是否正确还有待商榷 下面笔者用平摆线的等效性 运 动学 和 动力 学原 理解
12、 决第 ( 3 )问 解 ： 因为初 始 时 z 轴 方 向 的速度 为零 ， 可 等效 为 一个沿 + z轴 的匀速 运动 和 沿 一 z轴 的匀 速运 动 ， 设其速度大小均为 z ， 且恰好可使 BE q， 即 E 一百 初始时， 把沿 一 轴的速度 与 。 合成 ， 在原 点 0处带电粒子受力和运动分析如图 4 ， 因为沿+X 轴 的匀 速运 动 的 速 度 口 。产 生 的 洛伦 兹 力 与 电场 力 E q抵消， 带电粒子的受力等效成只受一个洛伦兹力 台 B作用 ， 这个力提供向心力使粒子沿 图中虚线 的 圆做 匀 速 圆周 运 动 ， 因此 粒 子 的 运 动可 看 成 一 个
13、以 速度 大小 为 合 的顺 时针 匀 速 圆周 运 动 和 一个 以速 度大小为 z 的沿 + 轴的匀速直线运动的合成 、 、 。 g q 、 t 一 0 1 g 例 4 。 且 合一何 一 ( ) 很显然当匀速 圆周运动到最 高点时 ， 合与 z 同向， 速度达最大值 ， 大小为 一+ 合 一 百E + (詈 ) m 一 2 十 合 一 百 十 ， I百 十 【 例 2 ( 2 0 1 3 北 约 自主招 生第 1 2题 )如 图 5所 示 ， 在一竖直平面 内有水平匀强磁场 ， 磁感应强度 B 的方 向垂 直该 竖 直 平 面朝 里 竖 直平 面 中 n ， b两 点 在 同一水 平线
14、上 ， 两点相 距 Z 带 电荷量 q 0 ， 质 量 为 i 的质点 P， 以初速度 从 n对准 b射出 略去 空气阻力 ， 不考虑 P与地面接触的可能性 ， 设定 q ， i 和 B 均 为不 可改 取 的给定量 ( 1 ) 若无论 l 取什么值 ， 均可使 P经 直线运动 通过 b点 ， 试问 应取什么值? ( 2 ) 若 为第 ( 1 )问可取值之外的任意值 ， 则 l 取 哪些值 ， 可使 P 必定会 经 曲线 运动通 过 b点 ? ( 3 )对每一个满足第( 2 )问要求的 z 值 ， 计算各 种可 能 的曲线运 动 对应 的 P 从 a 到 b所 经过 的时 间 ( 4 )对每一
15、个满足第( 2 )问要求的 z 值 ， 试问 P 能否从 a静止释放后也可以通过 b点?若能 ， 再求 P 在 n而 后 运 动 过 程 中 可 达 到 的最 大 运 动 速 率 X X X a ： 一 6 一z B 图 5 6 5 2 0 1 4年 第 1期 物理 通报 解题 思路 与技 巧 解析 ： ( 1 ) 当质点从 a匀速直线运动到b时满足 条 件 ， 即 mg q vo B 得 出速度 。一 且为 正 电荷 ( 2 ) 这 一 问就 是 典 型 的平 摆 线 运 动 ， 可将 初 速 度 等效成 为 。 和 的合 成 ， 初 始 时 。 和 共 线 ( 取 正号 时与 。同 向， 取负 号时 与 。 反 向) ， 可 写 成 一 。 + ， 其初始 时 的受力 分析 和运 动分 析如 图 6 ( a ) ， 只画 出 取正 号时 圆周 运动 ， 若 取 负 号 时 圆周 轨迹在 下 方 ， 不影 响解 题 ， 所 以下面 就 以取 正 号 分 析 所 以质 点 的运 动可 看 成一 个 以速度 大 小 为 的匀 速
