普 朗克 公式 推导的历史探索金尚 年田 卫东(复旦大学物理系)量子物理学是现代物理学的基础.物理学家公认190 0年是量子观 念的诞生之年.这一年的 1 0月1 9日,在德国物理学会的会议上,普朗克基于一个根据实验数据猜测 出来的内插公式,提出了黑体辐射公式:c’又一,p一汤石二不一当时对黑体辐射实验测量工 作做得较 多的有 鲁本斯.据说普朗克那时几乎每天下午四时都去鲁 本斯家 中喝咖啡,并将自己的公式与他的实验结果核对,不符合时晚上 回来再修改,最后凑出上面这个公 式.在普朗克报告的 当天晚上,鲁本 斯将自己的数 据和这个公式 作了详细比较,发现它们“在任何 情况下都完全 令人满 意地相符”.普 朗克认识到 如果仅仅把这个公式看成是侥幸揣 测出来的,那末它的价值非常有限.于 是他就致 力于找 出这个公 式的真正物 理意义.经过近两个 月的努力,普 朗克于1 900年1 2月14日向德国物理 学会提 出他对黑体辐 射公式的 理论推导.普 朗克公式 从诞生之日起,经 受了一切实验检验,对其正确性是无可怀疑的.但它诞生时的理论基础—普朗 克190 0年1 2月1 4日所给出的推导—却含有不可 调 和 的 内部矛盾,其中包 含的革命性思想远 不如今天 表达的这 样清晰.理论 物理学家,包括普朗克本人在内,对这一推导 是不满意的.量 子论得到大 多数物理学 家接受 和重视以后,试图在新的基础上导 出普 朗克公 式的论文,大 量出现在各种物理杂志上[ 1 ].本文不可能将1 9 0 0年以来物理学 家对普朗克公式理论基础的探讨罗列无遗地 进行全 面介绍,只能 择其重要者.首先介绍普 朗克本 人在19 0 0年的推导,并分析其内在矛盾.然后扼要介绍1 9 1 0年德拜,1 9 1 6年 爱因斯坦,19 22年德 布罗意和192 4年玻色的推导,分 析他们 在推导中那些方面 续承了普朗克 的思 想,那些方面作了摒弃和改 进.最后 介绍198 1年美 国《物理评论》上发 表的T.W.马 歇尔不借助量 子假设,仅用经典电磁理论导 出普 朗克公式 的文章.18 99年,普 朗克运用经典电磁理论,研 究了封闭在一个具有 理想反射壁的空腔的电磁 辐射,采用赫兹振子模型,由运动方程出发,导 出单位体积和频率间隔 的电磁辐射能 和振子平 均能的 关系:8叮妙3,,p一尸歹一U·接着 普朗克利用热力学方法探讨上式中u的形式。
以两 参量的维恩公式p~8兀,3c,a‘一a ‘/T及相应的热力学关系护S/d川~一1/U为一极限情况,以鲁本斯和库 尔鲍姆的实验结果“单色辐射的强度在温度高时与温度 成正比”及相应的热力学关 系rs/d少一 一‘/少为另 一极限情 况,作出了天才的猜测:内插于 两者之 间正确的形式应 为澎s/d U,后可得 到ds/dU~U(夕+U)此式 积分(a/夕)[InU一In(夕+U)1.根据热力学关系ds /d U~l /T,立 即有U夕c 一刀阳T一l从而 得到1900年1 0月1 9日在德物理国物理学 会会议上提出的两常 数的普朗克公式12,.在确信这一公式 是正确之后,普朗克 着手寻求理论上完善的推 导方法.他 仿效 玻 耳 兹曼,把能量U二分配于N个谐振 子,而u二~凡,尸是整数,一般很大称能量元,其值尚须确定.由组合分析法 则得 到配容数为义”[ . 1.W~(N+P一l)!(刃一l)!p!目前一些量 子物理学的教科书中对普朗克公式 的推导,仍采取191 0年德拜的 方法’ 习.它以简洁、清晰著称.在边 长为l的立方辐射体中,振动频率在”到,+d,间 的状态数为略去式中的l,利用斯特令公式,得Ndy~8对13v二‘3dp,(N+P)N+pNNPp由于介~灸坛w(寿~N s),故可直接导出单个谐振子的嫡:分配每一状态以基本量子汤v,并假定一函数式刃,计人 这样的因子,单位体积中,”v十d,频率间隔的能量 为 卜,l(誓+‘)l n (警+‘)U,d”~8赫沪e3f(v)d2 ,一旦In川 书J为求出f (,),仿效普朗克 写出包括反映电磁场特性函数了(刃在内的状态 几率为以丹表示与振子特性无关的常数,普朗克把能量元写为。
~加.将嫡s对U求导,利 用ds/d U~1/T及上面谈 到的热力学方法,就得出了他在19 0年1 2月14日向柏林物理学 会提出的黑体辐射公式的推导〔3 ].而这一天就被看作为量子观念的诞生之日.普朗克对他的辐射公式的推导,存在着明(Nd刃!(Nf d刃又嫡为S~左109牙·乏习109(Ndy+Nfd,)! (Ndy)!(N州)!显的内部矛盾.首先,p~8沱”3‘3U与利用渐近关系logP!~Pl ogp一P,求和转化为积分,得到单位体积 的嫡为 U~hv‘无洲走T一1是矛盾的.p是从经典麦克斯韦电磁理论推 导出来的,其中无疑假定了赫兹振子的能量连续变化性,而U则是在振子分立 能级假定下导 出,这在逻辑上不 自洽.其次,在推导辐射公式时,普朗克把嫡确定为S一友I nw,而他 仅仅计算了一切可 能出现的状态总数并把它 与几率等同起来.爱因斯坦对此 曾指 出:“普朗克 先生运用玻耳兹曼等式的方式在我看来在这 一点上是令人费解的,他引进状 态的几率w而竟没有给这个量下个物理定义.如果我们接受他的这种做法,那么玻耳兹曼等式简直没有一点物理意李一粤{‘t(1+f)109(,+j)尺cJJo一 jlogflvZdv.平衡时,,在给定 能量f,8赫 f,,,“~、“刃v~十了、v一Ia,护‘一夕情况下达到极大,对,/友和“两式变分得109(1+f)一l呀f~ahv即f~1c‘几”一1利 用热力学 方法可证 明。
~1从T,于是得到14卷2期“,d,~8尤vZc 3汤妙e hv/壳T一1’PB穿~PmB二.两式联立,有德拜推 导方法的核心,也是比 普朗克方法进步的地方,是“去除不合逻辑 的那部分”,避免运用辐射强度和振子平均能间的联系.他所要做的只是求出分配给每个自由度的平均能,就可直接获得 普朗克公式.1 91 0年德拜在致 索末菲的信 中,对 自己的思想、方法作 了说明和评论:“每个自由度分配 到的不再是 等量的能量;如 果每个自由度给定的振动频率为2 ,,则它分A刹B二e(‘m一七 )/走T一l配 到的能量为石p亡方,/走T一1,如果 以此为出发点,则完全可以用琼斯的观 点,由它直接 导出普朗克 定律.妙就 妙在既不需要使用居间 的谐振子,也不必动用普朗克取平 均的做法气四给普朗克 公式推导 引人 新的思想、观点和 方法的,是爱 因斯坦191 6年的论文《关于辐射的 量子理论》.这一推导以 明晰的物理 图象著称.这 一方法的根本 点是辐 射(包括 自发 辊射和受 激辐射)假 设:“一个分子能够从状 态zm跃迁到Z发射 出频率为2 ,的辐射能量 ‘一8而 不用受到外界因素的激发.这 种跃迁在时间间隔d,内发生的几率是d砰~A二dt(A)”,“,同样,“一个分子 可以从状态z。
跃迁到z,.在这过 程中分子吸 收能量 阮一s根据几率定律dw~B君闪,(B).在辐射作用下,分子从状态Z二跃迁到Z,同样也是 可能的.在这过程 中,辐射能量 ‘一被释放出来.根 据几率定律,d砰一毗pd,(B,)”〔7,.如果能量量子化和 玻耳兹曼分布律成立,“在每一单位 时间内 (B)类基元过程的 平均发生 次数,应当等 于(A)和(B ’)两类次数之 和”[ 8 ].因此,P从T召穿p~P一‘二/花了(召二p+A二),又,p随着T无限增大而无限增大,常数B二,B:间有以维恩 位移定律p一护了(可T)作为渐 近公式,可定出才二/刀二~ao3和s,一一入”·其中常数a需要运用其它理论确 定,最终便 得到了普 朗克 公式.应该承 认,爱因斯坦的推导是 简洁,优美的,但仍和经典理 论有千丝万 缕的联系.玻色曾对此作过中肯的批评:“为了使这个公式 同普朗克公式相一致,必须利用维恩的位 移定律和玻尔的对应原理.维恩定 律是以古典理论为基 础的,而对应原理认 为量子论 同古典理论在一定极 限情况下是一致的”,所 以“在我看来,在任 何情况下,这个推导不是在逻辑上毫无缺陷的”阴今天 我们看得很 清楚,沿着普朗 克 引导的道 路 —通过量 子论和统计 方法导 出 黑 体 辐射公式,中间 横亘着量 子统计的障碍;在玻色之前,人们做的不 过是绕过这一障碍,爱因斯坦 也是如此.五独立于 爱因斯坦,艾伦 菲斯特、约飞等人先后发现,利用爱因斯 坦的光量子假设,可 以导 出维恩公式.1922年德布罗意采取 特定的假说,由光量子理论导出普朗克公式.他认为:“平衡温度T下的黑体 辐射,可以认 为是能量w一加的光原子所形成 的气体.J,叫并认为 能量为2人,,3 h,,⋯n石,的光子是 具有2,3,⋯n个原子h,的“光分子刀.他认为光子遵从的统计规律为dn伴一c‘e一卿凌T附,d伴,此式 由零至无穷积 分给出单位体积 原 子数n,由此定 出常数“一 2夜3了3’于是单位 体积能量物理du二~n/ (2友,T,)。
一卿灸T邵3d附.接下 来的任务就是确定n的形式.对上式12 3积分可得单位体积 总能量为中,首 先写出频率间隔d,,的相空 间: {了d一’·‘T·!d·d ,d·d p·‘p,dP·通过动力学知道,空腔壁单位面 积上光原子 每秒 碰撞数为(1/6)每个 光原子动最w/:,于是单位面积上压力即压强 为2·(1/6)c·(w/c)~(l/3),W~灸T.根据热力学公式,d S~(1/T)(dU+pdV)~(l/T)[3n互Vd T+3,友TdV+3夜VT(dn/dT)dT+友T d Vl~(3灸V/T+3左Vdn/dT)dT+4n互dV,欲使d S成 为全 微分,须有3左 /T+3反(d/d T)~4左(d/dT)或d川dT~3n /T,解的形 式写为~A犷户.然后利用热力学方法定出A~8,/‘3尸,并考虑 到光子的 两个分量,可得~犷·4二·(汤v/c),(入d,/c)~(4,h3vZ/c 3)Vdy,以护为单位,考虑偏振,得到属于dy的相格数为一s二F匕d,·它是 一个量子在给定容积目.c3V中可能排列的数设N‘为频率间隔d 护内的量子数,只为包个量子的相格数,N‘在d 扩相格内的分配A,! 代!代!⋯’这 时状态几率为耳一一丝1 一一勺‘代!代!⋯d。
一粤一‘·‘,了v,d,,群是很大数目.由此可得lgw一万汉·,g汉一艺 艺耳,gp:,r为中含数式即维恩公式.若考虑单原 子、双原子、三原子⋯等“光子气”的混合气体,可得普朗克公 式:du,=8兀入缨”,(e‘-一人,/咬T+一2人,/决r并且由矛一艺凡,N,一艺r耳 和 补充条件E一艺N sh扩变分得+e一3方叭T十⋯艺艺衅( l十19邢+几, )8北公2乃vc h”/走T一l1、:,,.十—尹nV- 声丫艺r占邢~O,六、P本~B才一,几尸,口黑体辐射 问题中运用经 典统计方 法所遇到的困难,最终由印度物理学家玻色在19 24年 加以解决.玻 色改变了气 体状态计数的 统 计方法,引进全 同粒子的不可 分性质,“把光量子 假说和统计力学结合起来”[ 1 l,,从而不 仅较完满地解 决了黑体辐射问题,而且 经爱 因斯坦发展,形成了今夭我们称之为量子统计 中玻:色一爱因斯坦统计的一 套新方法.玻色在论 文《普朗克定律和光量子假说护1 ]其中B’~A’(1一 一几“/ a).于是可得尸一艺r只一艺,A’( l一一人的勺一”,邻A了亡1一~h沪超口一 h护渭考虑到AJE~习值,得到8叮h,‘,d,,一兀犷一’犷’e 一丙护2口1一亡一几沪朋由热力学方法定 出常数 夕~左T,这就是 普 朗克公 式。
14卷2期七量 子物理学发展到1924年,人们对普朗克公式的 含义获得了比普朗克本人认 识到的要深刻得 多,丰富得多.一般认为,黑体辐射理论由玻 色的量子统计方法已得到较圆满的解决.但问题并没有结束,直到最近 仍有人在研究普朗克公式。