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1、解题思路与方法例谈隔项递推数列通项公式的求法索云旺廖爽田丽王文英( 北京市第八十中学， 100102)( 北京市朝阳教育研究中心， 100028)近几年全国各省市高考中， 出现了不少隔项递推数列求通项公式的题目， 从各省市阅卷情况看， 学生得分不很理想， 对此笔者选取部分考题进行归类， 探讨其求解思路和方法， 供参考类型 1an an2= d， n = 3， 4， 5， ，an an2= q， n = 3， 4， 5， 这是隔项递推数列最简单也最基本的递推公式， 一般用等差( 比)数列通项公式直接求解例1( 2002 年天津高考题) 已知 a n 是 由非负整数组成的数列， 满足 a1= 0，
2、 a2= 3，an= an2+ 2， n = 3， 4， 5， ， 求数列 an 的通项公式分析由 an= an2+ 2， 易知奇数项 a1，a3， ， an， 是以 0 为首项， 2 为公差的等差数列， 偶数项a2， a4， 是以3 为首项， 2 为公差的等差数列a2k1= a1+ 2( k 1)= 2( k 1) ，a2k= a2+ 2( k 1)= 2k + 1，其中 k = 1， 2， 3， 如何把 a2k1， a2k统一成一种形式呢?令 2k 1= n，则 k=n + 1 2， an=2n + 1 2()1= n 1， 即 an= n 1( n 为奇数) ; 同理 an= n + 1
3、( n 为偶数) 所以， an=n 1( n 为奇数) ，n + 1( n 为偶数) ，或an= n + ( 1)n评注对an an2= d或an an2= q， n = 3，4， 5， 型的递推数列求通项公式也都可用迭代法求解 an an2= d 可用累差法，anan2= q可用累商法分别求解 但也均需对 n 分奇数、偶数讨论， 相比之下， 直接运用等差数列通项公式求解， 更方便、 简捷 另外， 本解法中用换元法将 a2k1， a2k统一成 an= n + ( 1)n的形式的方法是一般方法， 一个数列的通项公式是否必须统一， 应视题目情况而定， 没有统一要求例 2( 2007 年湖北高考题)
4、已知数列 an和 bn 满足: a1= 1， a2= 2， an 0， bn=anan+槡1( n N*) ， 且 bn是以 q 为公比的等比数列( 1)证明: an+2= anq2;( 2)求数列 an的通项公式解( 1)由bn+1 bn= q， 有an+1an+槡2 anan+槡1=an+槡2 a槡n= q，an+2= anq2( n N*) ( 2) an+2= anq2， an+2 an= q2， 易知奇数项 a1， a3， a5， ， 是以1 为首项， 公比为 q2的等比数列; 偶数项 a2， a4， a6， ， 是以 2 为首项，公比为 q2的等比数列 a2k1= a1( q2)k
5、1= q2k2;a2k= a2( q2)k1= 2q2k2故 an=qn1( n 为奇数) ，2qn2( n 为偶数)类型 2an an2= f( n) ( n = 3， 4， ) ，an an2= f( n) ( n = 3， 4， ) 41高中数学教与学2010 年这类递推公式与 an an1= f( n) ( n = 2，3， 4， ) ，an an1= f( n) ( n = 2， 3， 4， )求通项公式类似， 一般都可用迭代法， 累差法、 累商法例 3( 2004 年全国高考题)已知数列 an 中 a1= 1， 且 a2k= a2k1+ ( 1)k， a 2k+1=a2k+ 3k，
6、 其中 k = 1， 2， 3， ( 1)求 a3， a5;( 2)求 an的通项公式解( 1) a2= a1+ ( 1)1= 0， a3= a2+31= 3， a4= a3+ ( 1)2= 4， a5= a4+ 32=13 所以， a3= 3， a5= 13( 2) a2k+1= a2k+ 3k= a2k1+ ( 1)k+ 3k， a2k+1 a2k1= 3k+ ( 1)k同理 a2k1 a2k3= 3k1+ ( 1)k1，a3 a1= 3 + ( 1) ( a2k+1 a2k1)+ ( a2k1 a2k3)+ +( a3 a1)= ( 3k+ 3k1+ + 3)+ ( 1)k+( 1)k1
7、+ + ( 1) ， a2k+1a1=3 2( 3k1)+1 2 ( 1)k1 ， a2k+1=3k+1 2+1 2( 1)k 1a2k= a2k1+ ( 1)k=3k 2+1 2( 1)k1 1 + ( 1)k=3k 2+1 2( 1)k 1所以， an的通项公式为 an=3n 22+ ( 1)n1 21 2 1( n 为正奇数) ，3n 22+ ( 1)n 21 2 1( n 为正偶数)例 4已知数列 an中， a 1= 1， a2= 2，且 an= 2nan2( n = 3， 4， ) ， 求数列 a n 的通 项公式解 an= 2na n2，an an2= 2n当 n 为偶数时，an=
8、an an2an2 an4an4 an6 a4 a2 a2= 2n 2n2 2n4 24 2= 2n+( n2) +( n4) +4+1= 2n2+2n4 4;当 n 为奇数时，an=an an2an2 an4an4 an6 a3 a1 a1= 2n 2n2 2n4 23 1= 2n+( n2) +( n4) +3= 2( n1) ( n+3) 4故 an=2n2+2n4 4( n 为偶数) ，2( n1) ( n+3) 4( n 为奇数)评注例 3、 例 4 也可用迭代法求解， 但从求解过程来看， 不论用什么方法求解， 一般需对 n 分奇数和偶数两种情况讨论， 这是问题本身决定的类型3an+
9、1+ an= f( n) ， an+1an= f( n) 这类递推关系式近几年各类考试出现较多， 事实上是针对 an+1 an= f( n) ，an+1 an=f( n)而提出的， 所以向这两类递推转化是求解的方向例 5已知数列 an中， a 1= 1， a2= 4，且 an+ an+1= 3n + 2， 求数列 a n的通项公式思路 1与 an+1 an= f( n)这类递推公式比较仅一个符号之别， 所以向这类递推公式转化是解题方向， 通常用( 1)n来实现这个转化在 an+ an+1= 3n + 2 两边同乘以( 1)n+1得an+1( 1)n+1 ( 1)na n = ( 3n + 2)
10、 ( 1)n+1令 bn= ( 1)na n， 则 变为 bn+1 bn= ( 3n + 2) ( 1)n+1以下用累差法或迭代法求解思路 2an+ an+1= 3n + 2，an+1+ an+2= 3( n + 1)+ 2 = 3n + 5 51第 9 期高中数学教与学 得 an+2 an= 3， 至此已转化为an+2 an= d( n = 3， 4， ) 思路 3向等差( 比)数列转化是求解递推数列通项公式的基本思路， 也是高考考查重点令 an kn + b = an+1 k( n + 1)+ b ，与 式比较得 k =3 2， b = 1 4 数列 an3 2n 1 4是首项为 3 4，
11、公比为 1 的等比数列故 an3 2n 1 4= 3 4( 1)n1，即an=3( 1)n+ 6n + 1 4评注( 1)思路 1、 思路 3 求解时在运算量上要比思路 2 大一些， 但已避免了对自然数n 的分类讨论， 所求通项公式也有比较完美的统一形式( 2)数列 an中， 若 an+ an+1= kn + b( k 0) ， 则an=k 2()+ b 1 + ( 1)n2+k( n 1) 2+ ( 1)n+1a 1同理， 可求形如an+1+ an= cqn+ d的通项公式( 3) an+1+ an= f( n)型的递推公式的特殊情况是 f( n)= 常数， 如 a1= 2， an+1+ a
12、n=3， 用 本 题 三 种 方 法 都 可 求 得 an=3 + ( 1)n2， 事实上， 用观察法， 即可求得an=2( n 为奇数) ，1( n 为偶数) ，或an=3 + ( 1)n2例6已知数列 an ， 满足 a 1= 1， an+1an= 4 3n， 求 an的通项公式解a2=431 a1= 12 an+1an= 4 3n， an+2an+1= 4 3n+1， an+2 an= 3数列 an ( 当 n = 2k 1 时)是以 1 为首项， 3 为公比的等比数列 所以 a2k1= a13k1= 3n1 2数列 an ( 当 n = 2k 时) 是以12 为首项， 3 为公比的等比
13、数列， 所以a2k= a23k1= 12 3n2 2所以， an=3n1 2( n 为正奇数) ，12 3n2 2( n 为正偶数)评注形如 an+1an= kpn( kp 0， p 1)型的数列一般转化为类型 1 求解普通高中 数学课程标准第 35 页中指出 “能在具体的问题情境中， 发现数列的等差关系或等比关系， 并能用有关知识解决相应的问题 ”可见， 让学生运用已有的等差、 等比数列知识去解决新的数列问题是课程标准的要求， 也是高考“能力立意”的要求 事实上，近几年全国及各省市的高考试题也印证了这一点 下面举例说明如何转化为类型 1， 2， 3 解题例 7( 2007 年陕西高考题)已知
14、各项全不为零的数列 an的前 k 项和为 Sk， 且 Sk=1 2akak+1( k N*) ， 其中 a1= 1 求数列 an的通项公式;解当 k = 1 时， 由 a1= S1=1 2a1a2及a1= 1， 得 a2= 2当 k 2 时， 由 ak= Sk Sk1=1 2akak+11 2ak1ak， 得 ak( ak+1 ak1)= 2ak因为 ak0， 所以 ak+1 ak1= 2( 已转化为 an an2= d( n = 3， 4， ) ) 从而 a2m1= 1 + ( m 1) 2 = 2m 1a2m= 2 + ( m 1) 2 = 2m， m N*所以 ak= k( k N*) 评注运用前n项和Sn和通项an之间的an=S1( n = 1) ，Sn Sn1( n 2)将Sn与an的递推关系61高中数学教与学2010 年消去 Sn， 得到数列相邻项递推关系， 再求通项公式是高考考查重点例8( 2008 年湖南高考题) 数列 a n满足 a1= 1， a2= 2， an+2= ( 1 + cos2n2) an+sin2n2， n = 1， 2， 3， 求 a3， a4，并求数列 an的通项公式解因为 a1= 1， a2= 2， 所以 a3= ( 1 +cos2 2) a1+ sin2 2= a1+ 1 = 2， a4= ( 1 +cos2) a2+ sin2 = 2a2
