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1、平面向量的线性运算2014.3.24知识归纳知识归纳 1向量的有关概念向量的有关概念 (1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量叫做向量，向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度量的大小叫做向量的长度(或模或模) (2)零向量：长度为零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，的向量叫做零向量，记记为为0 其方向是任意的其方向是任意的 (3)单位向量：长度等于单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量个单位长度的向量 大小大小 方向方向 一复习向量的线性运算(4)平行向量： 通过有向线段平行向量： 通过有向线段AB的直线， 叫做的直线， 叫做AB的基的基线，如果向量的基线线，如果向量的基线 ，则称这些
2、向量，则称这些向量共线或平行 故共线向量的方向相同或相反 规定：共线或平行 故共线向量的方向相同或相反 规定：0与任一向量平行与任一向量平行 (5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量 互相平行或重合互相平行或重合 相等相等 相同相同 (6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量 (7)用向量表示点的位置用向量表示点的位置 给定点给定点 O 和向量和向量 a，过点，过点 O 作有向线段作有向线段OAa，则，则点点 A 相对于相对于 O 的位置被的位置被 a 唯一确定，唯一确定， OA叫做点叫做点 A 相对于相对于点点 O 的位置向量的位置向量 相等相等 相
3、反相反 oAa2向量的表示方法向量的表示方法 (1)字母表示法，如：字母表示法，如：a ，AB等等 向量向量的的长度长度(模模):|,|aAB (2)几何表示法：用一条有向线段表示向量几何表示法：用一条有向线段表示向量 (3)代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的的起点起点 O 在坐标原点，终点坐标为在坐标原点，终点坐标为(x，y)，则，则(x，y)称为称为OA的坐标，记为的坐标，记为OA(x，y) a aaAB3向量的线性运算向量的线性运算 (1)加法加法 法则法则 三角形法则：已知向量三角形法则：已知向量, a b ，在平面上任取一点，在平面上任
4、取一点 A，作作ABa，BCb ，则，则ACab 叫做叫做ab 与的和的和 ABCabababAAB a AD bABADABCDACa bab 平行四边形法则：已知向量 、 ，在平面上任取一点 ，作 ， ，以，为邻边作平行四边形，则 为向量 与 的和ABCD加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示加法的几何意义：从法则可以看出，如下图所示 ABCABDC 1 | | |2 | | |abababababab多个向量和的多边形法则多个向量和的多边形法则 已知向量已知向量 a1、a2、an，在平面上任取一点，在平面上任取一点 A，作，作AA1a1， A1A2a2， ， An1Anan， 则，
5、则AAna1a2an为向量为向量 a1、a2、an的和的和 运算性质：运算性质： abba (交换律交换律)； abcabc (结合律结合律)； 00aaa . (2)减法减法 三角形法则：已知向量三角形法则：已知向量 a，b，在平面上任取一点，在平面上任取一点O，作，作OAa，OBb，则，则BAab. 减去一个向量等于加上这个向量的相反向减去一个向量等于加上这个向量的相反向量量 OAB BAOA OB (3)实数与向量的积实数与向量的积 定义：实数定义：实数 与向量与向量a 的积是一个向量，记作的积是一个向量，记作 a1 |a |a |； 2 当当 0 时，时， a 与与a 的方向相同； 当
6、的方向相同； 当 |b|，则，则 ab； 由于零向量的方向不确定， 故零向量不与任意向量由于零向量的方向不确定， 故零向量不与任意向量平行；平行； 平面向量的基本概念平面向量的基本概念若向量若向量 a 与向量与向量 b 平行，则向量平行，则向量 a 与与 b 的方向相的方向相同或相反；同或相反； 起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；等向量； 任一向量与它的相反向量不相任一向量与它的相反向量不相等等 其中真命题的序号其中真命题的序号是是_ 解析：解析：当当 a 与与 b 是相反向量时，满足是相反向量时，满足|a|b|且且 ab，但，但 ab
7、，故，故假；假； 向量不能比较大小，故向量不能比较大小，故假；假； 0 与任意向量平行，故与任意向量平行，故假；假； 当当 a 与与 b 中有零向量时，由于零向量的方向是任中有零向量时，由于零向量的方向是任意的，故意的，故假；假； 由相等向量定义知，由相等向量定义知，真；真； 0 的相反向量仍是的相反向量仍是 0，故，故假假 答案：答案： 点评：点评：解答向量的基本概念问题时，要特别注意向解答向量的基本概念问题时，要特别注意向量概念中的一些特殊情形和向量的特征：如量概念中的一些特殊情形和向量的特征：如“向量相等，向量相等，不仅不仅要大小相等，还要方向相同要大小相等，还要方向相同”；零向量与任一
8、向量；零向量与任一向量平行；向量平行与直线平行的区别，等平行；向量平行与直线平行的区别，等等等 (文文)(2011 潍坊模拟潍坊模拟)在四边形在四边形 ABCD 中，中， ABDC，且且|AB|BC|，那么四边形，那么四边形 ABCD 为为( ) A平行四边形平行四边形 B菱形菱形 C长方形长方形 D正方形正方形 解析：解析：在四边形在四边形 ABCD 中，中，ABDC， ABDC，且，且|AB|DC|，AB 綊綊 DC， 四边形四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形， 又又|AB|BC|，四边形四边形 ABCD 为菱为菱形形 答案：答案：B 例例 2 平行四边形平行四边形 OADB 的
9、对角线交点为的对角线交点为 C， BM1 3BC，CN13CD， OAa，OBb，用，用 a、b 表示表示OM、ON、MN. 向量的线性表示向量的线性表示分析：分析：求向量求向量的线性表示的线性表示式一式一是直接运用三角形是直接运用三角形法则与平行四边形法则来求，二是应用平行向量基本定法则与平行四边形法则来求，二是应用平行向量基本定理，用待定系数法求系理，用待定系数法求系数数 解析：解析：BAab，BM16BA16a16b， OMOBBM16a56b，ODab， ONOCCN12OD16OD23OD23a23b， MNONOM12a16b. 如图，在如图，在OAB 中，延长中，延长 BA 到到
10、 C，使，使 ACBA，在在 OB 上取点上取点 D，使，使 DB13OB，DC 与与 OA 交于交于 E，设，设OAa，OBb，用，用 a，b 表示向量表示向量OC，DC. 分析：分析：将待求向量用已知向量、或与已知向量共线将待求向量用已知向量、或与已知向量共线的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化的向量、或能用已知向量表示的向量线性表示，逐步化去过渡的中间向去过渡的中间向量量 如待求如待求OC，已知，已知OA、OB，即知，即知BA，因为，因为BC可用可用BA线性表示，故可用线性表示，故可用OB和和BC来表示来表示OC. 解析：解析：因为因为 A 是是 BC 的中点，所以的中点，所
11、以OA12(OBOC)， 即即OC2OAOB2ab. DCOCODOC23OB2ab23b2a53b. 例例 3 设设 e1，e2是两个不共线向量，已知是两个不共线向量，已知AB2e18e2，CBe13e2，CD2e1e2. (1)求证：求证：A、B、D 三点共线；三点共线； (2)若若BF3e1ke2，且，且 B、D、F 三点共线，求三点共线，求 k 的的值值 共线向量共线向量分析：分析：(1)欲证三点欲证三点 A、B、D 共线，可证共线，可证AB与与AD(或或BD)共线，考虑条件可由共线，考虑条件可由CDCB产生产生BD. (2)由由 B、D、F 共线可知，共线可知，BF与与BD(或或DF
12、)共线，由共线，由于给出于给出BF，上面已求得，上面已求得BD，故存在实数，故存在实数 ，使，使BFBD，可利用可利用 e1、e2不共线列出不共线列出方程组求方程组求解解 解析：解析：(1)由已知得由已知得BDCDCB(2e1e2)(e13e2)e14e2， AB2e18e2， AB2BD，又，又AB与与BD有公共点有公共点 B. A、B、D 三点共线三点共线 (2)由由(1)可知可知BDe14e2， 又又BF3e1ke2， B、D、F 共线，共线，BF与与BD共线，共线， 存在实数存在实数 使得使得BFBD， 3e1ke2e14e2 得得 3k4，解得，解得 k12. (文文)(2011 北
13、京丰台期末北京丰台期末)如果向量如果向量 a(k,1)与与 b(6，k1)共线且方向相反，那么共线且方向相反，那么 k 的值为的值为( ) A3 B2 C17 D.1 7 解析：解析：a 与与 b 共线且方向相反，共线且方向相反，存在存在 0，使，使 ab(b0)， 若， 若 a 与与 b(b0)共线， 且方向相反， 则存在共线， 且方向相反， 则存在 0，使使 ab. 3若若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，a 与与 b 共线，则共线，则 x1y2x2y10. 4若若 a 与与 b 为相反向量，则为相反向量，则 ab0. (理理)(2011 西安质检西安质检)已知向量已知向量 a、b 不共线，不共线，ckab(kR)，dab，如果，如果 cd，那么，那么( ) Ak1 且且 c 与与 d 同向同向 Bk1 且且 c 与与 d 反向反向 Ck
