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1、 1微积分-考研题 微积分-考研题 第二章第二章 极限与连续极限与连续 一选择题： 1 （98）设函数nnxxxf211lim)(+=，讨论函数)(xf的间断点，其结论为（ ） （A）不存在间断点 （B）存在间断点1=x （C）存在间断点0=x （D）存在间断点1=x 2 （00）设对任意的x，总有)()()(xgxfx，且0)()(lim= xxg x，则)(limxf x（ ） （A）存在且等于零 （B）存在但不一定等于零 （C）一定不存在 （D）不一定存在 3 （04）函数2)2)(1()2sin(|)(=xxxxxxf在下列哪个区间内有界， （ ） （A）)0, 1( （B）) 1,
2、0( （C）)2, 1 ( （D）)3, 2( 4 （04）设)(xf在),(+内有定义，且axf x= )(lim， = = . 0, 0; 0,1 )( xxxfxg 则（ ） （A）0=x必是)(xg的第一类间断点 （B）0=x必是)(xg的第二类间断点 （C）0=x必是)(xg的连续点 （D）)(xg在点0=x的连续性与a的取值有关 5 （07）当+0x时，与x等价的无穷小量是（ ） （A）xe1 （B）)1ln(x+ （C）11+x （D）xcos1 6 （08）设ba =aaaxfx，则= )()2() 1 (ln1lim2nfffnnL 4 （02）设常数21a，则= +nnan
3、nan )21 (12lnlim 5 （05）极限=+12sinlim2xxx x 26 （06）= +nnnn)1(1lim 7 （08）设函数 + =.|,|2;|, 1 )(2cxxcxx xf 在),(+内连续，则=c 第三章第三章 导数与微分导数与微分 一选择题： 1 （95）设函数 = . 0, 0; 0,1sin|)(2 xxxxxf 则)(xf在点0=x处（ ） （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导 2 （96）设)(xf处处可导，则（ ） （A）当+= +)(limxf x时，必有+= +)(limxf x （B）当+= +)(limxf
4、x时，必有+= +)(limxf x （C）当= )(limxf x时，必有= )(limxf x （D）当= )(limxf x时，必有= )(limxf x 3 （97）若)()()(+ xf且0)(xfxf （B）0)(, 0)( xfxf （C）0)(, 0)( af且0)( af （D）0)( xfxf，x为自变量x在点0x处的增量，y与dy分别为)(xf在点0x处的增量与微分，若0x，则（ ） （A）ydy=pp， （1）设R为总收益函数，证明)1 (= QdpdR； （2）求6=p时，总收益对价格的弹性，并说明其经济意义 第四章第四章 微分中值定理及导数应用微分中值定理及导数应用
5、 一选择题： 51 （96）设0)()(00= =xfxf, 0)(0 xf，则下列选项正确的是（ ） （A）)(0xf 是)(xf 的极大值 （B）)(0xf是)(xf的极大值 （C）)(0xf是)(xf的极小值 （D）)(,(00xfx是曲线)(xfy =的拐点 2 （01）设)(xf的导数在ax=处连续，又1)(lim=axxfax，则（ ） （A）ax =是)(xf的极小值点 （B）ax =是)(xf的极大值点 （C）)(,(afa是曲线)(xfy =的拐点 （D）ax =不是)(xf的极值点，)(,(afa也不是曲线)(xfy =的拐点 3 （02）设函数)(xf在闭区间,ba上有定
6、义，在开区间）ba,(内可导，则（ ） （A）当0)()(bfaf，则下列结论中错误的是（ ） （A）至少存在一点),(0bax，使得)()(0afxf （B）至少存在一点),(0bax，使得)()(0bfxf （C）至少存在一点),(0bax，使得0)(0=xf （D）至少存在一点),(0bax，使得0)(0=xf 7 （05）当a取下列哪个值时，函数axxxxf+=1292)(23恰有两个不同的零点（ ） （A）2 （B）4 （C）6 （D）8 8 （05）设xxxxfcossin)(+=，下列命题中正确的是（ ） 6（A）)0(f是极大值， 2f是极小值 （B）)0(f是极小值， 2f是
7、极大值 （C）)0(f是极大值， 2f也是极大值 （D）)0(f是极小值， 2f也是极小值 9 （07）曲线)e1ln(1x xy+=的渐近线的条数为（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 10（09）当0x时，axxxfsin)(=与)1ln()(2bxxxg=是等价无穷小，则（ ） （A）61, 1=ba （B）61, 1=ba （C）61, 1=ba （D）61, 1=ba 11（10）若1e11lim 0= xxaxx，则a等于（ ） （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 12（10）设函数)(),(xgxf具有二阶导数，且)(xg 小于零，axg=)(0是)(xg的极值，则
8、)(xgf在0x取得极大值的一个充分条件是（ ） （A）0)(af （C）0)( af 13（10）设xxf10ln)(=，xxg=)(，10e)(x xh=，则当x充分大时有（ ） （A）)()()(xfxhxgba均为常数，则= +xxxxba302lim 2 （03）极限=+ xxx20)1ln(1 lim 3 （04）若5)(cosesinlim 0=bxaxxx，则=a ，=b 4 （07）=+)cos(sin21lim323 xxxxxxx 5 （09）= +11eelim 32cos0xxx 6 （10）若曲线123+=bxaxxy有拐点)0, 1(，则=b 77 （12）=xx
9、xxsincos14)(tanlim 三解答题： 1 （95）假设函数 f (x) 在0, 1上连续，在(0, 1)内二阶可导，过点 A(0, f (0)与 B (1, f (1)的直线与曲线 y = f (x)相交于点 C (c, f (c)，其中 0 0，有xqxpp+11 3 （95）运用导数的知识作函数xxy1 e)6( +=的图形 4 （95）已知某厂生产 x 件产品的成本为2 40120025000xxC+=（元） ，问 （1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？ （2）若产品以每件 500 元售出，要使利润最大，应生产多少件产品？ 5 （95）设某产品的成本函数为 C = aq2
10、 + bq + c，需求函数为)(1pdeq=，其中 C 为成本， q 为需求量（即产量） ，p 为单价；a, b, c, d, e 都是正的常数，且 d b，求： （1）利润最大时的产量及最大利润； （2）需求对价格的弹性； （3）需求对价格弹性的绝对值为 1 时的产量 6 （96）设 = =, 0, 0, 0,e)( )( xxxxg xfx若若其中 g (x)有二阶连续导数，且 g (0) = 1, g (0) = 1， （1）求 f (x)； （2）讨论 f (x) 在(, +)上的连续性 7 （96）设某种商品单价为 p 时，售出商品数量 Q 可以表示成cbpaQ+=，其中 a, b
11、, c 均为正数，且a bc， （1）p 在何范围变化时，使相应销售额增加或减少； （2）要使销售额最大，商品单价 p 应取何值？最大销售额是多少？ 8 （97）求极限)0()1ln(1lim2 20 +aaxaxxax 9 （97）在经济学中，称函数xxxLKAxQ1)1 ()(+=为固定替代弹性生产函数，而称函数1QAK L=为 Cobb-Douglas 生产函数（简称 C-D 生产函数） 试证明：当 x0 时固定替代弹性生产函数变为 C-D 生产函数，即有QxQx=)(lim0 10（97）一商家销售某种商品的价格满足关系 p = 7 0.2x（万元/吨） ，x 为销售量（单位：吨） ，
12、商品的 成本函数是 C = 3x +1（万元） （1）每销售一吨商品，政府要征税 t（万元） ，求该商家获最大利润时的销售量； （2）t 为何值时，政府税收总额最大 11（97）假设某种商品需求量 Q 是单价 p（单位：元）的函数：Q = 12000 80p；商品的总成本 C 是需 求量 Q 的函数：C = 25000 + 50Q；每单位商品需要纳税 2 元试求使销售利润最大的商品单价和最大 利润额 812（98）求21tanlimnnnn （n 为自然数） 13（98）设函数 f (x)在a, b上连续，(a, b)内可导，且 f (x) 0，试证存在 , (a, b)，使得 =eee )(
13、)( abffab 14（98）设 f (x)在a, b上连续，(a, b)内可导，f (a) = f (b) = 1，试证存在 , (a, b)，使得1)()(e=+ff 15（98）设某酒厂有一批新酿的好酒，如果现在（假定 t = 0）就售出，总收入为 R 0（元） ，如果窖藏起来待来日按陈酒价格出售，t 年末总收入为tRR520e=，假定银行的年利率为 r，并以连续复利计息，试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大，并求 r = 0.06 时的 t 值 16（99）设函数 f (x)在区间0, 1上连续，在(0, 1)内可导，且 f (0) = f (1) = 0, 1)21(=f试证： （1）存在) 1,21(，使 f () = ； （2）对任意实数，必存在 (0, )，使得 f ( ) f ( ) = 1 17（99）证明：当 0 18（00）求函数xxyarctan2 e ) 1( +=的单调区间和极值，并求该函数图形的渐近线 19（01）已知 f (x)在(, +)内可导，且e)(lim= xf x，)1()(limlim= +xfxfcxcxxxx，求 c 的值 20（01）某商品进价为 a（元/件） ，根据以往经验，当销售价为 b（元/件）时，销售量为 c 件（a, b, c均为正常数，且ab34
