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1、1原问题与对偶问题的数学模型原问题与对偶问题的数学模型 1对称形式的对偶对称形式的对偶 当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。当原问题对偶问题只含有不等式约束 时，称为对称形式的对偶。 0minbAX 0X . . CXz maxYC s.t. YAYb w ts原问题原问题对偶问题对偶问题情形一：情形一：情形一：情形一： 0Y CA .min0X bAX .max YtsYbw tsCXz原问题原问题对偶问题对偶问题)(YY化为标准对称型化为标准对称型情形二：情形二：情形二：证明情形二：证明 0Y CA .min0X bAX .maxYtsbYwtsCXz对偶对偶2当线性
2、规划原问题求得最优解 时，其对偶问题也得到最优解 ，且代入各自的目标函数后有：), 1(*njxj), 1(*miyi是线性规划原问题约束条件的 右端项，它代表第种资源的拥有量；ibi njmiijwybxczij11*（3）对偶变量的意义代表在资源最优利用条件 下对单位第种资源的估价，这种估价不是资源 的市场价格，而是根据资源在生产中作出的贡献 而作的估价，为区别起见，称为影子价格 （shadow price)。* iy i影子价格的定义影子价格的定义影子价格的定义影子价格的定义31资源的市场价格是已知数，相对比较稳 定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情 况，是未知数。由于企业生产任务、产
3、品结 构等情况发生变化，资源的影子价格也随之 改变。资源的市场价格是已知数，相对比较稳 定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情 况，是未知数。由于企业生产任务、产品结 构等情况发生变化，资源的影子价格也随之 改变。影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义市场价格影子价格市场企业影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义2影子价格是一种边际价格。影子价格是一种边际价格。在式中，。说明的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，每增加一个单位时目标函数的增量。z*iybzi* iyib4几何解释：引例图解法分析几何解释：引例图解法分析几何
4、解释：引例图解法分析几何解释：引例图解法分析。（3，3）（15/4，5/4）,z=8.75242621 xx（7/2，3/2），z=8.5252621xx影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义3资源的影子价格实际上又是一种机会成本资源的影子价格实际上又是一种机会成本. 在纯市场经济条件下,当第2种资源的市 场价格低于1/4时，可以买进这种资源；相反 当市场价格高于影子价格时，就会卖出这种 资源。随着资源的买进卖出，它的影子价格 也将随之发生变化，一直到影子价格与市场 价格保持同等水平时，才处于平衡状态。54在对偶问题的互补松弛性质中有这表明生产过程中如果某种资
5、源未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零；又 当资源的影子价格不为零时，表明该种资源 在生产中已耗费完毕。在对偶问题的互补松弛性质中有这表明生产过程中如果某种资源未得到充分利用时，该种资源的影子价格为零；又 当资源的影子价格不为零时，表明该种资源 在生产中已耗费完毕。ijijijijbxa;ybxanjiinj 11 0y 0时，时，当当ib5从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。 miijjjijjBaycPBCc11（4）jc第j种产品的产值 miijiay1生产第j中产品所消耗各项资源的 影子价格的总和。（即隐含成本）可
6、见，产品产值可见，产品产值隐含成本可生产该产品； 否则，不安排生产。隐含成本可生产该产品； 否则，不安排生产。检验数的经济意义检验数的经济意义6影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义影子价格的经济意义6一般说对线性规划问题的求解是确定资 源的最优分配方案，而对于对偶问题的求 解则是确定对资源的恰当估价，这种估价 直接涉及到一般说对线性规划问题的求解是确定资 源的最优分配方案，而对于对偶问题的求 解则是确定对资源的恰当估价，这种估价 直接涉及到资源的最有效利用资源的最有效利用。经济学研究如何管理 自己的稀缺资源前提条件供给-需求函数 供给增加，价格下降， 需求增加，价格上升。均衡
7、理论7P需求供给Q均衡点工厂的例子ProductsA B profit $6$7 machine one time 2 3 24 machine two time 2 1 16How many A and B should we product to fits the maximized profit while time is limited?8变量：x表示A的台数，y表示B的台数目标函数：利润最大max f(x,y)=6x7ys.t. 2x+3y=0 另一个问题如果工厂把机器出租，以A与B产品为比 较，机器1和机器2应该以什么利润出租 才合算。9分析对于产品A所需的工时，应产生不小于$6的
8、利 润，对于产品B所需的工时，应产生不小于$7的 利润，而机器1和机器2分别有24和16个工时。为 了保证完全租出所有的机器时间，出租的单位利 润应该尽量低。设出租利润分别为z1和z2，有：Min g(z1,z2)=24z1+16z2 s.t. 2z1+2z2=6 3z1+z2=7 z1,z2=0max f(x,y)=6x7ys.t. 2x+3y=0 product A x product b y Decision variables64 Total profit Objective function6764Constrains:Slack Machine 1 time(hours)23 24
9、 =60 product b y317 =7010原问题设一公司从事n种生产活动，第j种活动 的产量是xj=0，在生产活动中要消耗m种 资源，aij为生产活动j耗用资源i的量（技术 系数），bi为资源i的可使用量，ci为生产活 动j的每单位收入。假设公司可以以市场价 格wi买进或卖出资源，则公司可获收入为： minjjijiinjjjxabwxc111)(（1）在理想的竞争环境中，有如下可能： （1）若，则公司需购进资源i，市价抬高，公司利润将会减少，此时公司应选择自己的生产活动，使（2）若，则对利润无影响。（3）若，则公司可卖出资源i，市场降低wi为0（实际是使市价低于买入价，让公司不可能卖
10、出资源），则公司的利润只 是。0)(1njjijixabinjjijbxa 1 njjijixab10 njjijixab10 njjjxc1线性规划的正问题：11线性规划的一般形式 njjjxc1max s.t.injjijbxa 1 ,0jxnj,1 mi,1 在理想的竞争环境中，有如下可能： （1）当时，公司全力投入生产，此时市场调整wi，使（2）当时，公司将全部卖出原料，使xj=0，市场要调整wi，使最小。线性规划的对偶问题：收入可变型为：imiinjjmijijjwbxwac 111)( mijijjwac1jmijijcwa 1 mijijjwac1imiiwb 1（2）12对偶问
11、题的形式 mijjwb1min s.t.jmiijcwia 1 ,0iwnj,1 mi,1 原问题与对偶问题的关系当公司与市场的决策相互影响并达到平衡时：0)(1*njjijiixabw0)(*1*jmijijjxwac全部用来生产， 原料不买入不要生产，全部原 料以最低价格卖出13原问题与对偶问题的关系互为对偶 最优解的存在性相同。 目标函数值相等。 解互为影子价格解互为影子价格。对偶问题的求法自由变量 约束条件=约束条件= 自由变量约束条件 约束条件对偶变量0 对偶变量0对偶变量0 对偶变量0约束条件 约束条件目标函数 min对偶问题（原问题）目标函数 max原问题（对偶问题）14学校准备
12、为学生添加营养餐，每个学生每月至 少需要补充60单位的碳水化合物，40单位的蛋白质 和35单位的脂肪。已知两种营养品每斤： A B 含量 碳水化合物5 2 单位 蛋白质3 2 单位 脂肪5 1 单位 单价 1.5 0.7 问题：买A和B分别多少斤即满足学生营养需要又 省钱？对偶求法Min S(x,y)=1.5x+0.7y Max f(z1,z2,z3)=60z1+40z2+35z3 S.T. 5x+2y=60 5z1+3z2+5z3=40 2z1+2z2+z3=35 x=0 z1,z2,z3=0 y=015对偶问题要出售给某学校营养品，已知A的单价不能 超过1.5 元/斤，B的单价不能超过0.
13、7元/斤， A与B的碳、蛋、脂含量应达到60、40、35。 又知A与B的碳、蛋、脂含量分别为：5、3、 5，2、2、1，试求市场如何控制碳、蛋、 脂的单位成本才能使销售商能购买原料并 卖出所有的营养品？食品A 食品B 决策变量105 总费用 目标函数1.50.718.5约束条件剩余 碳水化合物5260 =600 蛋白质3240 =400 脂肪5155 =35-20碳水化合物蛋白质脂肪 决策变量0.2250.1250总成本 18.5 目标函数604035 约束条件剩余 食品A535 1.5 min g时，出租 资源才是合算的。 z1表示机器1的影子价格，z2表示机器2的 影子价格。当机器1的出租利润低于z1时 或机器2的出租利润低于z2时，出租不合 算。 反之，当A的利润=70 product b y317 =70Machine 1 time(hours) Machine 2 time(hours) Decision variables3.3333333330Total profit Objective function241680Constrains:Slack product A x226.67 =6-0.67 product b y3110 =100影子价格的应用分析薄弱资源 合理调配资源
