《应用泛函答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《应用泛函答案（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3、在1R上定义( , )arctan |d x yxy=，问1(, )R d是不是距离空间？ 证明： 非负性：( , )arctan0d x yxy= 严格正：( , )0arctan0d x yxyxy=对称性：( , )arctanarctan( , )d x yxyyxd y x= 再证明三角不等式： 设,0 时，有arctan()arctanarctan+ （1） 下面我们证明（1）式成立： 设，所以arctan()arctanarctanarctan0+ 再用微分中值定理： 1222 1211 ,0, ()(0)11 +因为12，故（1）式成立。 由上面的结论可得： arctana
2、rctan()arctanarctan()xyxzzyxzzy+ 故：( , )( , )( , )d x yd x zd z y+，故是距离空间。 4、在n维 Euclid 空间nR中，对于11( ,),(,)nnxxxyyy=，定义 1( , )niii id x yxy=，其中1,n是 n 个整数，证明 d 是nR中的距离，并且按 距离收敛等价于按坐标收敛。 证明： (1)证明 d 是nR中的距离： 非负性：1( , )niii id x yxy=，因为1( , )niii id x yxy=，故( , )0d x y 严格正： 1( , )=0=0niii id x yxy=，因为0i
3、，所以=0iixy， 即 有=iixyxy=， 对称性：11( , )( , )nniiiiii iid x yxyyxd y x=三角不等式： 设111( ,),(,),( ,)nnnxxxyyyzzz= 故有：iiiiiiiiiiiiiiixyxzzyxyxzzy+ 111nnniiiiiiiii iiixyxzzy=+即有( , )( , )( , )d x yd x zd z y+，故R是nR中距离。 (2)证明按距离收敛等价于按坐标收敛： 21 ()()()211()(, )nn mmm iiikkk ikxxxxd xx=21 ()()()()2 11 1(, )()n mmmm
4、kkknn kd xxxxxxxx=+ 故有：()(, )0md xx 等价于()(,1,2, )m iixxmin = 11、令21 ( )| lim( ),2TTTXx tx td ttT=， 同时因为inf ( , )|d x yyA连 续，故( )f x连续，则存在( )f x满足命题。 14、设 X 按照距离 d 为距离空间，AX非空， 令( )inf( , ),() y Af xd x yxX =，证明( )f x 是 X 上的连续函数。 证明： zx ，有in f ( , )( , )|d z xd z yyz+f(x)=infd(x,y)|yA ( , )in f ( , )|
5、( , )( )d x zd z yyzd x zf z=+=+，故( )( )( , )f xf zd x z 同理：( )( )( , )( , )f zf xd z xd x z=，故( )( )( , )f xf zd z x 故：0, =， 当( , )d x z时，有 11(,), (,)22nmnmd xxd yy时，有nmnmnmd(x -x )=sup|x -x |+sup|x -x |时： ( )( )0(,)maxk ii nmmn id ffff=时， 有1222()nnmnmnmffffdtffdt=+ ， 故001(,)inf1nnx Ed x Exxn= X是有限
6、维赋范空间，且nx是有界集。 nx是列紧的. 存在 knx是nx的收敛子列，0knxx， 01(,)1 knkd xEn ，令k ，距离是连续函数，00(,)1d x E （1） 0E是子空间，00E 。00000(,)inf01 x Ed x Exxx = （2） 由（1） 、 （2）知：00(,)1d x E=，且01x=。 23、在20,1L上规定不同的范数： 110( )ff tdt=，1122 20()ff dt=，1122 30(1)ftfdt=+哪些是等价范数？试说明理由。 证明：2112223200(1)ftfdtf dtf=+=，32ff= （1） 22111223000(1
7、)ftfdtf dtt f dt=+=+211222002f dtf dtf+=322ff （2） 由（1） 、 （2）可知，3.与2.等价。 可证2.比1.强。 11211122 12000() ( 1 )ff dtf dtdtf= 且C(常数)，无法满足21nnfn f 则211nfn=，32 21nf n= 311,0( ) 0,ntf tn = 其他3 2 211nnnfnfn f=，2nf比1nf强。 第三章 2、设 nx为内积空间 H 中的点列。nxx，且(),( , )()()nxyx yyHn,证明：()nxx n ()()()() () () ()() ()22222222,
8、(),0 ()0()()nnnnnnnnnnnnnx xx xxnxxxx xxx xx xx xx xxx xx xxxxxxnxxnxx n=+=+=证明：因为：，所以：即5、设 x,y 是复内积空间 X 中的两个非零元素，则 （1）xyxy+=+当且仅当 y 是 x 的正倍数； （2）xyxy=当且仅当 y 是 x 的倍数； （3）给定,zXxyxzzy=+当且仅当存在0,1，使得()1zxy=+ ( )()()()()() ( ) ()2222222221(1),(1),=+,2,22=-2xykxxykxxyxyxyxyxyxyx yy xxyxyxyx yy xxyxyxyxyxy
9、xy+=+=+=+=+证明：“”,设y=kx,k0,则：故，“”若，因为根据Schwatz不等式，有：，且等号成立条件为当且仅当y=kx,（k0）“”,易验证。“”，若两边平方得：，再根据平行四边形法则，()()( )()222222+=2,=0,3-,=,+=+0, , 1,11 1=1 (1)xyxyxyxyxyxyxykxyx zzyxzzyk k kxzk zyzxykkk zxy +=+= =+ =+有：于是可得，所以故 使得y=kx.“”,易验证。“”，若令则上式即根据（1） 使得 即即取则 得证。12、若内积空间 X 是实的。则222xyxy+=+蕴含着xy，但若 X 是复空间时
10、，xy未必成立。举例说明之。 ()() () () ()()()()()222222222222=,2,0y.1,112,1,1,1,0,.xyxyxyxy xyx xx yy xy yxx yyx yyixyiixyxyxyx yiiy+=+=+=+=+=+=+=+=+= 证明：如果x是实的内积空间且因为：所以：即x垂直与若x是复的内积空间，则结论不一定成立。取x则而故但是即x不垂直于18、设 M、N 是内积空间 H 的子空间，,MN LMN=，证明 L 是闭子空间的充分必要条件是 M、N 均为闭子空间（充分性部分假定 H 完备） 。 证明:必要性,先证 M 是闭子空间，即 M 中收敛点列
11、nx的极限属于 M。设 M,()nnxxxH n ， 只需证xM， 因为 L 是闭子空间， 且LM， 则 nxL且xL。对任意的yN，根据内积的连续性，有：()()(),lim,lim,0nnnnx yxyxy =，所以xN。 又因为xLMN=，所以xM。所以 M 是闭子空间，同理可证 N 也是闭子空间。 充分性。设 M、N 都是闭子空间，设 (),nnzL zzH n ，只需证zL。 因为LMN=，所以存在,nnxM yN，使得nnnz xy=+。 因为()222,nmnmnmnnzzxxyyxy=+，所以0,0( ,)nmnmxxyym n ， 即 nnxy是 M、N 中的 Cauchy
12、列。 因为 H 是完备的，M、N 是闭子空间，所以 M、N 也是完备的。 所以x M,yN，使得0,0()nnxxyyn ，则 22220()nnnnnzxyxyxyxxyyn=+=+ ，即()nzxy n+ ， 有极限的唯一性可知，z=x+yL，所以 L 是闭的，得证。 25、设 ()eI是内积空间 H 中的标准正交系。证明对于每个xH，x 关于这个标准正交系的 Fourier 系数(),|x eI中最多有可数个不为零。 证明:根据 Bessel 不等式,对xH ,取 n 个|eI中的元素排成一列，12,ne e e。则有 ()221,nk kx ex=，于是在|eI中，使得()i,/x e
13、xn成立的ie只有有限个。 记()F|,/neIx exn=，且 1FnnF= ，则 F 是可数集，且当e|eIF时，有(),0x e=。所以对xH ，x 关于这个标准正交系的 Fourier 系数(),|x eI最多有可数个不为零。 27、M 是 H 的闭线性子空间， ne与 ne分别是 M 与M的标准正交基，证明 nnee构成 H的标准正交基。 ()()()()() ()()()()()()() 111111,y,nnnnnn kknnnnnnnnnn kknnnn kknnxHxyzyM zMeeyy ee zz eex eyz ey ex eyz ez exeez eex eex ee
14、ee= =+=+=+=+=+证明：有正交分解定理可唯一分解其中由于 分别是M与M的标准正交基，则且则所以 构成标准正交基31、设 H 为 Hilbert 空间， ne， ne是 H 中的两个标准正交基，并且11kk kee= =所以1supij ijTaM=所以TM=（证毕） 22 设nT是( )(1)pLRp其中( )pfLR证明nT强收敛与恒等算子I，但是不一致收敛到I 证明： ( )( )pf xLR，有 1 ()( )(T )( )( )0()nxnT fxfxf xdxn=故有nTT（强） 下证不一致收敛：取01,( ,1)( )0,elsexn nfx+= 则110=(1 )nnf+且 11100sup ()()()()(1 )10()nn fnnnTTT f xTf xT fxTfxn=+=所以nT不
