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1、1模模模糊糊糊数数数学学学方方方法法法罗桂霞Email:模模模糊糊糊数数数学学学的的的产产产生生生和和和思思思想想想在客观世界中，存在着大量的模糊概念和模糊现象。一个概念与其对立的概念无法划出一条明确的分界，它们是随着量变逐渐过渡到质变的。例如“年轻“和”美貌“、”高与矮“、“胖与瘦”、“美与丑”等没有确切界限的一些对立概念都是所谓的模糊概念。凡涉及模糊概念的现象被称为模糊现象。现实生活中的绝大多数现象，存在着中介状态，并非非此即彼，存在着许多，甚至无穷多的中间状态。模糊数学就是试图利用数学工具解决模糊现象一门学科。1965年，美国加州大学的控制论专家L.A.Zadeh发表了一篇题为模糊集合的
2、重要论文，第一次成功地运用精确的数学方法描述了模糊概念，从而宣告了模糊数学的诞生。从此，模糊现象进入了人类科学研究的领域。模糊数学的产生把数学的应用范围，从精确现象扩大到模糊现象的领域，去处理复杂的系统问题。模糊数学决不是把已经很精确的数学变得模模糊糊，而是用精确的数学方法来处理过去无法用数学描述的模糊事物。从某种意义上来说，模糊数学是架在形式化思维和复杂系统之间的一座桥梁，通过它可以把多年积累起来的形式化思维，也就是精确数学的一系列成果，应用到复杂系统里去。一一一、模模模糊糊糊数数数学学学的的的基基基本本本概概概念念念1.1模模模糊糊糊集集集与与与隶隶隶属属属函函函数数数（1）模模模糊糊糊集
3、集集与与与隶隶隶属属属函函函数数数的的的概概概念念念：论域：论及到的对象全体构成的集合，记为U。定定定义义义1设U为一论域，如果给定了一个映射:A: U 0,1, x A(x) 0,1则该映射确定了一个模糊集合A，其映射A称为模糊集A的隶属函数，A(x)称2为x对模糊集A的隶属度.所谓论域U上的模糊集A是指：对x U,总以某个程度A(x)属于A，而非x A,或x A，而使A(x) = 0.5 的点x 称为模糊集A 的过渡点，即是模糊性最大点。对一个确定的论域U可以有多个不同的模糊集合。模糊幂集：论域U上的模糊集合的全体F(U) = A|A: U 0,1注1：F(U)是一个普通集合。注2：当A的
4、取值为0或1时，A退化为普通集合的特征函数，因此普通集合是一个特殊的模糊集合，模糊集合是普通集合的推广。（2）模模模糊糊糊集集集的的的表表表示示示方方方法法法：对于有限论域U = x1, x2, , xn,设A F(U)(1)Zadeh表示法：ni=1A(xi)xi=A(x1)x1+A(x2)x2+ +A(xn)xn这里“A(xi)xi”不是分数，它表示点xi对模糊集A的隶属度是A(xi).“+”不表示求和，只表是各项汇总，体现集合的概念。（2）序偶表示法：A = (x1,A(x1),(x2,A(x2), ,(xn,A(xn)(3)向量表示法：A = (A(x1),A(x2), ,A(xn)如
5、果U为无限论域，设A F(U),则A =UA(x)x,这里的“”表示各元素与其隶属度对应关系的总和，“A(x)x”和前面的意思一样。(3)模模模糊糊糊集集集合合合的的的运运运算算算：模糊集与普通集有相同的运算和相应的运算规律。定定定义义义2设模糊集合A, B F(U),其隶属函数分别为A(x),B(x)(1)若对任意的x U, 有B(x) 6 A(x),则称A包含B，记为B j A;(2)若B j A且A j B, 则称A与B相等，记为B = A.3定定定义义义3设模糊集A, B F(U)，其隶属函数为A(x),B(x)，则其相应的并、交、补的隶属函数为：并：A(x) B(x)= A(x) B
6、(x) = max(A(x),B(x)交：A(x) B(x) = A(x) B(x) = min(A(x),B(x)补：cA(x) = 1 A(x)其中”和”分别表示取大算子和取小算子，并且并和交运算可以直接推广到任意有限及无限的情况，同时也满足普通集的交换律、结合律、分配律、吸收率、幂等律等运算规律。1.2隶隶隶属属属函函函数数数的的的确确确定定定方方方法法法模糊数学的基本思想是隶属程度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建立符合实际的隶属函数。1、模模模糊糊糊统统统计计计方方方法法法模糊统计方法是一种客观方法，主要是基于模糊统计试验的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的.模糊统计试
7、验包含下面四个基本要素：（1）论域U；（2）U中的一个固定元素x0；（3）U中包含一个随机变动的集合A*（A*为普通集）；（4）U中的一个以A*作为弹性边界的模糊集A，对A*的变动起着制约作用，其中x0 A*,或x0 A*,致使x0对A的隶属关系是不确定的。假设作n次模糊统计试验，可以算出x0对A的隶属频率=x0 A*的次数/n事实上，当n不断增大时，隶属频率趋于稳定，其稳定值称为x0对A的隶属度，即A(x0) = limnx0 A*gn2、指指指派派派方方方法法法指派方法是一种主观的方法，它主要是依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的方法。如果模糊集定义在实数集R上，则称模糊集的隶属函
8、数为模糊分布。所谓的指派方法就是根据问题的性质和经验主观的选用某些形式的模糊分布，再依据实际测量数据确定其中所包含的参数。3、专专专家家家给给给定定定现实生活中经常遇到排序问题，这实际上就是确定隶属函数。常用的一种方法就是专家打分。下面用一个例子来说明。4Figure 1: 1.jpg5例如体操比赛中的鞍马项目。假设由10人组成裁判组，评分方法是：评判时按满分10分打分，去掉最高分、最低分，另外8人打分求和，再除8。作为比赛，当然是排序，确定谁是第一，谁是第二等。换一种考虑方式，这样的问题实质上就是确定模糊集合的隶属函数！以全体参赛运动员为论域U。“动作最完美的人”是U上的一个模糊集合A。每名
9、运动员的得分都在0和1之间，得分可以理解为该名运动员属于动作最完美的人的程度。许多问题与此类似，问题是要确定隶属函数，本质要求是排序。因此排序就是确定隶属函数的一种方法。4、其其其他他他方方方法法法实际中，用来确定模糊集的隶属函数的方法是很多的，主要根据问题的实际意义,具体问题具体分析.例：某运动队需要招一批队员，要求身高1.70m以上，现有四人，张1.62m,王1.68m,李1.77m,赵1.89m,则合格者的集合=（李，赵），不合格者的集合（张，王），假如日常生活中“高个子”去衡量，赵是100%当之无愧，李有80%，连王也有几分资格，只有张不能被认为高个子，这里的论域X = (x1, x2
10、, x3, x4),其中x1指张，身高1.62m,x2指王，身高1.68m,x3指李，身高1.77m,x4指赵，身高1,89m,若给这四人身高给以评分的话，可以得出模糊子集为A = (x1,0),(x2,0.5),(x3,0.8),(x4,1.0) = (1.62,0),(1.68,0.5),(1.77,0.8),(1.89,1.0)bigskip二二二、模模模糊糊糊关关关系系系与与与模模模糊糊糊矩矩矩阵阵阵2.1模模模糊糊糊关关关系系系与与与模模模糊糊糊矩矩矩阵阵阵的的的概概概念念念定定定义义义4模模模糊糊糊关关关系系系：设U,V为论域，则称乘积空间U V上的一个模糊子集R (U V) 为从
11、U到V的模糊关系。如果R的隶属函数为R: (U V) 0,1,(x,y) R(x,y)则称隶属度R(x,y)为(x,y)关于模糊关系R的相关程度。注：由于模糊关系就是乘积空间U V上的一个模糊子集，因此，模糊关系同样具有模糊集的运算及性质。定定定义义义5模模模糊糊糊矩矩矩阵阵阵：设矩阵R = (rij)mn,且rij 0,1 (i = 0,1, ,m; j =1,2, ,n),则称R为模糊矩阵。两种比较特殊的情况：6（1）如果rij 0,1 (i = 0,1, ,m; j = 1,2, ,n),则称R为布尔（Bool）矩阵。（2）当m = 1或n = 1时，则相应的模糊矩阵为R = (r1,r
12、2, ,rn)或R = (r1,r2, ,rm)T,分别称为模糊行向量和模糊列向量。2.2模模模糊糊糊等等等价价价与与与模模模糊糊糊相相相似似似定定定义义义6模模模糊糊糊关关关系系系：若模糊关系R F(U V),且满足（1）自反性：R(x, x) = 1（2）对称性：R(x,y) = R(x,y)（3）传递性：R R =R R或记为（RR(x,y) = (z U)(R(x,z) R(z,y) R(x,y)则称R是U上的一个模糊等价关系，其隶属度R(x,y)表示(x,y) 的相关程度。注：当U = x1, x2, , xn为有限论域时，U 上的模糊等价关系可表示为n n阶的模糊等价矩阵R = (
13、rij)nn.定定定义义义7模模模糊糊糊等等等价价价矩矩矩阵阵阵：设论域U = x1, x2, , xn，I为单位矩阵，如果模糊矩阵R = (rij)nn满足：（1）自反性：I R;（2）对称性：RT= R;（3）传递性：R R R(mk=1(rik rkj) rij;i, j = 1,2, ,n)则称R为模糊等价矩阵。注：对于满足自反性和对称性的模糊关系R 与模糊矩阵R，则分别称为模糊相似关系与模糊相似矩阵.2.3截截截矩矩矩阵阵阵与与与传传传递递递矩矩矩阵阵阵定定定义义义8截截截矩矩矩阵阵阵：设R = (rij)mn为模糊矩阵，对任意的 0,1(1) 如果令rij=1rij ,0rij ,
14、0rij 7则称= (rij()为R的强截矩阵。注：对任意的 0,1，截矩阵是布尔矩阵。定定定义义义9模模模糊糊糊传传传递递递矩矩矩阵阵阵： 设R是n n阶的模糊矩阵，如果满足R R = R2 R则称R 为模糊传递矩阵。称包含R的最小的模糊传递矩阵为传递闭包，记为t(R).定定定理理理对于任意的模糊矩阵R = (rij)nn，则t(R) = nk=1Rk特别地，当R为模糊相似矩阵时，必存在一个最小的自然数k(k n),使得t(R) =Rk,对任意自然数l k，都有Rl= Rk, 此时，t(R)一定为模糊等价矩阵.三三三、模模模糊糊糊聚聚聚类类类分分分析析析方方方法法法对所研究的事物按一定标准进
15、行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以类聚”的一种分类方法。然而，在科学技术、经济管理中有很多事物的类与类之间并无清晰的划分，边界具有模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系，比如植物、微生物、动物之间，温饱型家庭与小康型家庭之间等。对上述事物的分类就应该用模糊数学方法。根据事物的某些模糊性质进行分类的数学方法称为模糊聚类分析。第第第一一一步步步数数数据据据标标标准准准化化化（1）获取数据：设论域U = x1, x2, , xn为所需分类研究的对象，每个对象又由m个指标表示其性态，即xi= xi1, xi2, , xim(i = 1,2, ,n)于是得到问题的原始数据矩阵为A = (x
16、ij)mn.（2）数据的标准化处理：实际中的数据通常具有不同的性质和量纲，为了使原始数据能够适合模糊聚类的要求，需要将原始数据矩阵做标准化处理，即通过适当的数据变换和压缩，将其转化为模糊矩阵。现介绍以下两种常用方法：（i）平平平移移移标标标准准准差差差变变变换换换8当原始数据之间具有不同量纲时，应用该方法可以使每个变量的均值为0，标准差化为1，从而消除了量纲的差异影响，即令xij=xij xjsj其中 xj=1nni=1xij, sj= 1nni=1(xij xj)212（ii）平平平移移移极极极差差差变变变换换换如果经过平移标准差变换后还有某些xij 0,1,则还需要对其进行平移极差变换，即
17、令xij=xij min1inxijmax1inxij min1inxij显然所有的xij 0,1,且也不存在量纲因素的影响，从而可以得到模糊矩阵R =(xij)mn.第第第二二二步步步建建建立立立模模模糊糊糊相相相似似似矩矩矩阵阵阵设论域U = x1, x2, , xn，xi= xi1, xi2, , xim(i = 1,2, ,n)，即数据矩阵为A = (xij)nm,如果xi与xj的相似程度为rij=R(xi, xj),则称之为相似系数。下边为确定相似系数的rij的多种方法：（1）数量积法。对于xi= xi1, xi2, , xim U,令M = maxi,j(mk=1xik xjk),
18、则取rij=1i = j,1Mmk=1xik xjki , j显然|rij| 0,1.注：若出现某些rij 0可令rij=rij+12,则有rij 0,1.也可以用平移极差变换将其压缩到0,1上，从而得到模糊相似矩阵R = (rij)nm.（2）绝对值指数法。令9rij= expmk=1|xik xjk|,(i, j = 1,2, ,n)则R = (rij)nm.（3）海明距离法。令rij= 1 H d(xi, xj),d(xi, xj) =mk=1|xik xjk|i, j = 1,2,n其中H为使得所有rij 0,1，i, j = 1,2,n的确定常数。则R = (rij)nm.（4）欧式
19、距离法。令rij= 1 E d(xi, xj),d(xi, xj) =mk=1|xik xjk|2i, j = 1,2,n其中E为使得所有rij 0,1，i, j = 1,2,n的确定常数。则R = (rij)nm.（5）主观评分法。设有N个专家组成专家组，让每一位专家对所研究的对象xi与xj相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果对第k位专家Pk关于对象xi与xj相似程度评价rij(k)，对自己的自信度评估为aij(k),i, j = 1,2,n,则相关系数定义为rij=mk=1(rij(k) aij(k)mk=1aij(k)i, j = 1,2,n则R = (rij)nm.（6）最
20、大最小值法。令rij=mk=1(xik xjk)mk=1xik xjki, j = 1,2,n10则R = (rij)nm（7）夹角余弦法。（8）相关系数法。（9）指数相似系数法。（10）切比雪夫距离法。（11）算术平均值法。（12）几何平均值法。（13）绝对值倒数法。第第第三三三步步步 聚聚聚类类类所谓模糊聚类方法是根据模糊等价矩阵将所研究的对象进行分类的方法。对于不同的置信水平 0,1,可以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。（一一一）传传传递递递闭闭闭包包包法法法通常所建立的模糊矩阵R 只是一个模糊相似矩阵，即R 不一定是模糊等价矩阵。为此，首先需要由R 来构造一个模糊等价矩阵R*。
21、根据传递闭包的性质，可以用平方法求出R 的传递闭包t(R) = R*，即为一模糊等价矩阵。然后，由大到小取一组 0,1值，确定相应的截矩阵，从而可以将其分类，同时形成动态聚类图。（二二二）布布布尔尔尔矩矩矩阵阵阵法法法设论域U = x1, x2, , xn,R是U上的模糊相似矩阵，对于确定的平要求U中元素的分类。首先，由于模糊相似矩阵R作出其截矩阵R= (rij()，即R为布尔矩阵。然后依据R中的1元素可以将其分类。如果R为等价矩阵，则R也为等价矩阵，即可以直接将其分类。如果R不是等价矩阵，则首先按一定的规则将R改造成一个等价的布尔矩阵，然后再进行分类。（三三三）直直直接接接聚聚聚类类类法法法
22、所谓直接聚类法是一种直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，我们介绍其中一种编网法，具体步骤如下：对于通过标定后得到的相似矩阵R,若取定 0,1，对R聚类：(1)将R主对角线元素换成x1, x2, , xn，主对角线上方空白；(2)将R主对角线下方的1换成*，0换成空白；(3)由各“*”号处做十字线与主对角线元素相交；经这三步后，若经由各十字线能连接起来的元素归于同类。编网法的聚类结果与传递闭包一致，但无需求传递闭包，而直接通过相似矩阵进行聚类，因此，它具有的计算量小且直观易于掌握的特点。下面我们来看一个例子：【环境单元分类】：每个环境单元包括空气、水分、土壤、作物四个要素。环境单元的污染状况由污
23、染物在四要素中含量的超限度来描述。现有五个环境单元，11污染数据如下：A =5 5 3 2B =2 3 4 5C =5 5 2 3D =1 5 3 1E =2 4 5 1试对X = A, B,C,D,E进行分类。（1）先用传递闭包法解（1）数据标准化，按绝对值减数法，rij= 1 c4k=1|xik xjk|,c = 0.1 则可得模糊相似矩阵R =1 0.1 0.8 0.5 0.30.1 1 0.1 0.2 0.40.8 0.1 1 0.3 0.10.5 0.2 0.3 1 0.60.3 0.4 0.1 0.6 1（2）求传递闭包，用平方法求得R R2 R4= R812R4= R*=1 0.
24、4 0.8 0.5 0.50.4 1 0.4 0.4 0.40.8 0.4 1 0.5 0.50.5 0.4 0.5 1 0.60.5 0.4 0.5 0.6 1（3）动态聚类i与j归为一类，当且仅当r*ij R*1=1 0 0 0 00 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1故将X分为五类：A,B,C,D,E13R*0.8=1 0 1 0 00 1 0 0 01 0 1 0 00 0 0 1 00 0 0 0 1故将X分为四类：A,C,B,D,ER*0.6=1 0 1 0 00 1 0 0 01 0 1 0 00 0 0 1 10 0 0 1 1故将X分为三类：
25、A,C,B,D,E14R*0.5=1 0 1 1 10 1 0 0 01 0 1 1 11 0 1 1 11 0 1 1 1故将X分为两类：A,C,D,E,BR*0.5=1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1故将X分为一类：A, B,C,D,E也就是说当 0,0.4X 分为一类，当 (0.4,0.5X分为两类，当 (0.5,0.6X 分为三类，当 (0.6,0.8X分为四类，当 (0.8,1X分为五类。(4)画动态聚类图，从图可以看出X的元素随着 水平变化逐步归并的情形。（2）编网法：第一步和传递闭包法一样，先求出模糊相似矩阵，则15Figu
26、re 2: 3.jpg16分类如下：R*1=ABCDE，故将X分为5类：A,B,C,D,E。R*0.8=AB*CDE，故将X分为4类：AC,B,D,E。17R*0.6=AB*CD* E，故将X分为3类：A,C,B,D,E。R*0.5=AB*C*D* E，故将X分为2类：A,C,D,E,B。18R*0.4=AB*C*D* E，故将X分为1类：u1,u2,u3,u4,u5。动态聚类图和传递闭包法一样。由此可知，编网法的聚类结果和传递闭包法一致，只是不需要求传递闭包，计算量较小。四四四、模模模糊糊糊模模模式式式识识识别别别方方方法法法将事物的整体划分为若干类型而得到一组标准模式，对于一个确定的对象识
27、别它属于哪一类的问题称为模式识别。如果整体被划分的类型与被识别的对象之中至少有一个是用模糊集表示的模式识别问题，则称为模糊模式识别。下面介绍两种最基本的模糊模式识别方法最大隶属原则和择近原则。4.1模模模式式式识识识别别别中中中的的的最最最大大大隶隶隶属属属原原原则则则定定定义义义10设论域U = x1, x2, , xn中有m个模糊子集A1, A2, ,Am,其隶属函数为Ai(x),而模糊向量集合族A = (A1,A2, ,Am)对于普通的向量x(0)=(x(0)1, x(0)2, , x(0)m),则称(x(0) =mi=1(Ai(x(0)i)为x(0)对模糊集向量集合族A的隶属度。实际中
28、，x(0)对模糊集向量集合族A的隶属度也可以定义为(x(0) =1nmi=1Ai(x(0)i).最最最大大大隶隶隶属属属原原原则则则设在论域U = x1, x2, , xn中有m个模糊子集A1, A2, ,Am, （即m个模式）构成一个标准模式库，若对任意一个x(0) U ，存在k0(1 k0 m)使得Ak0(x(0) =mk=1Ak(x(0)，则可视x(0)相对隶属于Ak0。19最最最大大大隶隶隶属属属原原原则则则设在论域U = x1, x2, , xn上确定一个标准模式A0，对于n个待识别的对象x1, x2, , xn U，如果有某个xk满足A0(xk) =mk=1A0(xi)1 k n，
29、则xk优先隶属于A0.例:如表所示为湖泊水质评价标准,现测到杭州西湖,武汉东湖,青海湖,巢湖,滇池总磷含量分别为130,105,20,30,25,请使用最大隶属原则判别这些湖泊所属级别.表1：农业经济技术方案评价指标极贫营养贫营养中营养富营养极富营养总磷 660耗氧量 27.1透明度 37122.40.55 0.17总氮 0.020.060.311.24.6解：设ABCDE分别表示总磷属于极贫营养到极富营养各级别，其隶属函数分别为：A(x) =1x 14x31 x 40x 4B(x) =x131 x 423x194 x 23020C(x) =x4194 x 23110x8723 x 11002
30、3D(x) =x238723 x 110660x550110 x 6600E(x) =x110550110 6600A(130) = 0,B(130) = 0,C(130) = 0,D(130) = 0.964,E(130) = 0.036A(105) = 0,B(105) = 0,C(105) = 0.057,D(105) = 0.943,E(105) = 0A(20) = 0,B(20) = 0,C(20) = 0,D(20) = 0.842,E(20) = 0A(30) = 0,B(30) = 0,C(30) = 0.92,D(30) = 0.08,E(30) = 0A(25) = 0,
31、B(25) = 0,C(25) = 0.977,D(25) = 0.023,E(25) = 0由最大隶属原则可知，就总磷指标而言，杭州西湖和武汉东湖属于富营养，其余属于中营养。4.2模模模式式式识识识别别别中中中的的的择择择近近近原原原则则则设在论域U = x1, x2, , xn中有m个模糊子集A1, A2, ,Am, （即m 个模式）构成一个标准模式库，对U上的另一个模糊子集A0，试问A0与Ai(i = 1,2, ,m)中的哪一个最贴近？1贴贴贴近近近度度度定定定义义义设论域U上的模糊子集A1,A2 F(U),则称A1 A2=mk=1(A1(x) A2(x)为A1,A2的内积；称A1 A2
32、=mk=1(A1(x) A2(x)21为A1,A2的外积。定定定义义义11 设论域U上的模糊子集A1,A2 F(U),则称N(A1,A2) =12A1 A2+ (1 A1 A2)为A1,A2的贴近度。显然如果两个模糊子集的贴近度越大，则说明其越贴近。而且贴近度的以下性质：（1）0 N(A1,A2) 1（2）N(A,A) =12A + (1 A), 其中A，A分别为A 的高和底；N(U,) = 0.2单单单个个个特特特性性性的的的择择择近近近原原原则则则设论域U上的m个模糊子集A1, A2, ,Am,（m个模式）构成一个标准模式库A1, A2, ,Am，模糊子集A0为待识别的模式，若存在k01
33、k0 m使得N(Ak0,A0) =mk=1N(Ak,A0)则A0与Ak0最贴近，或者说把A0可归并到Ak0类。3常常常用用用贴贴贴近近近度度度（1）海明贴近度若X = x1, x2, , xn,则N1(A, B) = 1 1nni=1|A(xi) B(xi)|若X = a,b R,则N1(A, B) = 1 1b aba|A(x) B(x)|dx式中N1(A, B) 称为海明贴近度。（2）欧几里得贴近度22若X = x1, x2, , xn,则N2(A, B) = 1 1n(ni=1(A(xi) B(xi)2)12若X = a,b R,则N2(A, B) = 1 1b a(ba(A(xi) B
34、(xi)2dx)12式中N2(A, B)称为欧几里得贴近度。（3）最大最小贴近度若X = x1, x2, , xn,则N3(A, B) =ni=1(A(xi) B(xi)ni=1(A(xi) B(xi)式中N3(A, B)称为最大最小贴近度。（4）算术平均贴近度N4(A, B) =2ni=1(A(xi) B(xi)ni=1(A(xi) + B(xi)式中N4(A, B)称为算术平均贴近度。这些贴近度可供应用时选择。例：设论域U = (x1, x2, x3, x4)上的3个模糊子集分别为A1= (0.9,0.1,0.6,0.3),A2=(0.0,3,0.4,0.8),A3= (0.2,0.7,1
35、,0)问U上的模糊子集B = (0.1,0.6,0.3,0.4)应相对归于哪个模糊子集Ai.解：先计算B与Ai的海明贴近度NH(B,A1) = 1 14(0.8 + 0.3 + 0.5 + 0.1) = 0.575NH(B,A2) = 1 14(0.1 + 0.3 + 0.1 + 0.4) = 0.77523NH(B,A3) = 1 14(0.1 + 0.1 + 0.7 + 0.4) = 0.675NH(B,A2) = maxNH(B,Ai)然后计算B与Ai的欧式贴近度NE(B,A1) = 1 14(0.82+ 0.32+ 0.52+ 0.12) = 0.575NE(B,A2) = 1 14(
36、0.12+ 0.32+ 0.12+ 0.42) = 0.775NE(B,A3) = 1 14(0.12+ 0.12+ 0.72+ 0.42) = 0.675NE(B,A2) = maxNE(B,Ai)综合可知，无论是海明贴近度还是欧式贴近度，都应将B规划于Ai.根据实际问题的需要，依据对象的多个特性的模式识别问题，即要研究两个模糊向量集合族的贴近度问题。对于论域U上的两个模糊向量集合族A = (A1,A2, ,Am),B = (B1, B2, , Bm),则A与B的贴近度可定义为(1)N(A, B) =mk=1N(Ak, Bk);(2)N(A, B) =mk=1N(Ak, Bk);(3) N(
37、A, B) =mk=1akN(Ak, Bk),其中ak 0,1,且mk=1ak= 1;(4)N(A, B) =mk=1(ak N(Ak, Bk), 其中ak 0,1,且mk=1ak= 1;(5)N(A, B) =mk=1(ak N(Ak, Bk), 其中ak 0,1,且mk=1ak= 1.4多多多个个个特特特性性性的的的择择择近近近原原原则则则设论域U上有n个模糊子集A1,A2, ,An构成一个标准模式库A1,A2, ,Am，每个模式Ak都可用m个特性描述，即Ak= (Ak1,Ak2, ,Akm)(k = 1,2, ,n)待识别的模式为A0= (A01,A02, ,A0m)(k = 1,2,
38、,n)，如果两个模糊向量集合族的贴近度为nk=mk=1N(Aki, B0i)(k = 1,2, ,n)，并有自然数k0(1 k0 n)使得nk0=nk=1nk,则模式A0隶属于Ak。五五五、模模模糊糊糊综综综合合合评评评判判判方方方法法法在对许多事物进行客观评价时，其评价因素可能较多，我们不能只根据某一24个指标的好坏就作出判断，而因该根据多种因素进行综合评价。模糊综合评判就是对受多个因素影响的事物（或对象）做出全面的评价。模糊综合评判又称为模糊综合决策或模糊多元决策。传统的评判方法有总评分法和加权平分法。1、总总总评评评分分分法法法根据评判对象的评价项目uii = (1,2, ,n)，首先对
39、每个项目确定出评价的等级和相应的评分数sii = (1,2, ,n)并将所有项目的分数求和S =ni=1isi；然后按总分大小排序，从而确定出方案的优劣。2、加加加权权权平平平均均均法法法根据评判对象的诸多因素（指标）uii = (1,2, ,n)所处的地位或所起的作用不同，引入权重的概念，求其诸多因素（指标）评分sii = (1,2, ,n) 的加权和S =ni=1wisi，其中i为第i(i = 1,2, ,n)个因素（指标）的权值。模模模糊糊糊综综综合合合评评评判判判的的的一一一般般般步步步骤骤骤：（1）确定因素集U = u1,u2, ,un. 因素集就是评价对象的属性或指标的集合。（2）
40、确定评判集V = v1,v2, ,vm .评判集为所有因素的诸多评判等级构成的集合。（3）确定模糊评判矩阵R = (rij)nm.首先，对每一个因素ui做一个评判f(ui)i = (1,2, ,n)，则可以得到从U 到的一个模糊映射f，即f : U F(U),ui f(ui) = (ri1,ri2, ,rim) F(V)然后，由模糊映射f可以诱导出模糊关系Rf F(U V)即Rf(ui,vi) = f(ui)(vj) = riji = (1,2, ,n), j = (1,2, ,m)从而可以确定出模糊评判矩阵R = (rij)nm，而且称（U，V，R）为模糊综合评判模型，U，V，R 称为该模型
41、的三要素。（4）确定因素权重，对U中各因素有不同的测度，需对每个因素赋予不同的权25重，它可表为U上的一个模糊子集，A = a1,a2, ,an F(U)，且ni=1ai= 1（5）综合评判.在R与A求出后，可以得到综合评判B = A R记B = (b1,b2, ,bm)，B是V上的一个模糊子集，因而它是模糊评判结果，即bj(j = 1,2, ,m)反映了第j种评判vj在综合评判中所占的地位，如果评判结果ni=1bi, 1，可将其归一化。模模模糊糊糊综综综合合合评评评判判判构构构成成成如果模糊综合评判模型为（U，V，R），对于权重A = a1,a2, ,an F(U)，模糊评判矩阵为R = (
42、rij)nm，则用模型M(,)运算得综合评判为B = A R = (b1,b2, ,bm) F(V)，其中bj=nk=1(ai rij), j = 1,2, ,m事实上，由于ni=1ai= 1，对于某些情况可能会出现ai6 rij,即ai rij= ai,这样可能导致模糊评判矩阵中R的许多信息丢失，即人们对某些因素所做的评判信息在决策中未得到充分的利用，从而导致评判结果失真，为此，实际中可以对模型M(,)进行改进。模模模型型型的的的改改改进进进方方方法法法（1）模型M(,)法：对于A = a1,a2, ,an F(U)和R = (rij)nm，则用模型M(,)运算得B = A * R,即bj=
43、nk=1(ai rij), j = 1,2, ,m（）模型M(,+)法：对于A = a1,a2, ,an F(U)和R = (rij)nm，则用模型M(,+)运算得B = A * R，即bj=nk=1(ai rij), j = 1,2, ,m26（）模型M(,+)法：对于A = a1,a2, ,an F(U) 和R = (rij)nm，则用模型M(,+)运算得B = A * R，即bj=nk=1(ai rij), j = 1,2, ,m注：当主因素（权重最大的因素）在综合中起主导作用时，选取M(,)；当模型M(,) 失效时，选用“主因素突出型”M(,) 和M(,+) 模型,常用在所统计的模糊矩
44、阵中的数据相差很悬殊的情形，它可以防止其中“调皮”的数据的干扰；当需要对所有因素的权重均衡时，可选用加权平均模型M(,+),它常用在因素集很多的情形，可以避免信息丢失。实实实例例例分分分析析析某服装厂生产某种服装，欲了解顾客对该种服装的欢迎程度。现采用模糊综合评价法来解决这个问题。1、确定模糊综合评判指标取U花色，式样，价格，耐用度，舒适度2、建立综合评判的评价集取V很欢迎，欢迎，一般，不欢迎3、进行单因素模糊评判，并求得评判矩阵R1=(0.2,0.5,0.3,0.0)R2=(0.1,0.3,0.5,0.1)R3=(0.0,0.1,0.6,0.3)R4=(0.0,0.4,0.5,0.1)R5=
45、(0.5,0.3,0.2,0.0)R =0.2 0.5 0.3 0.00.1 0.3 0.5 0.10.0 0.1 0.6 0.30.0 0.4 0.5 0.10.5 0.3 0.2 0.0274、建立评判模型，进行综合评判由于对服装的评判，不同层次、不同年龄、不同性别的观点各不相同，故本例选定某类男顾客。经了解，他们比较侧重于舒适度和耐用度，而不太讲究花色和样式，对各因素的权数可确定如下:0.10 0.10 0.15 0.30 0.35由此确定评判模型：B = A RB = A R =0.10 0.10 0.15 0.30 0.35*0.2 0.5 0.3 0.00.1 0.3 0.5 0.
46、10.0 0.1 0.6 0.30.0 0.4 0.5 0.10.5 0.3 0.2 0.0=0.35 0.30 0.30 0.155、评判指标处理法将上述指标归一化得，28B=0.32 0.27 0.27 0.15结果表明，这种服装在男顾客中，32%的人“很欢迎”，27%的人“欢迎”，27%的人态度“一般”，14%的人“不欢迎”。如果评判者是女顾客，由于她们特别看中花色和样式，故各因素的权为；A=(0.30,0.35,0.10,0.10,0.05) 则综合评判的结果为：B=（0.20,0.30,0.35,0.10）将上述评判指标归一化得B=（0.21,0.315,0.37.0.105）这表明
47、，这种服装在女顾客中，21%的人“很欢迎”，31.5%的人“欢迎”，37%的人态度“一般”，10.5%的人“不欢迎”。多多多层层层次次次模模模糊糊糊综综综合合合评评评判判判在实际的综合评判问题中，影响评判结果的因素一般很多。因此确定权重非常困难，另一方面，因素过多，导致权重都比较小，以致评判结果难以区分。在这样的问题中，一般可以将诸因素分为若干个层次进行研究首先分别对单层次的各因素进行评判，然后对所有的各层次因素做综合评判。下面通过一个例子例子说明多级综合评判方法。例：对高校整体水平进行评估。毫无疑问，影响高校整体水平的因素众多。假设从大的方面说，决定高校的整体水平因素有：X=教学水平，科研水
48、平，管理水平 对影响教学、科研、管理水平再进行细分，假设影响教学水平的主要因素：X1=师资状况，教学设施，图书资料 影响科研水平的主要因素：X2=科研成果，科研经费，知名学者数量 影响管理水平的因素：X3=规章制度，领导干部队伍，管理干部队伍 像这样的问题可以先对教学水平、科研水平、管理水平进行评判，有了这些因素的评判结果后，把他们视为单因素再对高校整体水平进行评判。假设A1是对教学水平评判时各因素的权重，R1是评价教学水平时得到的单因素评价矩阵，则对教学水平的评价结果为B1= A1 R1类似可得对科研水平和管理水平的评价结果分别为B2= A2 R229B3= A3 R3式中，A2和A3分别是
49、影响科研水平因素和管理水平各因素的权重；R2，R3分别是各对应的单因素评价矩阵。那么关于高校整体水平的综合评价结果为C = A B = AA1 R1A2 R2A3 R3式中，A是影响高校整体水平的教学、科研、管理三个方面的权重向量。综上所述，多层次模糊综合评价可归纳为以下步骤：(1)将因素进行分解，设因素集U = u1,u2, ,un，评判集V = v1,v2, ,vm，先根据U中各因素间的关系将U分成P分，设第i个子集Ui= ui1,ui2, ,uin,则pi=1Ui=U,pi=1Pj= n(2) 利用前面简单模型分别进行一级综合评价，对每个Ui，按上述综合评价模型进行综合评价得Bi= Ai
50、 Ri,其中Ai是Ui上的1 ni阶权向量，Ri为对Ui的ni m阶的单因素评价矩阵，B是Ui的1 m阶一级综合评价结果矩阵。（3）多级综合评价。将每个Ui作为一个因素，用Bi作为它的单因素评价，又可构成一个p m 阶评价矩阵R = (B1, B2, , BP)并设关于u1,u2, ,un的权重分配为A = a1,a2, ,ap,则得到U的二级综合评价结果为B = A R.现实生活中可能还有更多层次的因素分析，根据需要我们还可以考虑更多级的综合评判，只是过程复杂一些。30作作作业业业1、设论域U = (u1,u2,u3,u4,u5)由父，子，女，邻居和母五人组成，请用传递闭包法和编网法对这五人
51、按相貌相像程度进行模糊分类，并画出动态聚类图。已知相似矩阵为10.8 0.6 0.1 0.20.810.8 0.2 0.850.6 0.8100.90.1 0.2010.10.2 0.85 0.9 0.112、现以7个学院组成一个分类集合：X = (x1, x2, , x7)，分别代表经管、汽车、信息、材化、计算机、土建、机械学院。每个学院成绩均采用都学习的四门基础课（工程数学、大学物理、高等数学、大学英语）作为四项统计指标，即有：xij= xi1, xi2, xi3, xi4，这里xij表示为第i个学院的第j门基础课指标(i = 1,2, ,7; j = 1,2, ,4)。这四项成绩指标为：
52、工程数学平均成绩xi1，大学物理平均成绩xi2，高等数学平均成绩xi3，大学英语平均成绩xi4。各专业成绩指标见表1：31表表表17个个个学学学院院院四四四门门门功功功课课课成成成绩绩绩指指指标标标xij学院（指标/分）经管汽车信息材化计算机土建机械xi162.0362.4878.5272.1274.1873.9566.83xi259.4763.7072.3873.2867.0768.3276.04xi368.1761.0475.1777.6867.7470.0976.87xi472.4568.1774.6570.7770.4368.7373.18学院学生成绩的好与差，没有明确的评定界限，并且
53、学院成绩好坏的表现，具有一定的模糊性，请用模糊聚类分析方法解决上述问题。3、两种蠓Af和Apf，它们是根据触角长河翼长加以区别的，现测得9只Af和6只Apf的触角长和翼长的数据如下表，32序号触角长翼长类别11.241.72121.361.74131.381.64141.381.82151.381.9161.41.7171.481.82181.541.82191.562.081101.141.782111.181.962121.21.862131.2622)141.2822151.31.96233（1）依据以上数据，制定一种方法，正确区分两类蠓虫。（2）如何识别触角长河翼长分别为(1.24,1
54、.8),(1.28,1.84),(1.4,2.04)的三只蠓。（3）设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，则是否应该修改分类方法4、对某种产品做综合评判，考虑由四种因素来评价产品，将质量分为四等V = IIIIIIIV。设单因素评判是模糊映射f : U F(V),f(u1) = (0.2,0.8,0.1,1),f(u2) =(0,0.2,0.5,0.3), f(u3) = (0.4,0.2,1,0),f(u4) = (0,0.4,0.6,0.5)，及有两种因素权重分配A1= (0.4,0.3,0.2,0.1),A2= (0.5,0.1,0.2,0.2)，试按两种权重评价产品分别相对属
55、于哪一段；若产品综合评价结果为B = (0.2,0.3,0.3,0.2)。试从下面四种权重分配中选出最符合作该评价的一种。A1= (0.5,0.3,0.1,0.1),A2= (0.4,0.3,0.1,0.2),A3=(0.3,0.2,0.2,0.3),A4= (0.4,0.2,0.3,0.1)。5、现有5个农业技术经济方案，如下表，试评价各方案的优劣。表1：农业经济技术方案方案、指标产量投资耗水量用药量劳力除草剂肥力1100012050001501.5127006040002402239006070001701448007080001.5400.56580080400023025提示：考虑指标
56、的实际含义，用变异系数法求各指标的权重。6、物流中心作为商品周转、分拣、保管、在库管理和流通加工的据点，使得商品能够按照顾客的要求增加附加价值，克服在其运动过程中所发生的时间和空间的障碍。在物流系统中，物流中心的选址是物流系统优化中一个具有战略意义的问题，非常重要。在物流规划过程中，物流中心的选址要考虑许多因素。现我们考虑某区域有八个不同的候选地址A,B,C,D,E,F,G,H，下表是通过数据处理后得34到的诸因素的模糊综合评判：35因素ABCDEFGH气象条件0.910.850.870.980.790.600.600.95地质条件0.930.810.930.870.610.610.950.8
57、7水文条件0.880.820.940.880.640.610.950.91地形条件0.900.830.940.890.630.710.950.91交通运输0.950.900.900.940.600.910.950.94经营环境0.900.900.870.950.870.650.740.61候选地面积0.600.950.600.950.950.950.950.95候选地形状0.600.690.920.920.870.740.890.95候选地周边干线0.950.690.930.850.600.600.940.78候选地地价0.750.600.800.930.840.840.600.80供水0.6
58、00.710.770.600.820.950.650.76供电0.600.710.700.600.800.950.650.76供气0.910.900.930.910.950.930.810.89排水0.920.900.930.910.950.930.810.89固体废物处理0.870.870.640.710.950.610.740.65通讯0.810.940.890.600.650.950.950.89道路设施0.900.600.920.600.600.840.650.8136Figure 3: 2.jpg权重的确定方法可用专家调查法，层次分析法等，这边大家根据自己的实际理解来判断权重，最终通
59、过模糊综合评判法选出最优候选址。7.湘江大桥，曾提出三个工程方案确定甲乙丙三个桥位，关于这三个桥位工程方案的原始资料中，共列入了损失，造价和受益三大类的12项评判因素，即X造=(引线工程造价，覆盖层厚度，桥位地形地貌，附属工程设施);X损=(占用良田，拆迁房屋，绕道通过地带，由下摄司去易俗河绕行年损失);X益=引出过境交通，对区域经济的影响，桥位与建设大道的联系，由板摄路口至易河的营运里程 取评判因素集X = XZ,XS,XY，其中XZ视为X造，XS为X损，XY为X益，评语集Y = (3,2,1,0,1,2,3), 经专家评价后整理权为A = (0.22,0.18,0.6) AZ=(0.5,0
60、.1.0.1,0.3),AS(0.5,0.3,0.1,0.1),AY= (0.5,0.25,0.1,0.15)试采用算子M(,)法进行多层次综合评价，以决定甲乙丙哪个最好。8.我国公务员制度已实施多年，1993年10月1日颁布施行的国家公务员暂行条例规定：”国家行政机关录用担任主任科员以下的非领导职务的国家公务员，采用公开考试、严格考核的办法，按照德才兼备的标准择优录用”。目前,我国招37Figure 4: 3.jpgFigure 5: 4.jpg38聘公务员的程序一般分三步进行：公开考试（笔试）、面试考核、择优录取。现有某市直属单位因工作需要，拟向社会公开招聘8名公务员，具体的招聘办法和程序
61、如下：（一）公开考试：凡是年龄不超过30周岁，大学专科以上学历，身体健康者均可报名参加考试，考试科目有：综合基础知识、专业知识和行政职业能力测验三个部分，每科满分为100分。根据考试总分的高低排序按1:2的比例（共16人）选择进入第二阶段的面试考核。（二）面试考核：面试考核主要考核应聘人员的知识面、对问题的理解能力、应变能力、表达能力等综合素质。按照一定的标准，面试专家组对每个应聘人员的各个方面都给出一个等级评分，从高到低分成A、B、C、D四个等级，具体结果见表所示。（三）由招聘领导小组综合专家组的意见、笔初试成绩以及各用人部门需求确定录用名单,并分配到各用人部门。该单位拟将录用的8名公务员安
62、排到所属的7个部门，并且要求每个部门至少安排一名公务员。这7个部门按工作性质可分为四类：(1)行政管理、(2)技术管理、(3)行政执法、(4)公共事业。见表2所示。招聘领导小组在确定录用名单的过程中，本着公平、公开的原则，同时考虑录用人员的合理分配和使用，有利于发挥个人的特长和能力。招聘领导小组将7个用人单位的基本情况（包括福利待遇、工作条件、劳动强度、晋升机会和学习深造机会等）和四类工作对聘用公务员的具体条件的希望达到的要求都向所有应聘人员公布（见表2）。每一位参加面试人员都可以申报两个自己的工作类别志愿（见表1）。请研究下列问题：(1).如果不考虑应聘人员的意愿，择优按需录用，试帮助招聘领
63、导小组设计一种录用分配方案；(2).在考虑应聘人员意愿和用人部门的希望要求的情况下，请你帮助招聘领导小组设计一种分配方案；(3).你的方法对于一般情况，即N个应聘人员M个用人单位时，是否可行？表1：招聘公务员笔试成绩、专家面试评分及个人志愿39应聘人员笔试成绩知识面理解能力应变能力表达能力申报类别志愿人员1290AABB(2) (3)人员2288ABBC(3) (1)人员3288BADC(1) (2)人员4285ABBB(4) (3)人员5283BABC(3) (2)人员6283BDAB(3) (4)人员7280ABCB(4) (1)人员8280BAAC(2) (4)人员9280BBAB(1) (3)人员10280DBAC(3) (1)人员11278DCBA(4) (1)人员12277ABCA(3) (4)人员13275BCDA(2) (1)人员14275DBAB(1) (3)人员15274ABCB(1) (4)人员16273BABC(4) (1)40Figure 6: 8-1.jpg。
