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1、习题习题 4.1 1. 设随机变量 X 的概率密度为 (1) 其他 (2) 求 E(X) 解: (1) (2) 2. 设连续型随机变量 X 的分布函数为 试确定常数 a,b,并求 E(X). 解: (1) 其他即 又因当 时 即 (2) 3. 设轮船横向摇摆的随机振幅 X 的概率密度为 求 E(X). 解: 4. 设 X1, X2,. Xn独立同分布,均值为 ,且设 ,求 E(Y). 解: 5. 设(X,Y)的概率密度为 其他 求 E(X+Y). 解: 的导数为的导数为6. 设随机变量 X1, X2相互独立,且 X1, X2的概率密度分别为 求: 解: (1) (2) (3) 7. 已知二维随
2、机变量(X,Y)的分布律为 0 1 2 1 0.1 0.2 0.1 2 0.3 0.1 0.2 求 E(X). 解: 8. 设随机变量 X 的概率密度为 其他 且 E(X)=0.75,求常数 c 和 . 解: Y X 该题服从指数分布, 故E(X)= 习题习题 4.2 1. 设离散型随机变量 X 的分布律为 X -1 0 0.5 1 2 P 0.1 0.5 0.1 0.1 0.2 求 解: 2. 盒中有 5 个球,其中有 3 个白球,2 个黑球,从中任取两个球,求白球数 X 的期望和方差. 解: X 的可能取值为 0,1,2 3. 设随机变量 X,Y 相互独立,他们的概率密度分别为 其他 求
3、D(X+Y). 解: 4. 设随机变量 X 的概率密度为 求 D(X) 解: = 5. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=1,D(Y)=2,求 D(X-Y). 解: 6. 若连续型随机变量 X 的概率密度为 其他 且 E(X)=0.5,D(X)=0.15.求常数 a,b,c. 解: 注意此处不可以用二项分布式: 此为奇函数,故=0 正负无穷带入结果都一样,故=解得 a=12,b=-12,c=3. 习题习题 4.3 1. 设两个随机变量 X,Y 相互独立,方差分别为 4 和 2,则随机变量 3X-2Y 的方差是 D . A. 8 B. 16 C. 28 D. 44 2. 设二维随机
4、变量(X,Y)的概率密度为 其他求 Cov(X,Y). 解: 3. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 其他求 X 与 Y 的相关系数 xy. 解: 所以 4. 设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,且 E(X)=0, E(Y)=0, D(X)=16, D(Y)=25, Cov(X,Y)=12,求(X,Y)的联合概 率密度函数 f(x,y). 解: 运用分部积分法. 服从 =1 的指数分布 5. 证明 D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y). 证: 6. 设(X,Y)的协方差矩阵为 ,求 X 与 Y 的相关系数 xy. 解: 自测题自测题 4 一、一、 选择题 1. 设随机
5、变量 X 服从参数为 0.5 的指数分布,则下列各项中正确的是 B . A. E(X)=0.5, D(X)=0.25 B. E(X)=2, D(X)=4 C. E(X)=0.5, D(X)=4 D. E(X)=2, D(X)=0.25 解: 指数分布的 2. 设随机变量 X,Y 相互独立,且 XB(16,0.5),Y 服从参数为 9 的泊松分布,则 D(X-2Y+1)= C . A.-14 B. 13 C. 40 D. 41 解: 3. 已知 D(X)=25,D(Y)=1, xy=0.4, 则 D(X-Y)= B . A.6 B. 22 C. 30 D. 46 4. 设(X,Y)为二维连续随机
6、变量,则 X 与 Y 不相关的充分必要条件是 C . A. X 与 Y 相互独立 B. E(X+Y)=E(X)+E(Y) C. E(XY)= E(X)E(Y) D. (X,Y)N( ) 解: 与 不相关 5. 设二维随机变量(X,Y)N( ),则 Cov(X,Y)= B . A. B. 3 C. 18 D. 36 解: 6. 已知随机变量 X 与 Y 相互独立,且它们分别在区间-1,3和2,4上服从均匀分布,则 E(XY)= A . A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 解: 7. 设二维随机变量(X,Y)N( ),(x)为标准正态分布函数,则下列结论中错误的是 C . A. X 与 Y
7、 都服从 N(0,1)正态分布 B. X 与 Y 相互独立 C. Cov(X,Y)=1 D. (X,Y)的分布函数是 二、二、 填空题 1. 若二维随机变量(X,Y)N( ),且 X 与 Y 相互独立,则 = 0 . 解: Cov(X,Y)=0 2. 设随机变量 X 的分布律为 3 . X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.3 0.4 令 Y=2X+1,则 E(Y)= 3 . 解: E(2X+1)=(2*-1+1)*0.1+(2*0+1)*0.2+(2*1+1)*0.3+(2*2+1)*0.4=3 3. 已知随机变量 X 服从泊松分布,且 D(X)=1,则 PX=1= . 解: 4.
8、设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)= D(Y)=1,则 D(X-Y) = 2 . 5. 已知随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布, = 6 . 解: 6. 设 X 为随机变量,且 E(X)=2, D(X)=4,则 = 8 . 7. 已知随机变量 X 的分布函数为 则 E(X) = 2 . 解: 其他8. 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且 D(X)=2, D(Y)=1,则 D(X-2Y+3)= 6 . 三、三、 设随机变量 X 的概率密度函数为 其他试求: (1)E(X), D(X); (2) . 解: (1) (2) 四、四、 设随机变量 X 的概率密度为 其他试求: (1
9、)E(X), D(X); (2) ,其中 n 为正整数. 解: (1) (2) 五、五、 设随机变量 X1与 X2相互独立,且 X1N( ), X2N( ).令 X= X1+X2, Y= X1-X2. 求: (1)D(X), D(Y); (2)X 与 Y 的相关系数 xy. 解: (1) (2) 六、六、 设随机变量 X 的概率密度为 (1) 求 E(X),D(X); (2) 令 ,求 Y 的概率密度 fY(y). 解: (1) (2) 由 Y=2X-1 得 , X= = 七、七、 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 其他求: (1)E(X+Y); (2)E(XY); (3) . 解: (1) (2) (3) 八、八、 设随机变量 X 的分布律为 X -1 0 1 P 记 Y=X2,求: (1)D(X), D(Y); (2) xy. 解: (1) (2)(X,Y)的分布律为 0 1 -1 0 1 Y X
