《同济大学的高等数学讲义 (15)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《同济大学的高等数学讲义 (15)（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三单元反常积分第三单元反常积分本单元要点本单元要点理解反常积分的意义及掌握反常积分的计算理解反常积分的意义及掌握反常积分的计算.本单元教学要求本单元教学要求从本质上理解什么是反常积分从本质上理解什么是反常积分, 由此区别于定积分由此区别于定积分. 并注意到反常积分相应的几何意义并注意到反常积分相应的几何意义. 掌握反常积分在收敛时的相应的积分计算掌握反常积分在收敛时的相应的积分计算.本单元教学的重点和难点本单元教学的重点和难点重点重点: 反常积分收敛的意义及反常积分在收敛时的积分计算反常积分收敛的意义及反常积分在收敛时的积分计算.难点难点: 无界函数反常积分的计算无界函数反常积分的计算.教学
2、时数安排教学时数安排: 2课时课时.一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分在定积分的定义中，要求积分区间为有限区间。但在许多实际问题中，所涉及到的积分区间为无穷区间。例如在前面的作功问题中，如果考虑将点电荷移到无穷远处，则电场所作的功即牵涉到一个无穷区间上的积分，即在定积分的定义中，要求积分区间为有限区间。但在许多实际问题中，所涉及到的积分区间为无穷区间。例如在前面的作功问题中，如果考虑将点电荷移到无穷远处，则电场所作的功即牵涉到一个无穷区间上的积分，即2lim.babqkqWkdrra=这里计算功的问题即是函数在无穷区间上的积分问题。由此我们引入这里计算功的问题即是函数在无穷区间上的积分问
3、题。由此我们引入W2kq r), a +定义设函数如果极限定义设函数如果极限),fC a+( )limbabf x dx +存在，则称反常积分收敛，并把此极限称存在，则称反常积分收敛，并把此极限称( )af x dx+ ( )af x dx+为反常积分的值，即有为反常积分的值，即有( )( )lim.baabf x dxf x dx+=若极限不存在，则称反常积分发散。若极限不存在，则称反常积分发散。( )af x dx+类似，对用记号类似，对用记号(,fCb( )bf x dx 表示在区间上的反常积分。即若极限表示在区间上的反常积分。即若极限( )f x(,b( )limbaaf x dx 存
4、在，则称反常积分收敛，此时并有存在，则称反常积分收敛，此时并有( )bf x dx ( )( )lim.bbaaf x dxf x dx =若极限不存在，则称反常积分发散。若极限不存在，则称反常积分发散。( )bf x dx 对记号表示函数在区间上的反常积分。如果反常积分对记号表示函数在区间上的反常积分。如果反常积分(),fC +( )f x dx+( )f x (), +( )( )00,f x dxf x dx+都收敛，则称反常积分收敛，且定义其值为都收敛，则称反常积分收敛，且定义其值为( )f x dx+( )( )( )00.f x dxf x dxf x dx+=+否则称反常积分是发
5、散的。否则称反常积分是发散的。( )f x dx+以上这三类积分都称为无穷限的反常积分。以上这三类积分都称为无穷限的反常积分。例例1 计算反常积分计算反常积分211.1dxx+解由 得解由 得2211111limlim arctan11bbbbdxdxxxx+=+.244=注若存在原函数则反常积分仍记为注若存在原函数则反常积分仍记为( )f x( ),F x( )( )()( ).aaf x dxF xFF a+=+ 注若存在原函数则反常积分仍记为注若存在原函数则反常积分仍记为( )f x( ),F x( )( )()( ).aaf x dxF xFF a+=+ 其中应理解为极限其中应理解为极
6、限()F +( )lim.xF x +例例2 讨论反常积分的收敛性。讨论反常积分的收敛性。()110pdx px+解当时，解当时，1p 1111111,11ppdxxp xp+=当时，当时，1p =111ln,dxxx+= +当时，当时，1p 发散发散1,p =发散发散1.p 反常积分的几何意义是：当时，尽管曲线向轴的正向无限延伸，但曲线与 轴围成的面积却是一个有限值。反常积分的几何意义是：当时，尽管曲线向轴的正向无限延伸，但曲线与 轴围成的面积却是一个有限值。b + xxxyoa( )yf x=解取坐标系如图， 轴铅直向上，原点在地球中心，设地球半径为质量为火箭的质量为取为积分变量，变化区间
7、为在上任取一小区间当火箭由 上升到时，所受到的地球引力近似于克服引力所作的功近似为因此功元素为解取坐标系如图， 轴铅直向上，原点在地球中心，设地球半径为质量为火箭的质量为取为积分变量，变化区间为在上任取一小区间当火箭由 上升到时，所受到的地球引力近似于克服引力所作的功近似为因此功元素为r ,R,M.m r),.R + ),R +,.r rdr+ rrdr+2,mMkr2.mMkdrr例例3 自地面铅直向上发射火箭，试问初速度达到多大时，火箭才能脱离地球的引力范围。自地面铅直向上发射火箭，试问初速度达到多大时，火箭才能脱离地球的引力范围。rrdr+r2.mMdWkdrr=注意到，地球对火箭的引力
8、为即注意到，地球对火箭的引力为即,mg2.mMkmgR=从而从而2 ,R gkM=于是有于是有 22.mgRdWdrr=因而克服地球引力所作的功为因而克服地球引力所作的功为22. RmMRWdrmgRr+=二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分定义设函数且在点 的右邻域内无界，如果极限定义设函数且在点 的右邻域内无界，如果极限(,fC a ba( )0limbaf x dx +存在，则称反常积分收敛，并把该极限值称为反常积分的值，即存在，则称反常积分收敛，并把该极限值称为反常积分的值，即( )baf x dx( )( )0lim.bbaaf x dxf x dx +=否则就称反常积分是发
9、散的。否则就称反常积分是发散的。( )baf x dx类似可定义在区间上连续函数的无界函数的反常积分类似可定义在区间上连续函数的无界函数的反常积分), a b( )( )0lim.bbaaf x dxf x dx+=进一步地，若函数且在两个端点均无界，若对极限进一步地，若函数且在两个端点均无界，若对极限( )(),f xC a b (),ca b( )( )00lim, lim,cbacf x dxf x dx+均存在，称反常积分收敛，并记均存在，称反常积分收敛，并记( )baf x dx( )( )( )00limlim.bbcacaf x dxf x dxf x dx+=+最后，若且在点
10、处无界，若反常积分最后，若且在点 处无界，若反常积分( )()(),f xC a cc bc( )( )00lim, lim,cbacf x dxf x dx+否则称反常积分发散。否则称反常积分发散。( )baf x dx均收敛，则称反常积分收敛，并记均收敛，则称反常积分收敛，并记( )baf x dx( )( )( )00limlim.bbcacaf x dxf x dxf x dx+=+否则称反常积分发散。否则称反常积分发散。( )baf x dx例例4 求反常积分求反常积分0221.adx ax解注意到被积函数在右端点无界。由计算公式，得解注意到被积函数在右端点无界。由计算公式，得002
11、222011limaadxdx axax+= ()00lim arcsin.2ax+=注为简单起见，若函数存在原函数则区间上的反常积分记为注为简单起见，若函数存在原函数则区间上的反常积分记为( )f x( ),F x (, a b( )( )( )( ).bbaaf x dxF xF bF a=其中应理解为其中应理解为( )F a( )lim. xaF x 例例5 计算反常积分计算反常积分51.1xdxx 解这是无界函数的反常积分。解这是无界函数的反常积分。55111 111xxdxdxxx +=5511111xdxdxx=+()535 2 11228121.33xx=+=例例6 计算反常积分计算反常积分11.1dxx x+解注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分。解注意到这既是无限区间又是无界函数的反常积分。2012.1dtt+=+()2101211tdxdtttx x+21xt =2dxtdt=
