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1、 12012017 7 年考研数学年考研数学三三真题真题 一一、选择题选择题 18 小题小题每小题每小题 4 分分，共共 32 分分 1若函数若函数1 cos,0( ) ,0xxf xax bx 在在0x 处连续处连续，则则 （A）1 2ab （B）1 2ab （C）0ab （D）2ab 【详解详解】 0001 1 cos12lim( )limlim2xxxxxf xaxaxa， 0lim( )(0) xf xbf ，要使函数在要使函数在0x 处连续处连续，必须满足必须满足11 22baba所以应该选所以应该选（A） 2二元函数二元函数(3)zxyxy的极值点是的极值点是（ ） （A）(0,0
2、) （B）0 3( , ) （C）3 0( , ) （D）11( , ) 【详解详解】2(3)32zyxyxyyxyyx，232zxxxyy， 2222222 ,2 ,32zzzzyxxxyx yy x 解方程组解方程组22320320zyxyyx zxxxyy ，得四个驻点得四个驻点对每个驻点验证对每个驻点验证2ACB，发现只有在点发现只有在点11( , )处满足处满足230ACB，且且20AC ，所以所以11( , )为函数的极大值点为函数的极大值点，所以应该选所以应该选（D） 3设函数设函数( )f x是可导函数是可导函数，且满足且满足( )( )0f x fx，则则 （A）(1)( 1
3、)ff （B）11( )()ff （C）11( )()ff （D）11( )()ff 【详解详解】设设2( )( ( )g xf x，则则( )2 ( )( )0g xf x fx，也就是也就是2( )f x是单调增加函数是单调增加函数也就得到也就得到22(1)( 1)(1)( 1)ffff，所以应该选所以应该选（C） 4 若级数若级数211sinln(1)nknn收敛收敛，则则k （ ） （A）1 （B）2 （C）1 （D）2 2【详解详解】ivn 时时222211111 11111sinln(1)(1)22kkkokonnnnnnnnn显然当且仅当显然当且仅当(1)0k，也就是也就是1k
4、时时，级数的一般项是关于级数的一般项是关于1 n的二阶无穷小的二阶无穷小，级数收敛级数收敛，从而选择从而选择（C） ） 5设设为为n单位列向量单位列向量，E为为n阶单位矩阵阶单位矩阵，则则 （A）TE不可逆不可逆 （B）TE不可逆不可逆 （C）2TE不可逆不可逆 （D）2TE不可逆不可逆 【详解详解】矩阵矩阵T的特征值为的特征值为1和和1n个个0，从而从而,2,2TTTTEEEE的特征值分的特征值分别为别为0,1,1,1；2,1,1,1；1,1,1,1；3,1,1,1显然只有显然只有TE存在零特征值存在零特征值，所以不可逆所以不可逆，应该选应该选（A） ） 6已知矩阵已知矩阵200021 00
5、1A ，210020 001B ，100020 002C ，则则 （A）,A C相似相似，,B C相似相似 （B）,A C相似相似，,B C不相似不相似 （C）,A C不相似不相似，,B C相似相似 （D）,A C不相似不相似，,B C不相似不相似 【详解详解】矩阵矩阵,A B的特征值都是的特征值都是1232,1是否可对解化是否可对解化，只需要关心只需要关心2的情况的情况 对于矩阵对于矩阵A，0002001 001EA ，秩等于秩等于 1 ，也就是矩阵也就是矩阵A属于特征值属于特征值2存在两个线性无关的存在两个线性无关的特征向量特征向量，也就是可以对角化也就是可以对角化，也就是也就是AC 对于
6、矩阵对于矩阵B，0102000 001EB ，秩等于秩等于 2 ，也就是矩阵也就是矩阵A属于特征值属于特征值2只有一个线性无关的只有一个线性无关的特征向量特征向量，也就是不可以对角化也就是不可以对角化，当然当然,B C不相似故选择不相似故选择（B） ） 7设设,A B，C是三个随机事件是三个随机事件，且且,A C相互独立相互独立，,B C相互独立相互独立，则则AB与与C相互独立的充分必要相互独立的充分必要条件是条件是（ ） （A）,A B相互独立相互独立 （B）,A B互不相容互不相容 （C）,AB C 相互独立相互独立 （D）,AB C互不相容互不相容 【详解详解】 3() )()()()(
7、)( ) ( )( ) ( )()PAB CP ACABP ACP BCP ABCP A P CP B P CP ABC () ( )( ( )( )() ( )( ) ( )( ) ( )() ( )P AB P CP AP BP AB P CP A P CP B P CP AB P C 显然显然，AB与与C相互独立的充分必要条件是相互独立的充分必要条件是()() ( )P ABCP AB P C，所以选择所以选择（C ） ） 8设设12,(2)nXXXn 为来自正态总体为来自正态总体( ,1)N的简单随机样本的简单随机样本，若若11ni iXXn，则下列结论中不则下列结论中不正确的是正确的
8、是（ ） （A）21()ni iX服从服从2分布分布 （B）2 12nXX服从服从2分布分布 （C）21()ni iXX服从服从2分布分布 （D）2()n X服从服从2分布分布 解解： （： （1）显然显然22() (0,1)() (1),1,2,iiXNXin且相互独立且相互独立，所以所以21()ni iX服从服从2( )n分布分布，也就是也就是（A）结论是正确的结论是正确的； （2）2 222 2 1(1)()(1)(1)ni inSXXnSn，所以所以（C）结论也是正确的结论也是正确的； （3）注意注意221( ,)() (0,1)() (1)XNn XNn Xn，所以所以（D）结论也是
9、正确的结论也是正确的； （4）对于选项对于选项（B） ：） ：221 111() (0,2)(0,1)() (1)22n nnXXXXNNXX，所以所以（B）结结论是错误的论是错误的，应该选择应该选择（B） 二二、填空题填空题（本题共本题共 6 小题小题，每小题每小题 4 分分，满分满分 24 分分. 把答案填在题中横线上把答案填在题中横线上） 9322(sin)xxdx 解解：由对称性知由对称性知3 322220(sin)22xxdxx dx 10差分方程差分方程122tttyy的通解为的通解为 【详解详解】齐次差分方程齐次差分方程120ttyy的通解为的通解为2xyC； 设设122ttty
10、y的特解为的特解为2ttyat，代入方程代入方程，得得1 2a ； 所以差分方程所以差分方程122tttyy的通解为的通解为122.2ttyCt11设生产某产品的平均成本设生产某产品的平均成本( )1QC Qe ，其中产量为其中产量为Q，则边际成本为则边际成本为 . 4【详解详解】答案为答案为1(1)QQ e 平均成本平均成本( )1QC Qe ，则总成本为则总成本为( )( )QC QQC QQQe，从而边际成本为从而边际成本为 ( )1 (1).QC QQ e 12设函数设函数( , )f x y具有一阶连续的偏导数具有一阶连续的偏导数，且已知且已知( , )(1)yydf x yye d
11、xxy e dy，(0,0)0f，则则( , )f x y 【详解详解】( , )(1)()yyydf x yye dxxy e dyd xye， 所以所以( , )yf x yxyeC， 由由(0,0)0f， 得得0C ，所以所以( , )yf x yxye 13设矩阵设矩阵101112 011A ，123, 为线性无关的三维列向量为线性无关的三维列向量，则向量组则向量组123,AAA的秩的秩为为 【详解详解】对矩阵进行初等变换对矩阵进行初等变换101101101112011011 011011000A ，知矩阵知矩阵 A 的秩为的秩为 2，由于由于123, 为线性无关为线性无关，所以向量组
12、所以向量组123,AAA的秩为的秩为 2 14设随机变量设随机变量X的概率分布为的概率分布为122P X ，1P Xa，3P Xb，若若0EX ，则则DX 【详解详解】显然由概率分布的性质显然由概率分布的性质，知知112ab 12133102EXabab ，解得解得11,44ab 29292EXab，229()2DXEXEX 三三、解答题解答题 15 （ （本题满分本题满分 10 分分） 求极限求极限030limxtxxte dtx【详解详解】令令xtu ，则则,txudtdu ， 00xxtx uxte dtuedu00033300002limlimlimlim33 2xxxtxuuxxxxxxte dteue duue duxexxxx 516 （ （本题满分本题满分 10 分分） 计算积分计算积分3242(1)Dydxdyxy，其中其中D是第一象限中以曲线是第一象限中以曲线yx与与x轴为边界的无界区域轴为边界的无界区域 【详解详解】 33242242002424200220(1)(1)1(1) 4(1)11121411282xDxyydxdydxdyxyxydxydxxydxxx17 （ （本题满分本题满分 10 分分） 求求2 1liml
