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1、硕士学位论文硕士学位论文一类二阶耗散系统的长时间渐近行为THE LONG TIME ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF A CLASS OF SECOND ORDER DISSIPATIVE SYSTEM 温博温博 哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学 2013 年年 6 月月国内图书分类号：O177.92 学校代码：10213 国际图书分类号：517 密级：公开 理学硕士学位论文理学硕士学位论文 一类二阶耗散系统的长时间渐近行为 硕 士 研 究 生 ： 温博 导 师 ： 薛小平教授 申请学位 ： 理学硕士 学科 ： 基础数学 所 在 单 位 ： 数学系 答 辩 日 期 ： 2013 年
2、6 月 授予学位单位 ： 哈尔滨工业大学 Classified Index: O177.92 U.D.C: 517 Dissertation for the Master Degree in Science THE LONG TIME ASYMPTOTIC BEHAVIOUR OF A CLASS OF SECOND ORDER DISSIPATIVE SYSTEM Candidate： Wen Bo Supervisor： Prof. Xue Xiaoping Academic Degree Applied for： Master of Science Speciality： Pure Ma
3、thematics Affiliation： Department of Mathematics Date of Defence： June, 2013 Degree-Conferring-Institution： Harbin Institute of Technology 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 摘 要 耗散系统是一类重要的动力系统，在力学、控制与优化、物理学等领域中有很多应用。近年来，有许多研究者在耗散系统方面做出了很多丰富的成果，但是大多数研究者讨论的是耗散项一直存在的耗散系统的动力学行为， 当耗散项随着时间推移逐渐消失时，这类耗散系统的动力学性质还不是很清楚。在2008 年，
4、Cabot 提出一个猜想，对这种带有逐渐消失耗散项的耗散系统的解轨道是否仍然是收敛的。针对这个猜想，本文主要讨论了一类带有逐渐消失耗散项的耗散系统的长时间渐近行为。 本文首先介绍了关于耗散系统的研究背景和发展过程， 给出了我们要研究的一类二阶耗散系统；然后，利用泛函分析和微分方程中的理论，证明了系统解轨道的全局存在唯一性，通过构造能量泛函，利用能量泛函证明了系统自身的一些基本性质；接着利用 Lojasiewicz 不等式证明了在目标泛函是实解析函数的条件下、当耗散项消失的足够慢时，系统的解轨道是收敛的；最后分别讨论了当目标泛函是凸函数和具有有限个临界点的函数时， 系统的长时间渐近行为。 关键词
5、：耗散系统；实解析；Lojasiewicz 不等式；凸函数；临界点 - I - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 Abstract Dissipative system is an important class of dynamical system,which has been applied in mechanics,control and optimization,phisics and many other fields.In recent years, many researchers have a lot of fruitful results in the dynamical b
6、ehaviour of the dissipative system. However, most dissipative system they studied contains the dissipative term all the time. If the dissipative term gradually disappears over time, the long time behaviour of the system is not very clear. In 2008, Cabot gave a conjecture that whether the solution of
7、 the dissipative system with the disappearing dissipative term was convergent. To address this conjecture, in this paper,we mainly discuss the long time behaviour of a class of dissipative system with gradually disappearing dissipative term. Firstly, the research background and development process o
8、f the dissipative system are introduced, and a class of second order dissipative system which is studied in this paper is given. Then, the global existence and uniqueness of the solution of the system is proved by using the theory of functional analysis and differential equation, and an energy funct
9、ion is constructed to prove some properties of the system. Further more, if the dissipative term disappears slowly enough, the convergence of the solution trajectory is proved under the condition that the objective function is real analytic by the Lojasiewicz inequality. Finally, we discuss the asym
10、ptotic behaviour of the system under the condition that the objective function is convex and the objective function has finite critical points, respectively. Keywords: Dissipative system, Real analytic, Lojasiewicz inequality, Convex function, Critical point - II - 哈尔滨工业大学理学硕士学位论文 目录 摘 要 . I ABSTRAC
11、T . II 第 1 章 绪 论 . 1 1.1 课题背景及意义 . 1 1.2 国内外研究现状及分析 . 1 1.3 课题来源及主要研究内容 . 3 1.4 本文结构 . 4 第 2 章 预备知识 . 5 2.1 泛函分析与微分方程中的基本概念及其性质 . 5 2.2 本章小结 . 6 第 3 章 二阶耗散系统的基本性质 . 7 3.1 二阶耗散系统的一些基本性质 . 7 3.2 本章小结 . 12 第 4 章 系统解轨道的收敛性分析 . 13 4.1 能量泛函的估计 . 13 4.2 解析条件下解轨道的渐近行为分析 . 14 4.2.1 解轨道的收敛性分析 . 15 4.2.2 解轨道的收敛速度估计 . 23 4.3 凸函数条件下解轨道的渐近行为分析 . 24 4.4 有限个临界点的条件下解轨道的渐近行为分析 . 26 4.5 本章小结 .
