高一数学期中复习－金锄头文库

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1、秋季期中考试复习 - 1 - 官网：http:/ 咨询电话：56639988 高一数学期中复习模块一：集合 1、集合集合的概念与表示的概念与表示 1.1 集合的概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合.集合中每个对象叫做这个集合的元素. 集合里元素的特性确定性：集合的元素，必须是确定的任何一个对象都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素互异性：集合中任意两个元素都是不相同的，也就是同一个元素在集合中不能重复出现无序性：集合与组成它的元素顺序无关如集合, ,a b c与, ,c a b是同一集合 1.2 集合的表示列举法：把集合中的元一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法.如：1

2、,2,3,.; 描述法：把集合中的元的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法. 格式：| ( )xAP x或 |( )x P x含义：在集合A中满足条件( )P x的x的集合.如:2|230x xx ; 注意两点：集合A中的元素具有性质p；具有性质p的元素都在集合A中. 图示法：韦恩图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法. （还有其他的表示方法，如数轴表示法：用数轴里的点或范围来表示一个集合的方法；及坐标平面表示法：用坐标平面里的点或图形来表示一个集合的方法等）为了书写和应用的方便，规定常见的数集用特定的字母表示，即非负整数集（也称自然数集）记作N. 正整数集记作*N

3、（或N）. 整数集记作Z. 有理数集记作Q. 实数集记作R. 1.3 集合的分类集合的种类通常可分为有限集、无限集、空集（用记号表示）有限集：含有有限个元素的集合（单元素集：只有一个元素的集合叫做单元素集.）无限集：含有无限个元素的集合. 空集：不含任何元素的集合记作，如：2|10 .xR x 2、集合间的基本关系集合间的基本关系 (1)子集：对任意的xA，都有xB，则AB或()BA (2)真子集：若AB，且AB，则AB或()BA (3)空集：空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集. 即A,B()B (4)若A含有n个元素，则A的子集有2n个，A的非空子集有21n个，非空真

4、子集有2n2个 (5)集合相等：若AB，且BA，则AB. 3、集合的基本运算集合的基本运算秋季期中考试复习 - 2 - 官网：http:/ 咨询电话：56639988 3.1、基本概念 (1) 交集由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的交集,记作AB 即|ABx xAxB且. (2) 并集由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A与B的并集，记作AB. 即|ABx xAxB或. (3) 补集已知全集I,集合AI,由I中所有不属于A的元素组成的集合,叫做集合A在集合I中的补集,记作|IC Ax xBxA且. 3.2 基本性质 1、集合运算的性质：交换律：

5、ABBA;结合律：()()ABCABC; (1)A ,AAA，,ABA ABB; (2).ABABA（重要的常用结论，要切实掌握） 2、集合运算的性质：交换律：;ABBA结合律：()();ABCABC 分配律：()()();ABCABAC()()();ABCABAC (1),AA .AAA (2),ABAAB ABBAB (3).ABABB（重要的常用结论，要切实掌握） 3、集合运算的性质：();UUCC AA();().UUAC AAC AU 4、补充的有关结论：（1）对偶原理：();UUUC AC BCAB().UUUC AC BCAB （2）有限集合AB中元素个数的计算公：()(

6、 )( )().Card ABCard ACard BCard AB 模块二：函数 1、函数的概念与表示、函数的概念与表示 1.1 函数的定义传统定义：在某个变化过程中有两个变量, x y，如果对于在某个范围内的任何一个x，都有唯一的y值与之对应，则成y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量；现代定义：设,A B是两个非空集合，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数( )f x和它对应，那么就称:fAB为从集合A到集合B的一个函数，记作( )()yf x xA,其中x叫做自变量，x的取值集合A叫做函数的定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，

8、) 对应关系设有两个非空集合,A B,如果有法则f，把集合A和集合B的一个子集的元素联系起来，那么就形成了集合A到集合B的一个对应它是两个集合中的元素之间的一种联系 (2) 映射的概念设,A B是两个非空集合，按照某种对应关系f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素与它对应，那么，这样的对应关系就叫从集合A到集合B的映射，记作:fAB (3) 象与原象若f是从A到B的映射，那么与A中的元素x对应的B中的元素y叫做x的象，x称为原象 (4) 函数与映射的关系对于定义域内每个自变量的值，根据确定的法则对应唯一的函数值，函数值也在一个数集内变化，所以函数也就是非空数集

9、到非空数集的映射 2、函数的定义域与值域、函数的定义域与值域解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：自然型：指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；限制型：指命题的条件或人为对自变量 x 的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； xba。xba。xba。xbaxa。xaaxax。秋季期中考试复习 - 4 - 官网：http:/ 咨询电话：56639988 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量 x 的

10、实际意义（1）给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合；（2）实际问题：函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义；（3）已知( )f x的定义域求 ( )f g x的定义域或已知 ( )f g x的定义域求( )f x的定义域：掌握基本初等函数（尤其是分式函数、无理函数、指数函数、对数函数、三角函数）的定义域；若已知( )f x的定义域, a b，其复合函数( )f g x的定义域应由( )ag xb解出函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的其类型依解析式的特点分可分三类：(1)求常见函数值域；(2)求由常见函数复合而成的函数

11、的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域直接法：利用常见函数的值域来求一次函数(0)yaxb a的定义域为 R，值域为 R；反比例函数(0)kykx的定义域为 |0x x ，值域为 |0y y ；二次函数2( )(0)f xaxbxc a的定义域为 R，当0a时，值域为2(4)|4acby ya；当0a时，值域为2(4)|4acby ya 配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为如：2( ),( , )f xaxbxc xm n的形式；分式转化法（或改为“分离常数法” ）换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；三角有界法：转化为只含

12、正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；基本不等式法：转化成型如：(0)kyxkx，利用平均值不等式公式来求值域；单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域解析式的求法： 1) 已知函数类型，求函数的解析式：待定系数法； 2) 已知( )f x求 ( )f g x或已知 ( )f g x求( )f x：换元法、配凑法； 3) 已知函数图像，求函数解析式； 4) ( )f x满足某个等式，这个等式除( )f x外还有其他未知量，需构造另个等式：解方程组法； 5) 应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等秋季期中考试复

13、习 - 5 - 官网：http:/ 咨询电话：56639988 3、单调性与奇偶性、单调性与奇偶性（1）用定义法证明函数单调性的一般步骤：取值：即设1x，2x是该区间内的任意两个值，且12xx 作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形定号：确定差12( )()f xf x（或21()( )f xf x）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间（2）用已知函数的单调性；（3）利用函数的导数（暂时没学）；（4）如果( )f x在区间D上是增（减）函数，那么( )f x在D的任一非空子区间上也是增

14、（减）函数；（5）图象法；（6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性（7）互为反函数的两个函数具有相同的单调性（8）在公共定义域内，增函数( )f x 增函数( )g x是增函数；减函数( )f x 减函数( )g x是减函数；增函数( )f x 减函数( )g x是增函数；减函数( )f x 增函数( )g x是减函数（ 9 ）函数(0 ,0 )bya xabx在,bb aa 或上单调递增；在,00bb aa或，上是单调递减函数的最值前提设函数( )yf x的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意xI，都有( )f xM；对于任意xI，都有( )f xM；存在0xI，使得0f xM 存在0xI，使得0f xM 结论 M为最大值 M为最小值判断函数的奇偶性的方法：（1）定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称若不对称，则为

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