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1、1第一章函数、极限和连续1.1函数一、主要内容 函数的概念1. 函数的定义:y=f(x),xD定义域: D(f),值域: Z(f).2.分段函数: = = = =2 2 2 21 1 1 1 ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( ( D D D Dx x x xx x x xg g g gD D D Dx x x xx x x xf f f fy y y y3.隐函数:F(x,y)= 04.反函数:y=f(x) x=(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),
2、 D(f-1)=Y, Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),xD,x1、x2D当 x1x2时,若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内单调减少()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调增加()；若 f(x1)f(x2),则称 f(x)在 D 内严格单调减少()。22.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x(-，+)周期：T最小的正数
3、4.函数的有界性： |f(x)|M , x(a,b) 基本初等函数1.常数函数： y=c ，(c 为常数)2.幂函数：y=xn,(n 为实数)3.指数函数： y=ax, (a0、a1)4.对数函数： y=logax ,(a0、a1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot xy=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon xy=arctan x, y=arccot x 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=(x)y=f(x) ,xX2.初等函数:3由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘
4、、除）和复合所构成的，并且能用一个数学 式子表示的函数1.2 极 限一、主要内容 极限的概念1.1.1.1. 数列的极限:Aynn=lim称数列 ny以常数 A 为极限;或称数列 ny收敛于 A.定理: 若 ny的极限存在 ny必定有界.2.函数的极限：当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfx xx= = +)(lim)(lim)(lim当0xx时，)(xf的极限：Axf xx= )(lim0左极限：Axf xx= )(lim0右极限：Axf xx= +)(lim04函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxf xxxxxx=+)(lim)(lim)(lim000无穷大量和无穷小量1 1无
5、穷大量：+=)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X 再某个变化过程是指：,+xxx000,xxxxxx+2 2无穷小量：0)(lim=xf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3 3无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)( ,)(1lim0)(lim+=xfxfxf4 4无穷小量的比较：0lim, 0lim=若0lim=,则称是比较高阶的无穷小量；若c=lim （c 为常数） ，则称与同阶的无穷小量；若1lim=，则称与是等价的无穷小量，记作：；5若=lim ,则称是比较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211则：2121limlim =两面夹定理1数列极限存在的判定准则：设：nnn
6、zxy（n=1、2、3）且：azynnnn= limlim则：axn n= lim2函数极限存在的判定准则：设：对于点 x0的某个邻域内的一切点（点 x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxg xxxx= )(lim)(lim00则：Axf xx= )(lim06极限的运算规则若：BxvAxu=)(lim,)(lim则：BAxvxuxvxu=)(lim)(lim)()(limBAxvxuxvxu=)(lim)(lim)()(limBA xvxu xvxu=)(lim)(lim )()(lim)0)(limxv推论：)()()(lim21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21
7、xuxuxun=)(lim)(limxucxuc=nnxuxu)(lim)(lim=两个重要极限11sinlim 0= xxx或1)()(sinlim 0)(= xxx2exxx=+ )11 (limexxx=+ 10)1 (lim1.3 连续一、主要内容 函数的连续性1. 函数在0x处连续：)(xf在0x的邻域内有定义，71o0)()(limlim0000=+= xfxxfy xx2o)()(lim0 0xfxf xx= 左连续：)()(lim0 0xfxf xx=右连续：)()(lim0 0xfxf xx= +2. 函数在0x处连续的必要条件：定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限
8、存在3.函数在0x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00 000xfxfxfxfxf xxxxxx= +4. 函数在ba,上连续： )(xf在ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指： )()(limafxf ax=+左端点右连续；)()(limbfxf bx= 右端点左连续。a+0b-x5.函数的间断点：8若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o在0x处无定义；2o)(lim0xf xx不存在；3o在0x处有定义，且)(lim0xf xx存在，但)()(lim0 0xfxf xx 。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(
9、lim0xf xx和)(lim0xf xx+都存在。可去间断点：)(lim0xf xx存在，但)()(lim0 0xfxf xx ，或在0x处无定义。2o第二类间断点：特点：)(lim0xf xx和)(lim0xf xx+至少有一个为，或)(lim0xf xx振荡不存在。9无穷间断点：)(lim0xf xx和)(lim0xf xx+至少有一个为函数在0x处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim0 0xfxf xx= ，)()(lim0 0xgxg xx= 1o)()()()(lim00 0xgxfxgxf xx= 2o)()()()(lim00 0xgxfxgxf xx= 3o)(
10、)( )()(lim000xgxf xgxfxx= 0)(lim0xg xx2.复合函数的连续性：)(),(),(xfyxuufy=)()(lim),()(lim0)(0 00xfufxx xuxx = 则：)()(lim)(lim0 00xfxfxf xxxx= 3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy=)()(lim)()(lim011 0 00yfyfxfxf yyxx=10函数在,ba上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(xf在,ba上连续)(xf在,ba上一定存在最大值与最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0abx2.2.2.2. 有界定理：)(xf
11、在,ba上连续)(xf在,ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在,ba上连续在),(ba内至少存在一点，使得：cf=)(，11其中：McmyyMf(x)Cf(x)0abxm0a12bx推论： )(xf在,ba上连续，且)(af与)(bf异号 在),(ba内至少存在一点，使得：0)(=f。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学122.1 导数与微分一、主要内容 导数的概念1导数：) ) ) )( ( ( (x x x xf f f fy y y y= = = =在0 0 0 0x x x x的某个邻域内有定义，x x x xx x x xf f f f
12、x x x xx x x xf f f f x x x xy y y yx x x xx x x x + + + += = = = ) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (limlimlimlimlimlimlimlim0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (limlimlimlim0 0 0 0x x x xx x x xx x x xf f f fx x x xf f f fx x x xx x x x = = = = 0 0 0 00 0 0 0) ) ) )( ( ( (
13、0 0 0 0x x x xx x x xx x x xx x x xdxdxdxdxdydydydyx x x xf f f fy y y y= = = = = = = = = = = = = = 2左导数：0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0) ) ) )( ( ( () ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( (0 0 0 0x x x xx x x xx x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = 右导数：0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0) ) )
14、)( ( ( () ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( (0 0 0 0x x x xx x x xx x x xf f f fx x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = + + + + + + +定理：) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f在0 0 0 0x x x x的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：) ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( (0 0 0 00 0 0 0x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = （或：) ) ) )( ( ( (limlimlimlim) ) ) )( ( ( (0 0 0 00 0 0 0x x x xf f f fx x x xf f f f x x x xx x x x = = = = + + + + + + +）133.函数可导的必要条件：定理：) ) ) )( ( ( (x x x xf f f f在0 0 0 0x x
