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1、- 1 -2017201720182018 学年学年度第二学期高二数学期中测试卷度第二学期高二数学期中测试卷数数 学（理科）学（理科）（全卷满分 160 分，考试时间 120 分钟） 注意事项：1 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 7070 分，请将答案填写在答题卷相应的位分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）置上）1、_ _ 3 6C2、已知复数（ 是虚数单位） ，则|= _ iz315 iz3、已知（1）正方
2、形的对角线相等；（2）平行四边形的对角线相等；（3）正方形是平行四边形由（1） 、 （2） 、 （3）组合成“三段论” ，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是 _4、观察式子，则可以归纳出23 211235 31 2112247 41 31 211222 2222) 1(1 41 31 211n5、若向量，满足条件，则 (1,1, ),(1,2,1),(1,1,1)ax bc() (2 )2cab x 6、对于命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，正确的反设是 _ _7、用数学归纳法证明：“” ，在验证成2 21*11(1,)1n naaaaanNa 1n 立时，左边计算所
3、得的结果是 8、复平面内有三点，点对应的复数为，向量对应的复数为，向量, ,A B CA2iBA 23i对BC 应的复数为，则点对应的复数是 3iC- 2 -9、设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为 (1, 2,2)(2, ,4) 10、从个男生个女生中挑选人参加智力竞赛，要求既有男生又有女生的选法共有_433_种（用数字作答）11、用数学归纳法证明“能被整除”的过程中，当时，3*5 ()nn nN61nk式子应变形为 3(1)5(1)kk12、某单位安排位员工在春节期间大年初一到初七值班，每人值班 天，若位员工中的717甲、乙排在相邻的两天，丙不排在初一，丁不排在初七，则不同的安排
4、方案共有_ _13、我国古代数学名著九章算术的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程比如在表达式中， “”即代表无数次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11111 ，求得.类比上述过程，则 11xx51 2x32 3214、如图所示，四边形和均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点在ABCDADPQM线段上，分别为的中点设异面直线和所成的角为，则PQ,E F,AB BCEMAF的最大cos值为 二、解答题（本大题共6 小题，计90 分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）15 （本小题满分 14 分）
5、已知复数(1)(1)zm mmi（1）当实数为何值时，复数为纯虚数 （2）当时，计算.mz2m 1zzi- 3 -16. （本小题满分 14 分）（1）求证：；372 5（2）已知且，求证：中至少有一个小于0,0,ab2ab11,ba ab217 （本小题满分 14 分）如图，在多面体中，四边形是正方形，ABCDEFABCDEF，,2AB EFFB ABEF为的中点.（1）求证：平面；90 ,BFCBFFC HBCFHEDB（2）求证：平面.AC EDBAEFBCDH- 4 -18 （本小题满分 16 分）如图，在长方体中，点是棱的中1111ABCDABC D14,2,2,ABADA AFBC
6、点，点 在棱上，且（为实数） （1）求二面角的E11C D11D EEC1DACD余弦值； （2）当时，求直线与平面所成角的正弦值的大小；1 3EF1D AC（3）求证：直线与直线不可能垂直EFEA19. （本小题满分 16 分）某班级共派出1n个男生和n个女生参加学校运动会的入场仪式，其中男生倪某为领队.入场时，领队男生倪某必须排第一个，然后女生整体在男生的前面，排成一路纵队入场，共有nE种排法；入场后，又需从男生（含男生倪某）和女生中各选一名代表到主席台服务，共有nF种选法.（1）试求nE和nF； （2）判断nEln和nF的大小（） ，nN并用数学归纳法证明.20.（本小题满分 16 分）
7、观察如图： - 5 -1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15问：（1）此表第行的最后一个数是多少？ （2）此表第行的各个数之和是多少？nn（3）2018 是第几行的第几个数？ （4）是否存在，使得第n行起的连续 10 行的所有数之和为若*nN271322120?存在， 求出的值；若不存在，请说明理由 n- 6 -扬州市邗江区扬州市邗江区 2017-20182017-2018 学年度第二学期期中试卷学年度第二学期期中试卷高高 二二 数数 学学 （理）（理） 答答 案案一、填空题：（一、填空题：（本大题共本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共
8、 7070 分）分）1. 20； 2. ； 3. 正方形的对角线相等； 10 24. ； 5. ； 6.假设至少有两个钝角 ； 21 1n n 27、； 21aa8. ， 9. 10. ； 11. 33i430； 3(5 )3 (1)6kkk k12. 624； 13. ； 14. 32 5二、解答题二、解答题：本大题共：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤15、解：（1）复数(1)(1)zm mmi. 4 分(1)0 10m m m 令. 6
9、分011mmm或解得即. 7 分0m （2） .14 分22352112ziziiziii当m =2时，（）16解：（1）证明：因为37和2 5都是正数，所以为了证明372 5，只要证 22( 37)(2 5)，只需证：102 2120， . 3 分即证: 2 2110，即证: 215，即证: 2125， . 6 分因为 2125 显然成立，所以原不等式成立. 7 分（2）证明：假设11,ba ab都不小于 2，则112,2ba ab . 10 分 0,0,12 ,12 ,abbaab 1 12()abab ， 即 2ab - 7 -. 13 分这与已知2ba矛盾，故假设不成立，从而原结论成立
10、. . 14 分17. (1)(1) 如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方H,HB GH HF xyz向建立空间直角坐标系，令则 1,BH (1, 2,0),(1,0,0),( 1,0,0),( 1, 2,0),(0, 1,1),(0,0,1).ABCDEF .2 分（1）设与的交点为，连接则，ACBDG,GE GH(0, 1,0)G .4 分(0,0,1),GE 又，. 6 分(0,0,1)HF GE HF平面平面，平面.7 分GE ,EDB HF EDBFHEDB（2）( 2,2,0),(0,0,1),ACGE . 10 分0AC GE .ACGE又，且 ，平面.ACBDGE
11、BDGAC EDB. 14 分18. 解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz则，.2(2,0,0),(0,4,0),AC1(0,0,2),D1(2,0, 2)D A 1(0,4, 2)DC 分- 8 -设平面的法向量为，1D AC( , , )x y zn则即令，则110,0D ADC nn,2xz zy1y 2xz平面的一个法向量又平面的一个法向量为 .41D AC(2,1,2)nDAC(0,0,1)m分故，即二面角的余弦值为.522cos,|1 33 m nm nm |n|1DACD2 3 分（2）当 =时，E（0，1，2） ，F（1，4，0） ，1 3(1,3, 2)EF 所以.
12、8114cos,42| |143EFEFEF nnn 分因为 ，所以为锐角， cos,0EF n,EF n从而直线EF与平面所成角的正弦值的大小1D AC为.10 分 14 42(3)假设，则 .12 分 EFEA0EF EA ，4(0,2),(1,4,0)1EF ， .14 分 4(2, 2)1EA 4(1,4, 2)1EF 化简得442(4)4011 23230该方程无解，所以假设不成立，即直线不可能与直线不可能垂EFEA直 .16 分 19 解：（1），2( !)nn nnnEAAn11 1(1)nnnFCCn n.4 分 （2）因为ln2ln !,(1)nnEn Fn n，所以11ln02EF，22lnln46EF，33lnln3612,EF，由此猜想：当*nN时，都有lnnnEF，即2ln !(1)nn n.下面用数学归纳法证明2ln !(1)nn n（*nN）. - 9 -.6 分1n 时，该不等式显然成立. . .8 分假设当*()nk kN时，不等式成立，即2ln !(1)kk k，. .10 分则当1
