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1、物 理 学 报Ac t a P h y s 。S i n Vo 1 6 3 ， No 2( 2 0 1 4 ) 0 2 4 2 0 3 一级近似下的双模激光随机共振术 张良英 ) 十 金国祥2 ) 汪志云 ) 曹力3 ) 1 ) ( 湖北文理学院物理与电子工程学院， 襄阳 4 4 1 0 5 3 ) 2 ) ( 武汉工程大学， 智能机器人湖北省重点实验室， 武汉 4 3 0 0 7 3 ) 3 ) ( 华中科技大学物理学院， 武汉 4 3 0 0 7 4 ) ( 2 0 1 3 年8月2 2日收到； 2 0 1 3 年1 0月2 4日收到修改稿) 将周期信 号输入双模激光， 对激光光强方程中的
2、乘法噪声项取一级近似， 用线性化近似方法计算相关函 数和功率谱， 结果发现： 信噪 比随抽运噪声强度、 量子噪声强度及信号频率的变化均出现随机共振 关键词： 乘法噪声， 相关函数， 随机共振 P ACS ： 4 2 6 0 Mi ， 0 5 4 0 一 a DOh 1 0 7 4 9 8 a p s 6 3 0 2 4 2 0 3 1 引 言 噪 声有 两面性， 我们通 常看到 的是其 消极 的 一面， 噪声 的建设性的、 积极 的一面很好地表现在 随机 共振 上作 为非线 性 问题 的前 沿课题 之一， 随机共振的研究在理论和实验上都取得 了较大进 展 1 - 2 0 激光系统中， 人们对单
3、模情况下的统计性 质及 随机共振研究较多 1 - s ， 对双模讨论较多的是 两模之 间的竞争及关联 函数的演化 4 1 5 双模激光 光强方程是非线性随机系统， 要得到描述这个系统 的非线性随机方程的解析解只能用近似方法以往 采用 的线性化近 似方法是将确定论部分在定态光 强附近线性化， 而随机部分则是将光强 ，近似为定 态光强 2 0 ， 即将乘法噪声项用加法噪声项代替 这种方法的好处是容易计算相关函数和功率谱， 但 可能丢失由乘法噪声引起 的重要物理结果 本文对 随机部分用泰勒级数在 点展开并保留一阶项， 这 样做可 以保 留 由乘 法噪声引起 的物理结果经过 计算相关函数和功率谱后发现
4、： 信噪 比随抽运 噪声 强度 、 量子噪声强度及信号频率的变化均出现随机 共振 2 双模激光的一级线性化近似模型 光强方程为 2 o f = 2 1 1(。 一 c - 6 ) r1 邶 c0s j (1) 1 _ 6 【 + 2 1 2 ( t ) +2 v 2 ( t ) 其 中I 1 和 分别为两模的光强； a 1 和 a 2 分别为两 模 的净增 益系数；c 1 和 C 2 分别为两模 的 自饱和 系 数； b l 和b 2分别为两模的交叉耦合系数； ( ) 为 抽运噪声； 7 1 ( t ) 和叩 2 ( ) 为量子噪声； B， 分别为 输入信 号的振 幅和频率本文只讨论 ( 1
5、)式 中当 a l =a 2 ， c 1 =C 2 ， b l =6 2 ， 叼 1 ( ) =叩 2 ( t ) 时的解 设 a l： a 2= a ，C l= C 2= C ， b l= b 2= b ， 叼 1 ( ) =叩 2 ( ) =叼 ( ) ， 则( 1 ) 式变成 f d I 1 = 2 1 1 ( 1 一 bI 2) + 2 1 1 ) ) + o s ，(2) 1 (。 ) 【 + 2 、 叼 ( t ) 国家自然科学基金 ( 批准号： 1 1 0 4 5 0 0 4 ) 和湖北省教育厅科研基金重点项目( 批准号： D2 0 1 3 2 6 0 3 ) 资助的课题 十通讯
6、作者E ma i l ：l y 8 5 0 s o h u c o m 2 0 1 4中 国 物 理 学 会C h i n e s e P h y s i c a l S o c i e t y h t t p ： w u l i x b h y a c c 他 0 2 4 2 0 3 1 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n V o 1 6 3 ， No 2( 2 0 1 4 ) 0 2 4 2 0 3 噪声 ( t ) 和7 7 ( t ) 的统计性质为 ( ( ) ) =( 叩 ( ) ) =0 ， ( ( t ) ( s ) ) =DS ( t s ) ， ( 叩 (
7、t ) 7 7 ( s ) ) =Q6 ( t s ) ， ( ( s ) 叩 ( t ) ) =( ( ) 7 7 ( s ) ) =0 ， ( 3 ) 其 中D， Q分别为抽运噪声和量子噪声强度 为了得到 ( 2 ) 式的解析 结果，以往采用 的是加 法噪声线性化近似 【 2 0 】 ， 即在定态光强附近对 ( 2 ) 式 的确定论部分线性化， 令 I 1= l O+E 1 ， 2 = 2 0 + C 2 ， ( 4 ) g 1 和g 2 为两模在定态光强附近的微扰项 将( 4 ) 式 代入 f 2 ) 式的确定论部分可导出两模 的定态光强为 。 。 ； ( 5 ) 并且对随机部分将 近似
8、为 ， 于是得到( 2 ) 式的 加法噪声线性化近似方程为 f 一2c椭 _ 2 6 + 2 ) r 、 + 2 、 叩 ( + B c0 s(n t) (6 ) 1 一z b ) _2 c 【 + 2 ) + 2 ) 由( 6 ) 式计算光强的相关函数可能会丢失由乘法 噪 声引起 的重要物 理结果， 本文所做 的改进是将 ( 2 ) 式 中的随机部分用泰勒级数在 o 点展开并保留 1 和 E 2的一阶项， 相 当于取微扰项 l 和 2 的一级 近似， 即 2 1 1 ：2 +2 E l ( t ) ， ( 7 ) 2 =2 + ， ( 8 ) 2 =2 I o +2 E 2 ( ) ， (
9、9 ) 2 =2 + ( 1 0 ) 对( 2 ) 式随机部分中的 用 ( 7 ) 一( 1 0 ) 式近似， 得到 ( 2 ) 式的线性化近似方程为 f = ( ) + 1 ) l X 1 ( t ) - 2 b I o 2 + 2 ( t ) I + 2 叼 (t) + B co s(Yt) 1 一 2 ) + ( I + 1 z 【 + 2 I o ( t ) +2 叩 ( ) f l 1 ) ( 1 1 ) 式就是本文要讨论的一级近似下的双模激光 噪声模型， 与加法噪声线性化近似方程( 6 ) 比较， 改 进后的方程中含有乘法噪声项 3 光强相关函数及信噪比 ( 1 1 ) 式的基解矩
10、阵为 ct = all a12 ， (12) 一e x p - 2 c +去 ，) 一p - 2c ，) + 1 ) 彻 一p o - 2c ，) + 1 ，) ,ol ， 。z =一 e x p ( 一 2c + 2 c 。+ 1 ) + 叩 ( ， c ，s = c 一 cs = 三 ( 三 ) ， c 3 其中 1 =( e ( 一 。 。 一 。 。 ) ( 一 +e ( 一 + 。 ) ( 一 。 ) p ， ) + 1 ， 2 =( e ( 一 。 一 。 ) ( 一 ) 一e ( 一 + 如 ) ( 一 ) p ， ) + 1 ， ) 设 =。时( ：；) = 。， 由 c 式
11、得 到 光 强 相 关 汁 t 啪 物理学报 A c t a P h y s S i n V o 1 6 3 ， N o 2 兰 竺 ! 上式中 rff ( t +7 _， s ) d s d s ， ( ) ：2 I o ( s ) +2 ? 7 ( s ) +Bc o s ( s ) ， 2 ：2 I o n ( s ) +2 叩 ( s ) ， 2 I o ( 8 ) +2 ) +B c o s ( s ， ) j ：2 ) +2 ) 第一个模 的相关函数为 ( 7 - ) =( e l ( t +丁 ) 1 ( t ) ) = + 2 2 i + 1 0 1 C c l l ( 7 _
12、 ) ： B 2 e - ( 4 D + 杀 ) r 上 上 +O z 2 a ) d s d s 为 了得 到 ( 丁 ) 在稳态 ( t_ 。 。 )时的周期 平 均 光 强 相 关 函数，c ，b ，D，Q需 满 足 2 c l o 2 6 + +6 ， 并甩到了以下公式【 1 9 ( e 。 ) d s ) =e a 2 D ( ) ， c e 。 e a ) d ) ： e2 a 2 D( t -s 2 ) e D( s 2 -s 1 ) ， ( ) e a d e 。 d ) =警e 扣 。 D (一 s 1) e 2n D ( 。 ) (sz s 1) ( ) ) e 。 d e
13、 n d ) ( 1 6 ) ( 1 8 ) =( DS ( s i 一8 2 ) +D。 ) e 。 D ( 8 2 - S 1 ) e 2 a 2 D (t - s ) ( s 2 s 1 ) ( 1 9 ) 对 ( 1 5 ) 进行计算， 得到 + + 4 + +2 1 o Q ) e - ( 2 d o -F 2 b I o - 2 D - &) r ( 4 I o Q D + 4 1 2 D z ： 2 1 二 !： 竺 ： 墨 !： -2c I o-2 b I o+ 6 D + ) ( 6 。 + 0 2 4 2 0 3 3 罴 ) 。 。 ， L 物 理 学 报Ac t a P
14、h y s S i n V o 1 6 3 ， No 2( 2 0 1 4 ) 0 2 4 2 0 3 其中 一 ( 4 。 + 等 ) ， 一 ( 4 。 + 罴 ) 嘉 一 ( 一 4 6 + 4 。 + 罢 ) 4 b + 4 。 + 罢 ) 对相关函数 ( 7 - ) 进行傅里叶变换， 得到输出功率谱为 ( ) =S 1 ( ) + ( ) ， 1 ) 为输出信号功率谱 ( 只取正 的谱) ， s 2 ( ) 为输出噪声功率谱 输出信号总功率为 = oo s ( ) d B 2 8 + + + 1 1 ( 三 + art tan ) ， 输出噪声总功率为 j) ：厂 。 。 ( ) d
15、 J o 0 2 4 2 0 3 4 ( 2 0 ) ( 2 1 ) |-7 7 物 理 学 报Ac t a Ph y s S i n Vo 1 6 3 ， No 2( 2 0 1 4 ) 0 2 4 2 0 3 =4 7 I ( 2 后D+2 I o Q ) (2 c + 2 6 ) 一 4 。 一 罴 - 2 cI o (4 Io Q D + 4 瑶 D + 4 I o Q 。 ) 信 噪 比定义 为输 出信号总功率与输 出噪声总功率 之 比 R= ( 2 3 ) 4 随机共振 度 Q 最 2栅 cI o 2 b Io 6强D 度 Q 的 取 值 范 围 必 需 满 足 + + 的条件， 否则
