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1、13-5-14新建网页 . 1 弦的横振动问题一、引言二、方程的导出?三、定解条件1 . 定解条件的必要性2 . 初始条件3 . 边界条件4 . 定解问题四、例题一、引言( 展示) ?数学物理方程主要指从物理问题中导出的偏微分方程。?解决任何物理问题通常分三步：第一，把物理问题化为数学问题，即利用相应的物理规律导出方程并确定定 解条件( 初始条件和边界条件) ；第二，求解数学问题，即求满足方程及定解条件的解；第三，给得出的结果以物理解释。?本章以弦振动问题为例，说明处理任何物理问题的过程与方法。导出物理问题的偏微分方程的步骤是：首先把物理对象作适当简化，并确定表征该物理过程的物理量u ，再从
2、所研究的体系中划出任意的一小部分，根据相应的物理规律，分析邻近 部分与这小部分的相互作用以及这种相互作用在短时间内如何影响物理量u ，然后把这种相互作用与影响用数学式子表达出来，经过整理就得到该物理问题的偏微分方 程数学物理方程。?返回页首13-5-14新建网页 展示1 2 3 4 ) ?在弦的横振动中，如果弦比较细，就可以抽象为一维问题来处理，又设弦 是完全柔软的，即任意点处的张力总是沿着弦在该点的切线方向，这样分析力的作用就比较方便。这根完全柔软的细弦，平衡时沿着一条直线绷紧，取这条直线为x 轴，并以坐 标x 标志弦上各点。设弦在同一平面内作微小横振动，表征这一振动过程的物理量是 弦上x
3、 点在t 时刻沿垂直于x 方向的位移u ( x ，t ) 。?在弦上任取一小段x1x2( 图8 。1 ) ，设在t 时刻成为弧长。由于弦作微小振动，在精确到一阶无穷小时，可以认为在振动过程中，弦长没有发生变化，即( 8 . 1 - 1 ) ?根据H o o k e 定律，张力与伸长成正比，由于弦长不随时间变化，弦上各点的张 力T 亦不随时间变化。设弦的线密度为，在垂直于x 方向上作用于单位弦长上的外力为，则 段弦的横向运动方程为?( 8 . 1 - 2 ) ?式中和 分别表示在M1点M2点的弦的张力，和分别为在这两点的切线与x 轴的夹角。根据弦作微小振动的假定，有?( 8 . 1 - 3 )1
4、3-5-14新建网页 8 . 1 - 4 )因此，有?( 8 . 1 - 5 )将上式代入( 8 . 1 - 2 ) 式, 可得由于x1、x2的任意性，被积函数为零，得出一般的弦的横振动方程?( 8 . 1 - 6 ) ?讨论：1 ）如果弦作完全横振动，则在纵向合力应为零，即?( 8 . 1 - 7 ) ?即张力与x 无关。因此，在弦作微小完全横振动的假设下，张力T 既与t 无关又与x 无 关，为一常数。2 ）如果弦是均匀的，即等于常数，方程( 8 . 1 - 6 ) 化为?( 8 . 1 - 8 )13-5-14新建网页 ( 8 . 1 - 8 ) 称为均匀弦的强迫横振动方程。3 ）如果
5、没有外力的作用，0 ，就得到均匀弦的自由横振动方程?( 8 . 1 - 9 ) ?如果研究均匀细杆的纵向强迫振动( 或自由振动) ，可以得到与( 8 . 1 - 8 ) ( 或8 . 1 - 9 ) 形式上完全一样的方程。这里，我们不做具体推导。仅指出，同一个方程 往往描述物理本质相同的一类物理现象。方程( 8 . 1 - 8 ) 与( 8 . 1 - 9 ) 都描述一维的振动 波动过程，通常又称为一维的振动波动方程。前者是非齐次方程，后者是齐次方 程。 例8 . 1 1 匀质柔软的弦在阻尼介质中作微小完全横振动。设单位长度的弦所受的阻力为，其中比例常数R 称为阻力系数。试推导弦在阻尼介 质中
6、的振动方程。?解: 与 推导出( 8 . 1 - 6 ) 式的过程完全类似，考虑弦上任意一段() 的运 动，有利用微小完全横振动条件下，张力T 与x ，t 都无关，且对于匀质弦为常数，故有?( 8 . 1 - 1 0 )其中。? 例8 . 1 2 长为 的柔软匀质的线，上端固定，下端自由。在自身重力 的作用下，线处铅直平衡位置。试推导此线相对于竖直线的微小横振动。?解: 取线的平衡位置为轴，方向向下，上端固定点取为坐标轴的原 点( 图8 . 3 ) 线在自身重力作用下处于铅直平衡位置时，线中的张力随位置变化，即13-5-14新建网页 8 . 1 - 1 1 ) ?其中为线密度，g 为重力加速
7、度。在微振动条件下，线中的张力不随时间变化。考虑任意时刻线上任意一小 段M1M2的运动，作用于这段线上的横向合力为( 8 . 1 - 1 2 )因此，该段线的运动方程为?( 8 . 1 - 1 3 )由于的任意性，得到横向振动方程?( 8 . 1 - 1 4 )式中。?返回页首三、定解条件?1 . 定解条件的必要性前面，我们通过具体例子说明了，如何从一个物理问题和相应的物理规律导 出微分方程。但是，方程表达的是同一类现象的共同规律，还不足以确定具体物理 过程的变化。对各个具体问题还必须研究物体( 体系) 所处的特定环境和历史，即边 界条件和初始条件。实际上，只要注意到在推导方程时，我们总是在某
8、一时刻t 选取 物体内部不含端点或边界的任一小部分来研究其运动情况，问题就十分清楚了。?13-5-14新建网页 常数或任意函数。我们已经知道常微分方程的一般解中含有任意常数。对偏微分方 程，其通解中会含有任意函数。例如，考虑最简单的偏微分方程?( 8 . 1 - 1 5 )把方程改写成显然，与x 无关，即是自变量为y 的任意函数，继续对y 积分，得?( 8 . 1 - 1 6 ) ?式中( x ) 为x 的任意函数，( y ) 为y 的任意函数。将( 8 . 1 - 1 6 ) 代入( 8 . 1 - 1 5 ) 式，方程成立，说明( 8 . 1 - 1 6 ) 式确实为( 8 . 1 -
9、1 5 ) 式的通解。?因此，我们必须通过初始条件及边界条件确定任意常数的数值或任意函数的 具体形式。返回页首2 . 初始条件?对于一切随时间发展变化的物理问题，都必须考虑其历史，即追溯到某个初 始时刻的状态初始条件。在弦振动方程中含有时间的二阶导数，必须给出两个初始条件。即弦上各点的初始位移与初始速度13-5-14新建网页 8 . 1 - 1 7 ) ?( 8 . 1 - 1 8 ) ?应该注意，初始条件必须给出整个系统的初始状态，而不只是系统中个别点 的初始状态。例如，一根长为l 的两端固定的弦，在x c 处横向拉开距离h ( 图8 . 3 ) ， 然后放手任其振动。初始条件就是放手那个
10、时刻的位移和速度。初始速度显然为 零，即?至于初始位移，不可以写成?因为仅弦上x c 点的初始位移是h ，其它各点的初始位移并不是h 。正确的应将初始 位移表示成?( 8 . 1 - 1 9 )?或?又如长度为 的均匀细杆，一端固定，另一端拉长a 静止，其初始位移为( 8 . 1 - 2 0 ) ?而不能写成。返回页首13-5-14新建网页 . 边界条件?边界条件反映出体系的边界上的物理状况，表明体系所处的环境。对弦振动 问题最常见的边界条件是：?直接给出位移( 待求函数) 在边界上的值，即第一类边界条件。?例如，研究长度为 的两端固定弦的横振动。既然两端x 0 和x 是固定 的，位移u 就
11、始终是零，即?( 8 . 1 - 2 1 ) ?为第一类齐次边界条件。?在最一般的情况下，边界条件可写为( 8 . 1 - 2 2 ) ?为第一类非齐次边界条件，其中、均为时间t 的已知函数。在细杆的纵振动问题中，杆的x 端受到一个沿x 方向的已知外力F ( t ) 的作 用( 图8 . 4 ) 。根据H o o k e 定律，有?其中E 为弹性模量，S 为杆的横截面积。故x 端的边界条件为?( 8 . 1 - 2 3 ) ?给出了未知函数的法向导数在x 的边界点上的值，即第二类非齐次边界条件。如 果外力F ( t ) 0 ，即端点是自由的，则边界条件为?( 8 . 1 - 2 4 ) ?即第二类齐次边界条件。?4 . 定解问题数学物理方程加定解条件( 初始条件与边界条件) ，构成定解问题。定解问题 有唯一稳定的解则称该定解问题是适定的. ?13-5-14新建网页 例8 . 1 - 1 , 例8 . 1 - 2 返回页首如果有问题 请联系老师信箱：s h u r g 3 0 3 n e n u . e d u . c n
