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1、分析力学5动力学变分原理（5）西安电子科技大学郭空明 qq:717004648 Email：4.1 泛函与变分原理（1） 4.2 哈密顿原理（2） 4.3 连续系统的微振动 （1） 欧拉 拉格朗日方程 （ ）4.4 欧拉-拉格朗日方程 （1）力学的变分原理：提供一种准则，将真实的运动 （满足动力学方程）从所有可能的运动中甄别出 来。具有更高的概括性和普适性具有更高的概括性和普适性。4.1 泛函和变分原理泛函和变分原理弹簧的弹簧的应变能应变能（势能势能） 21 2U xkx数值数值数值数值 2弹簧的应变能只依赖于一点的弹簧的应变能只依赖于一点的 位移位移x，是自变量是自变量为为x的的函数函数。
2、22201 2lw xdEIdxdUwxx 等截面等截面Euler-Bernoulli梁的应变能梁的应变能函数函数数值数值对于连续的弹性体对于连续的弹性体，应变能与所有点的位移有关应变能与所有点的位移有关，由于有由于有对于连续的弹性体对于连续的弹性体，应变能与所有点的位移有关应变能与所有点的位移有关，由于有由于有 无穷多个点无穷多个点，位移是一条曲线位移是一条曲线，必须用函数表示必须用函数表示。应变能应变能 U的大小依赖于函数的大小依赖于函数w(x)的形式的形式，称为泛函称为泛函(functional)。ABlxw2(x)w1(x)泛函的最简单例子泛函的最简单例子：f（1）。）。y = f(x
3、)当自变量当自变量x 有一增量有一增量：函数函数y 也有一增量也有一增量：10y = y - y10= f(x ) - f(x )10x = x - x函数的微分函数的微分 Differential of a function10= f(x ) - f(x ) y = f (x)xdy 与与dx ，分别称为自变量分别称为自变量x 与与函数函数y 的的 微分微分。dy = f (x)dx 微分问题微分问题泛函的变分泛函的变分 variation of functional( )UU y x函数函数y 有一微小变化有一微小变化： 1yyy 泛函泛函U 也有一增量也有一增量：y1( )( )UU y
4、 xU y xU函数的增量函数的增量y 、泛函的增量泛函的增量U 等等 称为变分称为变分。研究研究函数的变化函数的变化与与泛函的增量泛函的增量 之间的之间的 关系称为关系称为变分问题变分问题。变分问题例子变分问题例子：最速下降问题最速下降问题质点受重力作用从质点受重力作用从A到到B沿曲线路径自由下滑沿曲线路径自由下滑，不考虑摩擦不考虑摩擦 力力 ，求质点下降最快的路径求质点下降最快的路径。1201( )2xyT ydxgy 函数的极值函数的极值：若若( )yf x在在x0 处有极值处有极值，则有则有：0( )0xfx泛函的极值泛函的极值若若Uy(x) 在在y0(x) 处有极值处有极值，( )0
5、U y x则有则有：用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理用泛函的极值问题表示的原理称为变分原理。普通普通的动力学的动力学原理直接研究真实原理直接研究真实的的状态状态，然后得到状态所然后得到状态所 应满足的方程应满足的方程。而变分原理则不然而变分原理则不然，它不是专注于实际的它不是专注于实际的 状态状态，而是考察约束所容许的一切可能的状态而是考察约束所容许的一切可能的状态，根据真实根据真实 状态所满足的变分条件状态所满足的变分条件（如如：真实位移使势能取极值真实位移使势能取极值，势势 能变分为零能变分为零），），进而得到真实状态所应满足的方程进而得到真实状态所应满足的方程。真实变形曲线F4 4
6、 4 4. . . .2 2 2 2哈密顿原理哈密顿原理哈密顿原理哈密顿原理：a)a)作用作用：提出了质点系的真实运动与在质点系真实提出了质点系的真实运动与在质点系真实运动邻近运动邻近，且为约束所能允许的可能运动且为约束所能允许的可能运动的区分准则的区分准则。 研究对象研究对象：具有具有k个自由度的理想个自由度的理想、完整完整约约束下的质点系的运动束下的质点系的运动 广义坐标广义坐标：q1，q2，qk 质点系的位置质点系的位置：1 1) ) 若在平面上运动的质点若在平面上运动的质点，其坐标可选其坐标可选x,y，若再考虑时间若再考虑时间，则有则有3 3个坐标个坐标，2) 2) 一般地一般地，用由
7、用由q q和和t t组成的组成的( (k+1) )维空间内的维空间内的 一点表示运动的状态一点表示运动的状态，若在某一瞬时若在某一瞬时t，广义坐标广义坐标q1，q2 ，qk均有确定的值均有确定的值，则可在则可在( (k+1) )维空间中找到一维空间中找到一个点个点 ，该点表示一质点在该点表示一质点在t时的位置时的位置A(k+1)维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj 质点系的真实运动质点系的真实运动：如上图中如上图中(k+(k+1 1) )维空间中的实曲线维空间中的实曲线表示表示；称为质点系的真实路径称为质点系的真实路径，又叫正路又叫正路。AMBAMBA(k+1)维空间BM
8、(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj 质点系的可能运动质点系的可能运动：质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个质点系在真实运动邻近为约束所允许的任意一个可能可能运动运动，用用表示表示。称为质点系的可能称为质点系的可能路径路径，或或旁路旁路。运动始末位置上运动始末位置上，BAM BAM正路正路和旁路和旁路的位置相同的位置相同( (显然显然，可能运动的曲可能运动的曲线有无数条线有无数条) )。A(k+1)维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj 虚位移虚位移( (等时变分等时变分) )：表示在表示在同一瞬时同一瞬时，旁路对正路的偏离旁路对正路的偏离。MMjqA(k
9、+1)维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj正路与旁路的区别正路与旁路的区别: :正路是真实路径正路是真实路径, ,不但要满足约束不但要满足约束、运动始末两运动始末两 点的位置点的位置, ,还要满足动力学方程还要满足动力学方程. .而旁路只需满足而旁路只需满足 约束和运动始末两点的位置约束和运动始末两点的位置.(.(固定边界变分固定边界变分) )A(k+1)维空间BM(q ,t)jq,M (q +q ,t )jjj复习复习: :设设A A、B B为为k k个广义坐标个广义坐标、相应广义速度相应广义速度 以及时间以及时间t t的函数的函数，则等时变分则等时变分的运算性质的运算
10、性质： ( (a a) )(b(b) )(c)(c)A+B = A+ BAB =B A+A BA=kAA链式法则链式法则，但不考虑时间但不考虑时间！(c)(c)（d d）若若q q不但是时间的函数不但是时间的函数，还是空间的函数还是空间的函数， 有有（e e） 对于完整系统对于完整系统，有有：)()(qdtd dtdq2121ttttqdtqdt1A=ii iiqqqq()()qqxx链式法则链式法则，但不考虑时间但不考虑时间！ （等时变分等时变分）哈密顿原理的哈密顿原理的推导推导（本不需要证明本不需要证明）：1()0nii ii imFrr设只受完整约束的非自由质点系有n个质点，k个自由度。
11、规定：在 瞬时t0，正路与旁路都通过A点，在瞬时t1又都通过B点沿着正路自t0至t1对时间t积分：101() d0ntii iitimtFrrd( )diitrr 对于完整系统：101d0ntiii iitimtFrrr101d0ntiitiTtFr101d0ntiii iitimtFrrr11001 10 01011111 d dnntti iiiiittiitnntii ii iitiitnti iitimtmdmmdtdtmdtrrr rrrrrr r 01|0i titrr分步积分分步积分d( )diitrr 对于完整系统：221111122nnni iii ii i iiimmmTr
12、rr r10d0ttTWt虚功虚功W一般并不是功一般并不是功W的变分的变分哈密顿原理哈密顿原理（但不是变分原理但不是变分原理）：）：适用完整系统适用完整系统。10d0tnctLWt10d0ttTWt若主动力均为保守力，势能函数为V10d0ttTVt1t虚功虚功V是势能是势能V的的变分变分注意：做功时大小和方向均不变的外 力也是保守力10d0ttL t对于完整系统对于完整系统,变分和积分可互换变分和积分可互换101212(,;, )d0tnntL q qqq qq tt 哈密顿原理哈密顿原理（变分原理形式的变分原理形式的）。）。 适用范围适用范围：完整系统完整系统、主动力有势主动力有势tLStt
13、d10称为哈密顿作用量(action)，它是依赖于可能运动q(t)的泛函，即ttqqqqqqLSnnttd),;,(2121100S 哈密顿原理哈密顿原理:哈密顿变分原理：对于完整系统，若主动力有势，在 相同的时间、相同的起迄位置的条件下，在所有为约 束允许的可能运动中，真实运动使哈密顿作用量具有 极值，或者说，正路与旁路相比，沿正路的哈密顿作 用量的变分为零。哈密顿原理具有高度的简洁性和概括性，但对于简单 问题，使用哈密顿原理反而比较复杂。一般需要使用 分部积分，将广义速度的变分化为对广义坐标的变分。若系统有非保守外力，可以使用非变分原理的哈密顿 原理。例1 使用哈密顿原理推导第二类拉格朗日
14、方程。0d10tLStt1100110111dddkttjjttjjjtkktjjjtjjjjjLLSL tqqtqqLdLLqtqdtqqdtqq01|0jtjtqq0010111djjjjjtktjtjjjqdtqqLdLqtqdtq ), 2, 1(0ddkjqL qL tjj 各广义坐标的变分独立各广义坐标的变分独立、任意任意例2 使用哈密顿原理推导弹簧摆的动力学方程。分部积分trrkmgrrrmtLSttttd)(21cos)(21d2 02221010 S = 01022 0 ( ) cossin () d0ttm r rr rrmg rmgrk rrrt 1111ttttr rdtr rr rdtr rdt 分部积分0101|0ttttrr0000ttttr rdtr rr rdtr rdt111100002222
