“平均数”教学的思考与实践

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1、“平均数”教学案例与评析 杭州现代小学数学教育研究中心 唐彩斌 点评：中科院心理所博导、教授 张梅玲 一、问题的提出一、问题的提出 “平均数”教学可以说是一节“传统老课” ，很多的老师都用自己的课堂诠释着对平均数的独特理解，很多的创见也得到了广大教师的认可和效仿。然而，在笔者选择这一课题再去实践的时候，却仍然发现了一些值得讨论的问题：学生不是不熟练于平均数的求解，而是当面对一组数据的时候，不能分辨该不该求平均数？是不是一定要求平均数？即便是求出了平均数的结果时， 并不明白为什么要求平均数？平均数到底表示的什么？如果说在平均数的教学中， 计算技能的掌握是一贯重视的，而相关的科学分析能力可能是曾被

2、忽视的。基于此，笔者设计“平均数”教学，尝试探讨相关的问题。 二、教学的实践二、教学的实践 教学预设目标教学预设目标：1、学生基于对平均数的初步理解，通过丰富的素材进一步感受到平均数的必要和重要；2、经历在不同问题情境中应用平均数的过程，提高灵活应用平均数的水平；3、在应用平均数解决问题的过程中，感受数学与日常生活的联系，增强应用意识，提高学习数学的兴趣。 教学主要过程：教学主要过程： （一）创设情境，感受平均数是一组数的代表数。（一）创设情境，感受平均数是一组数的代表数。 1、师：同学们，你们喜欢画画吗？平时你们画画， 总是老师给你们打分，今天我们换换角色，让你们来给 一幅画打打分，你们愿意

3、吗？ 生：愿意。师：你觉得这幅画怎么样？打好分数 写在纸上。 生开始各自写分数，师叫几个学生介绍自己的打分。 2、师：这是你一个人的想法，接下来，和小组伙伴交流一下，如果要用一个分数来代表你们小组的意见，你们觉得该是几分？ 生： （分数 5，5，5，7） ，我们选择 5 分，因为 5 分选的人多。 生： （分数 6，7，7，8） ，我们选择 7 分，因为 7 是中间的数。 生： （分数 5，5，9，9） ，我们选择 7 分，因为平均数是 7。 生： （分数 6，8，8，9） ，我们选择 8 分，因为比较接近 8 分。 3、师小结：看来，要用一个数来代表一组数的情况，有的人用中间的数，有的人用出

4、现次数最多的数。为了更为精确地代表一个数，我们可以用平均数。 备注：备注：创设的情境是：学生给一幅名画打分。努力满足好情境的条件：能吸引学生的学习兴趣， 能为学习数学知识做准备。 让学生作主给画打分， 这种 “拍板权”是人本源的一种自我实现的需要。而学生各自所打出的分数也将为学习平均数做准备，所以此情境直指教学目标，是一种高效的导入方式。 （二）在应用中，巩固求平均数的技能。（二）在应用中，巩固求平均数的技能。 1、师：平均数在生活中到底有哪些应用呢？让我们一起去看一看。 这些运动员是从事什么运动项目的呢？我们一起来算一算。 姓名 姚明 刘炜 李可 胡雪峰 杜锋 王博 身高（m） 2.26 1

5、.90 2.08 1.85 2.07 2.02 请你计算出他们的平均身高。 你发现了什么？ 姓名 占旭刚 张国政 唐功红 刘春红 体重（） 79 72 119 70 请你计算出他们的平均体重。 你发现了什么？ 2、学生独立思考，列式计算，然后小组之间讨论。发现第一组运动员的平均 身高比较高，判断他们是蓝球运动员，第二组运动员的平均体重比较重，他们是柔道运动员。 备注：备注：以上的两个平均数比较具有现实意义， 能够反映现实生活中的一个典 型水平。而对于学生掌握求平均数的技能来说，这两个实际问题的解决也正是正面强化这一技能的形成。花絮：在判断第一组的时候，有同学不算也猜出来了，因为有一个名字：姚明

6、，这时候我们可以发现，即便在小孩眼里，姚明已经是一种职业的象征；而当计算第二组的时候，比较有趣的是：举重运动员不仅举起来的东西比较重，而且举的人本身也比较重。这的确是一种有趣的现象，也的确是一种普遍的典型水平。 （三）灵活应用，感受平均数的特征。（三）灵活应用，感受平均数的特征。 师：平均数在实际生活中有着广泛的应用，到底怎样灵活应用平均数，让我们一起去一些比赛的现场看一看。 1、少儿歌唱比赛 评委 选手 李 吴 王 张 刘 2 号 5 8 7 6 9 3 号 2 8 8 8 9 师：谁是冠军？ 生：两个人并列冠军：因为平均分是一样的。 师：如果这样宣布比赛的结果，有一位选手可能对一位评委有意

7、见？你们认为谁啊？ 生：3 号选手一对李评委的打分有意见，他为什么把我的分打的那么低？ 备注：备注：平均数容易受两极数据的影响，有时求平均数要略加处理。在现实生活中也为了更加合理地表达一个人的真正水平， 总是先去掉一个最高分和一个最低分。 这样的求得平均数就比较合理了。 这种现象在众多电视节目中都有体现，而这种社会现象都会对学生学习平均数形成经验，对学习产生积极的影响。 2、实心球比赛 次数 姓名 1 2 2 强强 45m 5 m 55 m 迪迪 3 m 6 m 3 m 你们认为谁是冠军？（请说明理由） 。 同意强强是冠军的举手？（全班都举手了）同意是迪迪是冠军的举手？（没有人举手。 ） 备注

8、：备注：看到一组数据，是不是用平均数来代表一组数据，要看具体的情况。有的时候并不是选用平均数的。而在这个问题的解决中，学生受到思维的定势，就只用平均数。在老师的启发下，学生才回忆起自己的生活经验，根据最高分来决定成绩的排名。虽然是让学生出错了，但这个错误的经历对于学生的学习留下了深刻的印象，促动了思维灵活性。 3、跳绳比赛 选手 组别 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 6 号 7 号 第 1 组 160 175 185 172 178 180 第 2 组 161 189 165 175 167 183 178 你们认为哪组是冠军呢？（请写明理由） 学生在之前的练习过程中，会有类似的想法：

9、要比出分数的结果，不一定要平均数吗？用总数也能比出冠军吗？因为之前有的习题中份数是相同的， 正因如此， 本题就是为了突出应用平均数的必要性， 让学生在比较中发现： 用总数来比，不行，而用平均数来比，才比较恰当。 备注：备注：通过实例，区别平均数与总数的不同特征，尤其是当份数不同的时候，能较好地反映一组数据的典型水平，凸现平均数的特征。 （四）联系生活，加深对平均数意义的理解。（四）联系生活，加深对平均数意义的理解。 1、师：下面老师要给大家讲一个新“小马过河”的故事？ 森林里有两个马群，一个是黑马群，一个是黄马群，由于生长环境的不同，黑马群的平均身高是 1.3 米，黄马群的平均身高是 1.2

10、米，两个马群各派出一匹马到河对岸取粮食，黑马一出来，还没看到黄马，就志高气昂地对别人说“我一定比黄马高” 。 2、组织学生讨论：黑马一定比黄马高吗？学生会举例说明：黑马群的平均身高是 1.3 米，但这只黑马比 1.3 米低呢，比如 1.2 米。黄马群的平均身高是 1.2米，但这只黄马比 1.2 米高呢，比如 1.5 米。不就比黑马高了。学生的回答，总是能清楚地表达平均身高不是每匹马的身高。 3、到底怎么样？呈现画面：黑马 1.3 米， 黄马 1.5 米，他们来到小河边，小河的平均水 深 1.2 米，黑马迫不及待地走下河，黄马却在 想“会有危险吗？” ，学生讨论：平均水深 1.2 米，但说不定比

11、 1.2 米深的地方是 1.6 米，不就麻烦了。 4、从学生的回答中，平均数的特点已经理解到位。而这道题额外承载的教 育含义却远不止这些， 学生已经对黄马和黑马有了自己的看法： 黑马： 自高自大，骄傲，目光短浅；黄马呢，稳重，周到，细致。 5、而在评价马的时候也折射出一些社会的现象： （因为当时在深圳上课，笔 者就现场举例）一个是深圳特区，一个是西部的城镇，是不是特区的每一个人都比西部的每一个人都要富裕？这就不一定了。尽管，特区整体要优越很多。由此想来，生活的平均数，需要我们科学分析，正确应用。 备注：备注：平均数是一组数据的典型水平，但不是指每一个个体的真实水平。平 均数是针对整体而言，不是

12、针对个体的。除了数学知识的深刻认识，重要的是渗透了社会生活中的道理，这作为教育任务的数学必须承载的，也是值得我们教师永恒追求的。 三、实践后的反思三、实践后的反思 1、置于整体，概念的特点更能显现； 众所周知，同样看一个事物，从局部看局部，从整体看局部，显然显得更为 清楚。而在数学学习的过程中，也有同样的道理。平均数是什么呢？我们需要一个全景式的了解，统计学认为，描述一组数据的特征量有三种：差异量，集中量和相关量。集中量就是表示一组数据的典型水平或集中趋势的量。集中量又分为众数，中位数与平均数。平均数又分为加权平均数，调和平均数和算术平均数。从现实情况看，小学生学习的平均数更多的是指算术平均数

13、，较复杂的平均数中有加权平均数。有一个这样整体系统的认识，教学中更能抓住其本质特征。从这些背景知识中，可以发现：平均数是众多集中量（小学生讲“代表数”比较容易理解）中的一个，并不唯一。反思第一环节，学生给名画打分的环节，要找一个能代表小组意见的分数时，从学生的回答中，我们可以看到除了平均数还有中间数和众数的雏形，这就是一个概念形成的真实的整体背景。 2、丰富经历，认知的形成更加完整；、丰富经历，认知的形成更加完整； 有经历，才会有体验。在正面强化学生初步学会求平均数的基础上，教学 时创设多个比赛场景， 要求学生面对一组组的数据来评判谁是冠军？当学生面对唱歌比赛的分数结果时，生活经验的积累和认识

14、的冲突结合在起来，感受到平均数作为一个集中量，在实际使用中有它的不足：容易受到两极数据的影响。当学生在面对实心球比赛成绩的时候，这种思维的定势是强烈的，学生一看到一组数据就计算平均数，但是用来确定比赛结果的并不是平均数，而是他们的最大值。当学生面对两组人数不同的组进行跳绳比赛的时候，他们又一次发现：用总数不能比，用平均数比还是有着便利的一面。纵观一节课，可以发现不同的情境让学生有了不同的经历，而所形成的体验也可以说是“此起彼伏” ， “学会了用，又不能盲目用” “知道了平均数的不足，又知道了平均数的便利” ，伴随着这样的情感体验，学生对平均数的认识就显得完整了许多。 3、加强联系，学习的价值更

15、为丰实；、加强联系，学习的价值更为丰实； 数学联系，就本节课教学设计而言，主要指数学与其他学科的联系，以及数 学与德育的联系。本节课上，在数学学习的过程中，有美术中的名画欣赏，有体育项目的特点介绍，还有体育和音乐中各种比赛的规则。当然，这些也仅仅是数学学习的素材而已，而数学与德育的联系却并非只是形式而已。在课堂上，我们发现，面对世界上最伟大的画家之一凡高的名画“向日葵”的时候，学生打分却上下不一，有的打了 5 分还振振有词，折射出的高雅艺术与现实大众审美之间的矛盾，这也是社会的现实，其实，即便是成人看到名画，又何尝不是这样呢？当听完新“小马过河”的故事时，学生不仅对黄马和黑马赋予了人的个性特点

16、，渗透了为人处事的作风，同时联想现实生活中的一些“平均数” ，如重点中学的学生平均分数比一般学校高，那么是否就是就读重点中学好；好的单位平均公资比一般单位好，那么是否要选择好单位就业，以及“宁当鸡头不作凤尾”的俗语，都是对学生的学习和生活有着长远的教育意义的。 “作为教育任务的数学”看来承载的不只是数学的学习。虽然我们也反对“去数学化” ，反对数学与其他学科的牵强联系，也不赞成“贴标签式的德育渗透” ，但我们认同和倡导用儿童所能接受并喜欢接受的方式，加强联系，渗透德育，真正实现“数学教学，不只教学数学。 ” 探索的核心是创新 学习唐彩斌执教“平均数”的思考 张梅玲（中国科学院心理研究所） “平均数” 的教学可以说是一节“传统老课” ，不少老师也经常以此内容作为观摩课。这次观看杭州唐彩斌执教的平均数，我感到对这节传统的老课仍闪射出新意并引人思考。 一、参与中重体验。 平均数是描述一组数据的典型水平和集中趋势的量。 这节课的引入一般的设计均采用人数不等各组比赛，从出现不公平而引出平均数。本节课的设计是让每个学生参与对一幅名画的打