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1、 齐雅茹等： 无界分块算子矩阵的谱分布 1 9 3 1 年， Ge r s h g o r i n提出矩阵特征值的圆盘估计定理， 即矩阵的特征值落在 以对角元为圆心， 以对 角元除外的矩阵行和为半径 的圆盘内 该定理称为 Ge r s h g o r i n定理， 在线性代数和数值分析中具有重 要的应用 文献 6 - 8 利用 G e r s h g o r i n定理描述了矩阵的特征值和分块矩阵的特征值的范围； 文献 9 】 利用该方法刻画了有界分块算子矩 阵的谱分布； 文献 【5 分别应用二次数值域和 G e r s h g o r i n定理给 出 了有界自伴算子矩阵的谱分布： 当主对角
2、元的谱可分离时利用二次数值域的方法能得到更精细的范围， 在不可分离时此方法失效， 但仍可利用 Ge r s h g o r in定理去刻画对某些算子矩阵， 可以通过重新进行 空间分解使得其对角元算子具有分离的谱， 从而又可以用二次数值域得到相对精细的描述 对一般的 无界算子矩阵， Ge r s h g o r i n定理会失效， 因为需要算子矩阵中非对角元的有界性， 特别地， 在 22阶 情形即为次对角元 的有界性我们发现， Ge r s h g o r in定理是研究次对角元有界的 22阶无界算子矩 阵谱分布的好方法 本文结合数值域 、 二次数值域和 Ge r s h g o r i n定理
3、描述 22阶无界稠定算子矩阵 =(三 ) ： c ，c 。 y - 。 y c 的谱分布， 其 中 X 和 Y 是无穷维复 Hi lb e r t空间， A： ( A ) c X_ X， B： 9( B ) c Y X ， C： ( ) c x_ D： ( D) c y- y 为线性算子 本文首先给出 B和 C有界时无界算子矩阵 的 Ge r s h g o r i n定理， 在此基础上得到本文 的主要 结论 ： ( 1 )当 和 D 为亚正规算子时， 利用 和 D 的谱刻画整个算子矩阵的谱分布， 即 盯 ( ) c c： d is t ( A ， ( ) u ( D ) ) m a x ll
4、 BII ， IICII ； ( 2 )当 和 D 为一般 的无界算子时， 利用 和 D 的数值域刻画整个算子的谱分布， 即 盯 ( ) c c： d i s t ( A ， W( A ) u ( D ) ) m a llBll ， lIc II ； ( 3 )当 C=土 B 时， 结合二次数值域和 Ge r s h g o r i n定理得到更加精细的结果 ( 见定理 2 6和 2 7 ) 对于 B a n a c h空间 X 上的线性算子 ， 其定义域、值域和零空间分别记为 ( ) 、 7 =己 ( ) 和 N( T ) 对于 Q c C， 我们记 ( ， Q ) 蒜 l m l 下面给出
5、本文涉及的一些基本概念 定义 1 1 设 为 Ba n a c h空间 中的线性算子， 则 T 的正则集 p ( T ) 定义为 p ( T) ： = C： T 是单射， 冗( A ) =X， ( T一 ) 有界) ， 并称集合 ( ) ： =c p ( T ) 为 的谱 如果 是 闭线性算子， 则 由闭图像定理有 p ( T ) = c： T 是双射) 1 1 0 0 中 国科学 ： 数学第 4 4卷第 1 0期 定义 1 2 1 o 设 T 为 B a n a c h空间 X 中的线性算子， 则 T 的近似点谱 (Y a p ) 定义为 (T a p ( ) ： = c： X n ) c
6、( ) ， JIx ll =1使得 ( TA I ) x _ 0 ) 记 的 1 一 类剩余谱 r 1 ( ) ： = c： T 是单射， X， n( TA I ) 是闭的) ， 则对于闭线性算子 T， 根据 闭图像定理， 我们有 盯 ( ) =(T a p ( ) U fi r ,1 ( ) 定义 1 31 1 J 设 为 Hil b e r t空间且具有 内积 ( ， ) ， 为 X 中定义的线性算子， 则数值域 W( T) 定义为 W( T ) ：= ( T ， X ) ： X ( T ) ， 1Ix lI =1 ) 定义 1 4 设 为X。Y中由( 1 1 ) 定义的无界分块算子矩阵
7、对于( 5 ) ( ) ， Ilf 1 = I =1 ， 定义 = ) ， 则称集合 。 ( ) ： = U o rp ( ， ， ) ( ，g W 口( ) ， 为 的二次数值域 定义 1 51 3 称 H i l b e r t空间 中的稠定线性算子 为亚正规算子， 如果 ( 1 ) ( ) C 9( T ) ； ( 2 )1IT x ll lIT x ll ， X ( ) 如果 IITx lI lIT x ll 或者 lITx ll IIT x l1 成立， 则称 为半正规算子 如果 T T = ， 则称 为正 规算子 定义 1 61 4 称 H i l b e r t空间 X 中的稠定
8、闭线性算子 为 F r e d h o lm 算子， 如果 n( T)是闭的 并且 佗 ( ) 0( 参见文献 1 4 ， 定 理 I V 5 2 】 ) 齐雅茹等： 无界分块算子矩阵的谱分布 2 主要结论及其证 明 为证 明本文的主要结论， 先给出关于无界算子矩阵的 G e r s h g o r i n定理 定理 2 1 设 = A2 1 A 12) 为 X 0 Y 中的线性算子， 其 中 A1 2和 2 1是有界算子 令 G i =o ( A t i ) u p ( A t i ) ： lI( A 托一 ) 一 ll 一 lIA j lI ， ， J =1 ， 2 ， 贝 0 ( ) c
9、 G1 u G 2 证明 设 G1 U G2 ， 这等价于 p ( A1 1 ) n p ( A 2 2 ) 且 ll( At 一 ) - 1 II lI) i ， J=1 ， 2 我们只需证明 A一 具有有界逆 记 = A ) ) 则 A一 =T( T一 ( 一 ) ) 显然， 一 ( A一 ) =I +M( A ) ， 其 中 注意到 llM( ) ll 2 1 主对角元是亚正规算子的情形 本节考虑主对角元是亚正规算子时整个算子矩阵的谱分布 为此， 我们回顾和讨论亚正规算子 的 谱性质 引理 2 11 5 设 为 H i l b e r t空间 中的有界亚正规算子 ， 则 T的谱半径等于
10、lITII 命题 2 1 设 为 H i l b e r t空间 中的亚正规算子， 则对任意 p ( T )有 ( ) 是有界亚 正规算子且 ll( ) 一 ll 一 =d i s t ( A ， ( ) ) 证明 当 为亚正规算子时容易验证 T 也是亚正规算子 由文献 1 3 ， 命题 1 ， 对于 p ( T ) 有 ( 一 ) _ 1是有界亚正规算子 再由引理 2 1 ， II ( ) lI 等于谱半径， 即 I I( T-A ) 一 【l =s u p I I ： ( ( ) 一 ) ) 五 矗 _ 1 1 证毕 1 1 0 2 i n f Jz l ： z 盯 ( ) )d i s
11、t ( A ， 盯 ( ) ) 口 一 0 0 一 、 、 ， 0 4 1 _ 、 贿 M 中国科学 ： 数学第 4 4卷第 1 0期 注 2 1 上述命题的结论对于半正规算子也仍然成立 引理2 2 1 4 设 为H i l b e r t 空间X中的闭 线性算子 如果 ( ) C丽， 则对于 丽有 II ( TA ) 一 ll一 d i s t ( A ， ( ) ) 定理 2 2 设 =(三 三 ) 为 X 0 Y 中的稠定线性算子， 其中 A和 D 是亚正规算子， B和 C 是有界算子， 则 o ( A) c 入c： d is t ( k ， 盯 ( ) U ( D) ) ma x lI
12、BIl ， lICII 证明 由定理 2 1 ， 盯 ( ) c( a ( A ) U p ( A ) ： lI( A ) 一 ll JIBII ) U( ( J ) ) U p ( D) ： ll ( D ) ll一 Iloll ) ( 2 1 ) 注意到 A和 D 是亚正规算子有 ll( A ) 一 I J一 ：d i s t ( A ， ( ) ) ， JI ( D ) 一 ll一 =d is t ( A ， ( J ) ) ) ， 从而， ( ) C 入E C： d is t ( ) ， ( A ) u ( D) ) ma x llBII ， ll oll 证 毕 口 推论 2 1 在
13、定理 2 2中， 若 C=士B 时仍有 同样的结论 特别地， 当 C=B ， A和 D 是 自伴 算子时 A是 Dir a c算子， 具有重要的物理应用 推论 2 2 设 ：(三 三 ) 为 0 Y 中的稠定线性算子， 其中 A和 D 是亚正规算子， B和 C 是有界算子 如果 d is t ( 0 ， 仃 ( ) U盯 ( D) ) ma x Il B llcI1) ， 则 具有有界逆 推论 2 3 设 =( ) 为 0 X 中的 H a mil t o n算子， 其中 A 是有界算子如果 d is t ( 0 ， 盯 ( B) U盯 ( 一 c) ) 1I AI1 ， 则 A 具有有 界逆
14、 证明 因为 = 是 Dir a c算子， 其 中 =(， 再由推论 2 2易得证明 口 齐雅茹等： 无 界分块算子矩阵的谱分布 2 2 具有一般主对角元的情形 本节研究当主对角元是一般 的无界算子时算子矩阵的谱分布 引理 2 31 4 设 为半 F r e d h o l m 算子， S相对于 有界， 有 lls 钆 ll a li b i1 +b llT u l ， 其中 a和 b 满足 a0 考虑 + 2 ， 注意到 + 2( A1 或 a 2 ) ， 所以有 n ( A 一8 2 ) =0以及 n( A 一6 2 ) 是闭的 由引理 2 3 ， A一入 一 2是半 F r e d h o l m算子且 in d ( A ) =i n d ( A一入 一 2 ) ， 从而， d( A 一 入 害 ) tn d ( A - - 、) = 。 进而有 A+ 2P ( A ) 由 ( 1或 2 )的连通性有 c p ( A ) ，即 ( )C 同理可证， 当 c 丽的每个连通分支都包含至少一个p ( D ) 中的点时有 ( ) c 丽 应用引 理 2 2 可得 ( ) c 入 C： d is t ( A ， W( A ) u ( D ) ) m 8 x 圳B【l， IIc L l 证 毕 口 推论 2 4 在定理 2 4和 2
