《2012年高考题中切线问题的解法》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年高考题中切线问题的解法（3页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2 0 1 2年高考题 中切线问题的解法 甘肃省渭源县第一中学 ( 7 4 8 2 0 0) 曹平原( 特级教师) 曲线 的切线问题在数 学、 物理学中的重要性无 须多言 近年来 ， 有关切线问题的在全 国各省市高考 试题 中频频亮相 ， 全国各地 的高考命题者对切线 问 题非常关注 但是 ， 切线问题在中学数学教学中 ， 并没有得到 足够的重视 ， 切线问题的处境非常尴尬 中学教材对 切线的概念没有进行系统论述 切线概念若明若暗， 切线定义残缺不全 ， 切线知识支离破碎 ， 切线问题似 是而非 例如 ， 什么是 曲线的切线 ， 切线与曲线 只有 一个公共点吗， 曲线一定在切线的同一侧吗， 切
2、线与 曲线相交吗 ， 过曲线上一点有几条切线 ， 在切点处曲 线一定有导数吗? 等等 对这些问题 ， 我在论文 曲 线的切线概念分析 ( 新高考 2 0 1 1 年 1 1 期、 1 2期) 中， 有比较详细地论述 在此 ， 主要对高考数学试题 中切线问题 的解法做以归类分析 一 、利用判别式求圆锥 曲线的切线 因为圆锥曲线和直线最多有两个公共点 所 以， 我们可以用公共点的个数给出圆锥曲线的切线定 义 由于圆锥 曲线 可分为椭圆 ( 圆) 、 双 曲线和抛物 线三类 ， 下面分别进行讨论 如果直线与椭圆只有一个公共点 ， 就把这条直 线叫做椭圆( 圆)的切线 ， 公共点叫做切点 如果直线与双
3、 曲线只有一个公共点 ， 并且不与 渐近线平行 ， 就把这条直线叫做双曲线的切线 ， 公共 点叫做切点 如果直线 与抛物线只有一个公共点 ， 并且不 与 对称轴平行 ， 就把这条直线叫做抛物线的切线 ， 公共 点叫做切点 P ， L D l 图 1 图 2 需要特别注意 ： 如 图所示 ， 当直线与双曲线 的 渐近线平行( 图 1 )或者与抛物线 的对称轴平行 ( 图 2 ) 时， 虽然只有一公共点， 但是这条直线是交线不 能叫做切线 ， 这个公共点是交点也不能叫做切点 根据圆锥曲线的切线定义可知， 直线是圆锥曲 线的切线的充要条件是： 将 ， 的方程代入 c的方程 后 ， 得到关于 或 Y方
4、程 中的二次项系数不等于零 ， 且判别式等于零 利用这个结论， 就可以求得圆锥曲 中学数学研究 编辑委 员会 名誉主编 ： 柳柏濂 顾问： ( 以姓氏笔划为序)王林全 ， 张谋成 ， 柳柏濂 社长 ： 丁时进 主编 ： 林长好 副主编 ： 何小亚 ， 吴有昌 编委： ( 以姓氏笔划为序) 尤利华， 邓春源， 叶远灵， 刘名生， 刘秀湘， 吕伟泉， 孙道椿， 苏洪雨， 李健全 ， 吴有昌， 何小亚 ， 陈奇斌 ， 陈小山， 林长好 ， 林少杰， 姚静， 袁汉辉， 耿堤 ， 徐志庭 ， 徐勇， 章绍辉， 曾辛金 2 0 1 2年第 1 2期 中学数学研究 线的切线方程 一般地， 对于任意圆锥曲线A
5、 +B x y+ + + +F =0上的点 P ( 。 ， Y 。 ) ， 可求得过点 P( 。 ， Y 。 )的切线方程 ： A 。 + ( ) + C y Y o + D ( 去 ) +E( ) y+F ：0 例 1 ( 2 0 1 2年全国高考广东文 2 0 ) 在平面直角坐标系x o y 中， 已知椭圆C ： + =1 ( 060 )的左焦点为 F ( 一1 ， 0 ) ， 且点 P( 0 ， 1 )在 C ， 上 (I ) 求椭圆C 的方程； () 设直线 Z 同时与椭圆 C 和抛物线 C ： y = 4 相切 ， 求直线 f 的方程 解 ： (I)因为椭圆 c 的左焦点为 F (
6、一1 ， 0 ) ， 所 以 c=1 ， 点 P( o ， 1 ) 代人椭 圆 + =1 ， 得 6= 1 ， 所 以0 =6 。+c ：2 所以椭 圆 C 。 的方程为 + Y = 1 ( ) 直线z 的斜率显然存在， 设直线f 的方程为 Y=k x+m， 将此式代入 +y 2=1 得( 1+ 2 k 。 ) + 4 k m x+2 m 一2=0 ， 因为直线 z 与椭圆 c 。 相切 ， 所 以 =1 6 k m 一4 ( 1+2 ) ( 2 m 一2 )=0 ， 整理得 2 k 一m +1=0 ( i ) 把直线 f 的方程Y= +m代入 C 2 ： y =4 x 得 +( 2 k in
7、 一4 ) +， n =0 ， 因为直线 Z 与抛物线 C ： 相切 ， 所 以 =( 2 k in一 4 ) 一4 m =0 ， 整理得 k m =1 综合 ， 解得f = 譬 或 f = 一 ， 【 m ： 【 m =一 所 以直线 f 的方程为 ： y： + 或 y：一 一 评析： 对于圆锥曲线的切线， 可以把直线方程代 入曲线方程 ， 消去一个变量后得到一元二次方程， 让 二次项系数不等于零且判别式等于零来求解 二、 利用导数求任意曲线的切线 我们先讨论任意曲线的切线定义 如图 3， 设曲线 C是函数 Y= )的图象 ， 在曲 线 C 上 取 两 点 P( 。 ， Y 。 ) 、 Q(
8、 。+ ， Y 0+ y ) 当点 Q 沿着 曲线 C无 限趋 近于点 P 时， 割线PQ的极限位置P T叫 做 曲线 C在点 P处的切线 ， 点 P叫做切点 设割线 Pp的倾斜 角 为 ，则 割线 PQ的斜率 为 t a n 3 I y = I ( x ) M 一 图 3 ： 设切线P 的倾斜角为 ， 则切线P 的斜率是 割线 P p斜率的极限 叭 a n 一 l i + 。ra Z = = 厂( 。 ) 也就是说 ， 曲线在点 P ( 。 ， Y 。 ) 处 的切线斜率 为厂( 。 ) 相应地 ， 切线方程为 YY o=厂( 。 ) ( o) 例 2 ( 2 0 1 2年 全 国高考福 建
9、 理 2 0 )已知 函数 厂 ( )=e +口 一e x ( n E ) (I) 若 曲线 Y= ) 在点( 1 1 ) )处的切线 平行于 轴， 求函数 Y= -厂 ( )的单调区间； ( ) 试确定 口的取值范围， 使得曲线 Y= ) 上存在唯一的点 P， 曲线在该点处 的切线 与曲线 只 有一个公共点 P 解 ：(I) 厂( )：e +2 a xe ， =厂( 1 )= 2 a：0 ： 0=0 ， 故厂( )=e 一e 1时厂( )0 所 以， 函数 Y= )的单调减 区间为( 一o 。， 1 ) ， 单调增 区间为( 1 ，+。 。) ( ) 设切点P ( 。 ) ) ， 则切线)
10、， = 厂( 。 ) ( o)+ 0 ) 令 g ( )= )一厂( 。 ) ( 。 )一 。 ) ， 贝 0 g ( 。 )=0 切线与曲线只有一个公共点 P g ( x )= 0只有一个根 。 又g ( )= )一 厂( 。 )：e 一e +2 a ( 0 ) ， 当 口 0时 ， g ( )=e +2 a0 ， 由g ( o )= 0可知 0 ( )0， 由此 得当 。 时， g ( )g ( 。 )：0 即 g ( )=0只 有一个根 由 的任意性 ， n0 不符合条件 若 口0 2 中学数学研究 2 0 1 2年第 1 2期 所以， 函数 g ( ) 在 R上单调递增 ， =I n
11、( 一2 a ) 是 g ( )=0的唯一解 因此 ， 当 。0 )有一个公共点 ， 且在 处两曲线的切线为同 一直线 f (I)求 r ；( ) 设 m、 t Z 是异于 f 且与 c及 都 相切的两条直线 ， m、 n 的交点为 D， 求 D到 f 的距离 解法一：(I) 设A( 。 ， ( X 。+1 ) ) ， 对Y=( + 1 ) 求导得 Y =2 ( +1 ) ， 故直线 f 的斜率 k=2 ( X +1 ) 当X 。=1 时， 经检验不合题意， 所 以 。 1 圆 心 为 ( 1 ， ) ， 的 斜 率 ， ： 尝一1 2 ， 由 f j _ 知 ， ：一1 ， 即2 ( 1 )
12、 =一1 ， 解得 =0 ， 进而得 A ( 0 ， 1 ) 所 以r：I MA I = ( 1 0 ) + ( 一 1 ) = 竽 (I I ) 设 B( a ， ( C t +1 ) ) 为 C上一点， 则在该点 处的切线方程为 Y一( a+1 ) =2 ( a+1 ) ( a )即 Y=2 ( 。+1 ) C t 。 +1 若该直线与圆 相切 ， 则圆 心 ( 1 ，)到该 切线 的距离 为 ， 即 +_ = 22 a 1 1 ， 化 简 可 得 ( + ) + ( 一 ) a ( a 一4 a一6 )=0， 求解可得 C t 0=0 ， a 1=2+ ， 面 n ，=2一 设抛物线 C
13、在点 B( C t ， ( a +1 ) ) ( i=0 ， 1 ， 2 ) 处的切线分别为f 、 m、 其方程分别为Y=2 x + 1 、 Y=2 ( a l +1 ) 一0 +1 ( 、 Y=2 ( a 2 +1 ) 一0 i + l 由、 解得直线 m、 n 的交点为 D ( 2 ， 一1 ) 所以 D到直线 f 的距离为 r ， 一 二( 二 ) l一 、 2 。 +( 一1 ) 5 解法二： (I) 设 A ( Y 。 ) 对于抛物线 C的切线 方程为 ：( 。 +1 ) ( +1 ) ； 对于圆M的切 线方程为( 。 一1 ) ( 1 ) +( Y 一 ) ( Y一 )= r。 因
14、为 是共点公切线， 2 ( X +1 )=一 ( 斜率相等) ， 结合 Y 。= ( 。+1 ) nl 解之得 l ( 0， 1 ) r：l MA l = ( 1 0 ) + ( 1 1 ) = 2 ( 1 I )如图 4 ， 抛物线 c与 圆 应有三条公切 线 ，由(I)知 ， 公切线方程为 ： 2 xY+1=0 设另外两条公切线 m 与抛物线 C切于点 B( X ， ( X +1 ) ) ( 0 ， i=1 ， 2 ) ，贝 0 切线方程为Y=2 ( +1 ) +1 又直线 m、 n与圆 相 切 ， 应有 1 I 2 ( +1 ) 1 一 一 + l l B 一 m , 4 ( x i + 11 + 1 ii ： ，由 0 得( 一 4 x 一 6 )=0 记m： Y=2 ( +1 ) 一 +1 ， n ： Y=2 ( X 2 +1 ) X一 i +1 贝 4 l + =4 ， 联立 m、 n的方程得 D( 2 ，一1 ) 故 D( 2， 一1 )到 f 的距离为： d ： ： 2 +( 一1 ) 。 5 评析 ： 本试题主要考查 了圆锥曲线的切线概念 、 性质 、 方程和点到直线的距离 试题所涉及的是两个 二次曲线的交点 问题 ， 以及在公共点处的公切线 和 所有公切线问题 解题时需要利用数形结合思想和 导数知识 ， 这是试题的创新之处 同时， 在第二个问 题中加大了
