利用均衡利率模型对浮动利率债券定价朱世武 陈健恒3内容提要 随着中国债券市场的发展,定价成为市场交易的核心问题准确和合理的定价能够促进市场的交易,提高市场的流动性,改善银行间债券市场交易不活跃的情况国内的浮动利率债券基础利率的非市场化给定价带来了一定的困难,影响了市场的交易尽管国内不少学者对浮动利率债券定价方法进行了研究,但都集中于交易所市场的研究,对银行间市场的研究很少,并且分析的也不够彻底另外,国内目前普遍采用的浮动利率债券定价方法还存在不少缺陷为了更深入地研究浮动利率债券定价的问题,本文以利率均衡模型 — — —Vasicek模型和CIR模型为基础,经过大量的经验研究,给出一套银行间债券市场浮动利率债券的定价方案,取得了比较好的效果,期望能为投资者提供了一些有益的定价方法关 键 词 债券市场 浮动利率债券 定价Vasicek模型 CIR模型一 导言随着中国金融市场的改革开放以及中国政府债券发行量的持续增大,仅2003年,银行间债券市场就发行了47只本币债券和1只美元债券,发行总额为7975亿元(不含1只美元债券) ,债券回购和现券单边交易结算总量达15. 13万亿元(中国货币网2003年市场概述)。
中国债券市场特别是银行间债券市场日益成为中国重要的金融市场,并成为中国政府实施货币政策的一个重要平台债券市场已经逐渐向成熟的高度市场化方向发展但在市场发展和活跃市场交易过程中存在着一个障碍,就是对市场交易的债券的合理定价在国内规模最大的债券市场 — — — 银行间市场中,由于交易者类型的趋同,交易还不甚活跃,对于一些交易较少的债券难以形成合理的价格而对于浮动利率债券,由于其基础利率(银行存款利率)不是市场化利率,给定价造成了更大的困难在这种情况下,如何合理地对浮动利率债券定价成为市场发展过程中一个亟待解决的问题,也是一个一直困扰业界的问题本文正是在这种背景下,研究应用国外成熟的利率均衡模型 — — —Vasicek模型和CIR模型来对浮动利率债券进行定价文章的结构安排如下:全文总体分为四部分第一部分引出浮动利率债券定价的问题以及提出本文的目的,介绍中国浮动利率债券市场的情况以及目前业界所采用的定价方法,分析这些方法的缺陷第二部分介绍了本文所采·84· 期2第年5002 3济经界世3朱世武、 陈健恒:清华大学经济管理学院金融系 100084 电子信箱: zhushw@em. tsinghua. edu. cn。
本文为国家社会科学基金(02BJY132)及国家自然科学基金(70273016)资助项目用的利率模型以及利用这些模型定价的原理第三部分主要是应用模型的经验检验第四部分在检验了本文的定价方法之后,给出了全文的结论二 浮动利率市场现状以及国内的定价方法分析1999年,国家开发银行发行了中国首只浮动利率债券财政部和政策性银行在2000和2001年加大了发行浮动利率债券的比例,使得浮动利率债券一度成为市场上的主体尽管在此之后,财政部和政策性银行已经较少发行浮动利率债券,但是市场上仍然有较多的浮动利率债券(在银行间市场可交易的有近40只)浮动利率债券与以往发行的附息债券相比的一个根本不同点在于它每年支付的利息不是固定的而是浮动的,每次付息利率是根据起始计息日当天的一年期储蓄存款利率加一定的利差得到而国内发行的浮动利率债券与国外常见的浮动利率债券(Floating Rate Note, FRN)也有明显的差异原因在于国内发行的浮动利率债券是以一年期存款利率为基础利率的,而这一利率不是市场化利率,受到政府的控制,因此难以预测而国外所发行的浮动利率债券一般是以货币市场某一基准利率(如短期同业拆借利率L I BOR)作为基础利率的。
这些基准利率是高度市场化的利率,时刻处于变动状态,反映了市场对资金的供求状况国外的浮动利率债券定价从来都不是一个难题因为其支付的利息是随着市场利率的改变而改变的因此在付息日也就是利率调整日,债券的价格会回归至票面价值(例如100元)也就是说,对于基础利率是高度市场化利率的浮动利率债券而言,在任何付息日,债券的价格都等于面值在这种情况下浮动利率债券就可以看成是一个短期债券(期限等于付息间隔,如果半年付息就相当于半年期的附息债券) ,只要用当天的相应期限的债券收益率对面值和利息进行折现就可以得到当天的浮动利率债券价格国内的浮动利率债券由于其基础利率不是市场化利率,而是由政府控制的,政府是根据其货币政策来制定存款利率的,不随市场因素变动,因此浮动利率债券未来的现金流变得难以确定,其定价也不像国外的浮动利率债券那么简单有效目前业界对浮动利率债券定价主要有两种方法,一种是现金流分解法(陈力峰, 2002) ,另外一种是期限结构法下面简要介绍这两种方法,并分析其缺陷现金流分解法的定价原理与国外对浮动利率债券的定价相似由于国内的浮动利率债券的利息包含了两部分(基础利率和利差) ,因此现金流分解法就是将未来的现金流分解成这两部分,分别定价。
对于基础利率部分的现金流,这种方法将基础利率视为随时调整的市场化利率,从而基础利率现金流的现值在付息日就等于债券面值(与国外的定价原理一致)因此将这部分现金流也看成是一个短期利率债券来定价而对于利差部分的现金流,由于是一个固定的利息支付,因此可以用当天的期限结构进行折现定价将这两部分的价值加起来就是当天的浮动利率债券的价格可以说,这种方法基本上与国外的定价方法是一致的,也比较简单但是将基础利率部分看成是随时调整的市场化利率不符合国内的实际情况,是一种比较牵强的定价方法第二种方法是期限结构法,其原理就是利用当前时刻的即期利率期限结构推导出远期利率期限结构,以远期利率作为对未来基础利率的预测,从而确定未来的现金流,再用当前的即期利率进行折现得出浮动利率债券的价格这种方法从理论上来说是合理的,但是却面临一些实际操作中的问题第一,当前能够观察到的期限结构是根据市场上的债券价格信息推导出来的,反映的是市场化利率的状况,因此以当前期限结构推导出来的远期利率是否能够有效的作为非市场化基础利率的替代或者真·94· 期2第年5002 3济经界世朱世武 陈健恒 实反映市场对基础利率的预期是有疑问的。
第二,在银行间市场,由于债券交易的不活跃以及部分债券交易价格的不合理,导致了通过债券价格信息推导期限结构出现困难而中国货币网每天公布的利率期限结构,从其形状上看有时是很不合理的,目前还没有一个标准的方法能够合理地推导银行间市场的利率期限结构因此,利率期限结构的不合理必然影响了这种方法对债券定价的准确性从市场实际情况来看,外汇交易中心开发的债券分析系统 — — —F系统①应用这种方法对浮动利率债券定价往往得出比市场价格低的理论价格,不能很好的与市场实际价格吻合可见对浮动利率债券定价确实是一个比较复杂的问题,很难有一个周全有效的方法而本文的目的就是尝试利用国外成熟的利率均衡模型来推导出理论上的利率期限结构,从而以此期限结构的信息作为定价的基础,并分析这种定价方法是否能够很好的反映债券的内在价值,从而使理论价格与市场价格吻合三 模型介绍推导利率期限结构的模型可以分为静态模型和动态模型(马特里尼和普里奥兰德, 2002)静态模型就是以当天市场的债券价格信息为基础,构造利率曲线函数,利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格,从而得出符合当天价格信息的利率期限结构静态模型最为常见的方法包括样条法(SplinesMethod)和Nelson - Siegel模型等(朱世武、 陈健恒, 2003)。
利用静态模型估计银行间市场的利率期限结构在实际操作中还存在不少困难动态模型是从假设利率服从某种形式的随机微分方程出发,通过随机微分方程推导出一个理论上的利率期限结构其中动态模型又包括均衡模型和无套利模型所谓均衡模型是指利率的随机微分方程的形式是通过经济理论分析得出的,这种模型推导出来的利率期限结构不必与市场实际的期限结构相一致而无套利模型是利用市场上的价格信息来推导出利率随机微分方程的形式,从而由模型诱导的利率期限结构与实际中的期限结构相一致著名的Vasicek模型(Vasicek, 1977)和CIR模型(Cox et al . , 1985)就属于动态的均衡模型,这也是本文所要分析并应用的模型,但本文只分析单因素模型动态均衡单因素模型假定短期利率波动是造成债券收益不确定性的惟一因素,所有债券收益之间都有很强的正相关性,债券收益率曲线以一个单一参数为特征,即单因素模型假定短期利率发生变化时,具有不同到期期限的各种债券价格的变化是正相关的不同的短期利率动态模型给出不同形式的单因素模型短期利率动态模型的基本形式是:dr =μ( t, r) dt +σ( t, r) dB(1)其中,μ( t, r)是漂移系数,σ( t, r)是波动率。
应用伊腾( Ito)引理,零息票债券的即期收益率为:dP = (Pt+ Prμ+1 2σ2Prr) dt + PrσdB=μpPdt +σpdB(2)·05· 期2第年5002 3济经界世利用均衡利率模型对浮动利率债券定价①F系统为外汇交易中心暨全国银行间拆借中心开发的债券分析系统,包括行情显示以及债券分析(如债券定价、 组合风险管理、 利 率期限结构计算等等)其中,Pt表示 9P /9t, Pr表示 9P /9r, Prr表示 92P /9r2由于债券价格随着利率变动而反向变动,为了对利率风险给予回报,债券的超额收益率定义为 μp-r=λ σp,这里称 λ是风险溢价系数(可以看成是风险的市场价格)由式(2)得:λ=μp- r (1/P) Prσ(3)这里要注意的一点是,从风险溢价系数的定义来看,λ是一个负数①,即 λ0,而Pr<0(债券价格与利率的变动是反向的)一) Vasicek模型在Vasicek模型中,用以下随机微分方程来描述短期利率:dr =μ( t, r) dt +σ( t, r) dB =α(μ- r) dt +σdB(4)其中,α 、 μ 、 σ都是常数,В 表示标准布朗运动。
Vasicek模型是第一个具有均值回复性质的利率期限结构模型,均值回复表现在当利率水平r超过或者低于平均水平 μ时就会向该水平回复,α是回复速率,σ表示瞬时利率的波动率通过求解偏微分方程或鞅方法,推导出零息票债券价格的表达式:P (τ)= A (τ) e- B (τ) r( t)(5)B (τ)=1- e-α(τ)α(6)A (τ)=exp{ - (μ-λ σ α-σ22α2) [τ- B (τ) ] -σ2B2(τ) 4α}(7)其中,τ 表示债券的剩余期限二) CIR模型在CIR模型中,短期利率的随机微分方程为:dr =α(μ- r) dt +σrdB(8)零息票债券价格可以表示为:P (τ)= A (τ)exp( - B (τ) rt)(9)A (τ)=<1exp(<2τ) <2(exp(<1τ) -1) +<1<3 (10)B (τ)=exp(<1τ) -1 <2(exp(<1τ) -1) +<1(11)其中,<1=(α+λ)2+2σ2,<2=(α+λ+<1) /2,<3=2α μ/σ2CIR模型与Vasicek模型的区别在于利率随机微分方程中波动因子的构造不同CIR模型的波动因子随着利率水平的变化而变化,当利率很小的时候波动也很小,从而避免了出现负利率的情况,而在Va2sicek模型中,当利率水平很低时有可能出现负利率。
三)定价原理·15· 期2第年5002 3济经界世朱世武 陈健恒 ①在国内的一些研究当中,将λ作为正数看待是不正确的,希望引起注意通过Vasicek模型和CIR模型推导出零息票债券的理论价格后,可以根据即期利率与零息票债券价格的关系进一步推导出即期利率期限结构而这个利率期限结构是理论上的期限结构,是在模型的基础上推导出来的,未必与市场上观测的期限结构一致即期利率: R (。