利用柯西不等式的变式简解竞赛题

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1、-4 6 中学数学研究 2 0 1 3年 第7期 设A( ， ) ， ) ， B( x ： ， Y 2 ) ， 则 + =2 p a “ - ，又由 图 可 知 = ： = 号 ， 所 以 = p ， 化 简 得 2 = 1 ， 故离心率 e= 以 上解 法问 题归 结 在于 “ 。 = = 导” 由方程 的根的判别式a=4 p a + 4 a b 0 ， 可知方程 有两个不等实根， 不妨设为 ， ， 且 。 o ， 可 知 L 1 2=一a 0时， 方程组 有两个解， 其对应着 点 A， B 疑虑追思 文 1 作者在课堂教学过程中能 积极思考， 及时反思、 总结， 笔者深表敬意 百度百科 关

2、于“ 虚根”的解释为： 包括虚数单位的方程的根， 亦即有负数平方根的方程的根 文 1 中多次提到 一 2 “ 虚根” ， 例如“ 另一点横坐标为 =一 ( 虚根) ” P 注意这个 并不包括虚数单位， 所以在文 1 中讨 论“ 虚根”笔者认为不妥 参考文献 1 沈恒 ， 徐琚 离心率到底是多少对虚根的新认识 中 学数学杂志， 2 0 1 2 ( 7 ) ， 5 4 5 6 利用柯西不等式的变式简解竞赛题 湖北省阳新县高级 中学 湖北省阳新县三溪中学 柯西不等式是高中数学中重要的不等式之一， 它有如下重要变式： 若 i ， Y iR+( ：1 ， 2 ， ， n ， n E N ， n2 ) ，

3、 贝 0 有 2 +x2Y 2+ +兰 Y Y l一 = Y 2 Y， 当且 则有 + + + 二 ，当且 1 n 十 + 仅 当 ：垒 ： ： 时等号成立 这个变式对于证明轮换对称的分式不等式具有 强大的功能， 国内外很多轮换对称的分式不等式竞 赛题， 利用它可以获得极其简洁的证明， 本文以文 1 中的例题为例予以说 明 例 1 ( 数学奥林匹克问题之 1 6 3 ( 高中) 中等 数学) 2 0 0 5年第 1 1 期)已知 为锐角， 求证： + 8 证明： 由 柯西不等式的 变式 得士 + 3 3 - ： ( 4 3 5 2 0 0 ) 邹生书 ( 4 3 5 2 3 4 ) 蔡克军 _

4、1 + _ = =9 些 8 s l n o t 4 3 c 0 s s i n o t + 4 3 c o s 当 且 仅当 土 ： 且。 i n + 5 c 。 ： 2 ， s l n o t 4 3 c o s 即 詈时 ， 不 等 式 取 等 号 侈 0 2 ( 2 0 1 3年徐 州市 第三次质 量检测 第 1 2 题)若。o ， 60 ， 且 + =1 ， 则 口+ 2 b a 4 -0 4- D 上 的最小值为 解 ： 由柯西不等式的变式得 ， 1= + =2 a b+ 3 b 4- 3=2 a b+3 b 3 + 。 + 。 + 一 = ，所 以 2 a + 44- 3 b 4

5、- 3 2 a 4- 4 b 4- 3 6 + ( 2 口 + 6 ) ( ) ” 34+ 2 4 X ， 故n + 2 6 - 1+ 当且仅当 1 = 且 + =1 ， 即 n= 1+ ，6 = 3 2 0 1 3 年第7 期 中学数学研究 4 7- 时 ， 口 + 2 b 取 得 最 小 值 为 寺 + 例 3 ( 2 0 0 4年 法国国家 队选拔考试试题 )若 a i , b i R ( = 1 ,2 , - , n , n ) ， 且 主 i =1口 = 虹 i =l- l 求 主 i =l 的 值 解 ： 由柯 西不等式的变式得，i主=1 2 ：吉 ，故 耋 的 最 小 值 口 i

6、 +b 一 为 例 4 ( 优美不等式) 设 a ， b ， CR 且 a+6 + 删 + b 2+c 3 + 证明： 由柯西不等式变式得， a 2 + b 2 + = 1 c 口+6= b c 3 n b c 4 + + 丽+ - = + 筹 ：告 “ )下 1 ( 口 + 6 + 。 。 3 ( 半) = 一 ，鬻 + + 等 例 5 ( 第3 6届I MO试题)设a ， b ， CR 且a b c ，试 证 ： + + 3 2 证 明： 因为 a b c=l ， 所 以( a b c ) 。=1 ， 故所证不 等 式 等 价 于 + + 事 由 变 式 得 ， + + 者 =丢 ( n

7、6 + 6 c ) 1 叻 口 3 = 寻 实 数 , a b + b c + c d + d 口 = 1 ， 求 证 ： + 6 c 0 d3 1 + 而+ 证明：由柯西不等式的变式得， + b 。 C 3 d 3 口 4 + 而+ + 6 c 丽+ + 丽 a c b d ) 2 f 口 6+6 c+c d+d 口+ + 一 bj C 2 d 2= ( 口 2 + 6 + c 2 + ) 3 ( 0 2 + 2 + + ) 一 3 u 广 u u ， ， ( a b + b c + c d +d a )= - 注文 1 运用切比雪夫不等式证明a ( b+c+ d )+b ( c+d+a )

8、+c ( d+a+b )+ ( a+b+C ) 3 ( a +b + c 2 + d 2 ) ， 实际上我们可以重复运用二元 均值不等式获得较为自然简单的证明， 证明如下： 口 ( b+C+d )+b ( C+d+口 )+c ( d+a+6 )+d ( a +b+c )=2 ( 口 6+6 c+c d+d 口+a c+b d ) ( a z+ b 2 )+( b 2+c 2 )+( C 2 + )+( +a 2 )+( a 2 +c 2 ) +( b 2+d 2 )=3 ( a 2+b 2+c +d 2 ) 同理 n ：+6 ：“+d ： + + +氅 n 6 + 6 c+ 如： 1 惠特霍斯

9、曾说过： “ 一般地， 解题之成功， 在很 大的程度上依赖于选择一种最适宜的方法” 文 1 利用基本不等式 +b 2 a b的变式 2 ab ( b 0 )对几道国 内外竞赛试题( 见本文例题)进行 了 较为简洁的证明， 笔者读后受益不浅 总结起来就 是 ： 从大局着想从小处入手 先利用基本不等式的变 式对所证不等式左边的各项构造零件不等式， 然后 “ 集零为整“ 将各不等式相加进行证 明 该证法所证 不等式等号成立的条件决定零件不等式的构成， 也 就是说零件不等式等号成立的条件必须与所证不等 式等号成立的条件相一致， “ 小环境”要适应“ 大气 候” ， 和谐与统 一是该证法能否成功的关键

10、从本文 可知， 利用柯西不等式的变式来解这几道竞赛题， 证 明过程给人 以整体视觉大气磅礴一气呵成 ， 证法大 气而且过程更为简洁， 给人以美的享受， 正如克莱 因 所说： “ 一个精彩巧妙的证 明， 精神上近乎一首诗” 4 8 中学数学研 究 2 0 1 3年第7期 参考文献 学数学 2 0 ( 2 ) ： 4 8 4 9 1 王淼生 利用基本不等式变式巧解竞赛试题 J ， 福建中 对 2 3届希望杯高一第二试压轴题的探究 广东省茂名市第十七中学 ( 5 2 5 0 0 0 ) 吴晓明 现今的高考和竞赛经常出现抽象函数题， 而解 答抽象 函数题是学生的一个难点 对此， 笔者现 以第 2 3

11、届希望杯赛高一第二试压轴题为例， 仅就此题所 涉及到的一类关于一次函数或常函数型的抽象函数 作一点探究 第 2 3届希望杯赛高一第二试压轴题 ： 已知函数f ： R R满足： ( m+11, )= m) + 厂 ( 7, ) 一l ； 当 0时， )1 解答以下问题： ( 1 )求证 )是增函数； ( 2 )若 2 0 1 2 )=6 0 3 7 ， 解不等式 口 一8 a+ 1 3 0时 ( )0 ( 3 )=6 ， 则函数， ( )在区间 一1 ， 1 上的值域为( ) A 一1 ， 1 B 一2 ， 2 c 一 3 ， 3 D 3 ， 6 解析 ： 因函数 )对任意实数 x , y ， 均有 ， ( + Y )= ， ( )+ ， ( Y ) ， 根据定理， 函数， ( ) 是一次函数 或常函数， 且其直线在Y轴上的截距为 一c=0 若函数 ) 为常函数， 因为直线在y 轴上的截 距为 c=0 ， 所 以I 厂 ( )=0 ， 这与题设 0时 ) 0矛盾 ， 所以该 函数应为一次函数， 截距为0， 因此 设其为-厂 ( )= ( 0 ) 又因 3 )=6 ， 所 以 3