《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第47讲抛物线优选学案》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第47讲抛物线优选学案(12页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4747 讲讲 抛物线抛物线考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷,202017全国卷,122017天津卷,122017浙江卷,211.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程,知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用,了解抛物线的实际背景3理解数形结合思想分值:5 分1.求解与抛物线定义有关的问题;利用抛物线的定义求轨迹方程;求抛物线的标准方程2求抛物线的焦点和准线;求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题)1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_距离相等_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_焦点_,直线l叫做抛物线的_准线_.2抛物线的标准方程与
2、几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程 p的几何意义:焦点F到准线l的距离2图形顶点O_(0,0)_对称轴x轴y轴焦点F_(p 2,0)F_(p 2,0)_F_(0,p 2)F_(0,p 2)_离心率e_1_准线xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0,yR Rx0,yR Ry0,xR Ry0,xR R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0)|PF|_x0 _p 2|PF|_x0 _p 2_|PF|_y0 _p 2|PF|_y0 _p 2_3与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1,y1),B(x2,y2)(1)y1y2p2
3、,x1x2.p2 4(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)2p sin2(3)为定值 .1 |AF|1 |BF|2 p(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )3(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是,(a 4,0)准线方程是x .( )a 4(3)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形( )解析 (1)错误当定点在定直线上时,轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线(2)错误方程yax2(a0)可化为x2y
4、是焦点在y轴上的抛物线,且其焦点坐标1 a是,准线方程是y.(0,1 4a)1 4a(3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形2抛物线y2x2的准线方程是( D D )Ax Bx 1 21 8Cy Dy1 21 8解析 抛物线方程为x2y,p ,准线方程为y .1 21 41 83抛物线y224ax(a0)上有一点M,它的横坐标是 3,它到焦点的距离是 5,则抛物线的方程为( A A )Ay28x By212xCy216x Dy220x解析 准线方程为l:x6a,M到准线的距离等于它到焦点的距离,则36a5,a ,抛物线方程为y28x.1 34若点P到直线x1 的距离比它到点(2,0)的距离
5、小 1,则点P的轨迹为( D D )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析 由题意知,点P到点(2,0)的距离与P到直线x2 的距离相等,由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x2 为准线的抛物线5在平面直角坐标系xOy中,有一点A(2,2)在抛物线y22px(p0)上,则该抛物线的准线方程是_x _.1 2解析 由题意可得 44p,解得p1,所以焦点F,准线方程为x .(1 2,0)1 24一 抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题,一般情况下都与抛物线的定义有关,实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段
6、最短” ,使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决【例 1】 已知抛物线方程为y24x,直线l的方程为xy50,在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1,到直线l的距离为d2,则d1d2的最小值为_31_.2解析 由题意知,抛物线的焦点为F(1,0),点P到y轴的距离d11,所以|PF|d1d2d21.易知d2的最小值为点F到直线l的距离,故d2的最小值为|PF|PF|PF|3,所以d1d2的最小值为 31.|15|121222二 抛物线的标准方程及其几何性质(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法,因为未知数只有p,所以只需一
7、个条件确定p值即可(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时,关键是将抛物线方程化成标准方程(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想解题的直观性【例 2】 (1)已知双曲线1(a0,b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的x2 a2y2 b2准线分别交于A,B两点,O为坐标原点若双曲线的离心率为 2,AOB的面积为,则3p( C C )A1 B 3 2C2 D3(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线1 相交于A,B两点,x2 3y2 3若ABF为等边三角形,则p_6_.解析
8、(1)因为双曲线的离心率e 2,所以ba,所以双曲线的渐近线方程为c a35yxx,与抛物线的准线x 相交于点A,点B,所以b a3p 2(p 2,32p)(p 2,32p)AOB的面积为 p,又p0,所以p2.1 2p 233(2)在等边三角形ABF中,AB边上的高为p,p,所以B.又因为点BAB 233(33p,p2)在双曲线上,故1,解得p6.p2 3 3p2 4 3三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似,一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式x1
9、x2p;若不过焦点,则必须用弦长公式|AB|【例 3】 (2017浙江卷)如图,已知抛物线x2y,点A,B,抛物线上(1 2,1 4)(3 2,9 4)的点P(x,y),过点B作直线AP的垂线,垂足为Q.(1 2x3 2)(1)求直线AP斜率的取值范围;(2)求|PA|PQ|的最大值解析 (1)设直线AP的斜率为k,kx .x214x121 2因为 0)的左、右焦点,点P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点,若12,则抛物线的准线方程为_x2_.|PF1|PF2|解析 将双曲线方程化为标准方程得1,抛物线的准线为x2a,联立x2 a2y2 3a2Error!x3a,即点P的横坐标为 3a.而由
10、Error!6a,又双曲线的右焦点与抛物|PF2|线的焦点相同,3a2a6a,解得a1,抛物线的准线方程为x2.|PF2|4(2018贵州贵阳高三摸底考试)过抛物线C:y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C与A,B两点,且|AB|8.(1)求直线l的方程;7(2)若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线解析 (1)F的坐标为(1,0),则l的方程为yk(x1),代入抛物线方程y24x,得k2x2(2k24)xk20,由题意知k0,且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1x2,x1x21,2k24 k2由
11、抛物线的定义知|AB|x1x228,6,k21,即k1,2k24 k2直线l的方程为y(x1)(2)证明:由抛物线的对称性知,点D的坐标为(x1,y1),又E(1,0),kEBkED,y2 x21y1 x11y2x11y1x21x11x21y2(x11)y1(x21)y2y1(y1y2)(y1y2)(y1y2)(y2 1 41)(y2 2 41)y1y2 4.(y1y2 41)由(1)知x1x21,(y1y2)216x1x216,又y1与y2异号,y1y24,即10,kEBkED,y1y2 4又ED与EB有公共点E,B,D,E三点共线易错点 对抛物线的标准方程认识不清错因分析:将抛物线的非标准
12、方程误认为是标准方程,得出错误的准线方程【例 1】 抛物线yax2的准线方程是y1,则a的值为( )A B 1 41 4C4 D4解析 抛物线的标准方程即为x2y,所以准线方程为y1,解得a .故1 a1 4a1 4选 B.答案 B8【跟踪训练 1】 抛物线yx2的准线方程是( A A )1 4Ay1 By2 Cx1 Dx2解析 由yx2得x24y,焦点在y轴正半轴上,且 2p4,即p2,因此准线方程1 4为y 1.故选 Ap 2课时达标课时达标 第第 4747 讲讲解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查,以选择题、填空题的形式出现一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C:y22px
13、的准线上,记C的焦点为F,则直线AF的斜率为( C C )A B1 4 3C D3 41 2解析 因为点A在抛物线的准线上,所以 2,所以该抛物线的焦点为F(2,0),p 2所以kAF .故选 C30 223 42拋物线y2ax2(a0)的焦点是( C C )A B或(a 2,0)(a 2,0) (a 2,0)C D或(0,1 8a)(0,1 8a) (0,1 8a)解析 抛物线的方程化成标准形式为x2y(a0),其焦点在y轴上,所以焦点坐1 2a标为.故选 C(0,1 8a)3已知抛物线C:y2x的焦点为F,A(x0,y0)是C上一点,|AF|x0,则 x0( A A )5 4A1 B2 C
14、4 D8解析 由题意知抛物线的准线为x .因为|AF|x0,根据抛物线的定义可得x01 45 4|AF|x0,解得x01.故选 A1 45 494已知点P为抛物线y26x上一个动点,点Q为圆x2(y6)2 上一个动点,1 4那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是( B B )A B3 17723 1742C D3 17123 1712解析 结合抛物线定义,P到y轴的距离为P到焦点的距离减去 ,则所求最小值为抛3 2物线的焦点到圆心的距离减去半径及 ,即为 .故选 B.3 262(32)21 23 23 17425直线l经过抛物线y24x的焦点,且与抛物线交于A,B两点,若AB中点的横坐标为 3,则线段AB的长为( D D )A5 B6 C7 D8解析 设抛物线y24x的焦点为F,准线为l0,A(xA ,yA),B(xB,yB),C是AB的中点,其坐标为(xC,yC),分别过点A,B作直线l0的垂线,垂足分别为M,N,由抛物线的定义得|AB|AF|BF|AM|BN|xA1xB1xAxB22xC28.6(2017全国卷)过抛物线C:y24x的焦点F,且斜率为的直线交C于