《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第47讲抛物线优选学案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何第47讲抛物线优选学案（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1第第 4747 讲讲 抛物线抛物线考纲要求考情分析命题趋势2017全国卷，202017全国卷，122017天津卷，122017浙江卷，211.了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道它的简单几何性质2了解圆锥曲线的简单应用，了解抛物线的实际背景3理解数形结合思想分值：5 分1.求解与抛物线定义有关的问题；利用抛物线的定义求轨迹方程；求抛物线的标准方程2求抛物线的焦点和准线；求解与抛物线焦点有关的问题(如焦点弦、焦半径等问题)1抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_距离相等_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_焦点_，直线l叫做抛物线的_准线_.2抛物线的标准方程与
2、几何性质y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)标准方程 p的几何意义：焦点F到准线l的距离2图形顶点O_(0,0)_对称轴x轴y轴焦点F_(p 2，0)F_(p 2，0)_F_(0，p 2)F_(0，p 2)_离心率e_1_准线xp 2xp 2yp 2yp 2范围x0，yR Rx0，yR Ry0，xR Ry0，xR R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|_x0 _p 2|PF|_x0 _p 2_|PF|_y0 _p 2|PF|_y0 _p 2_3与焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)y1y2p2
3、，x1x2.p2 4(2)|AB|x1x2p(为AB的倾斜角)2p sin2(3)为定值 .1 |AF|1 |BF|2 p(4)以AB为直径的圆与准线相切(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切1思维辨析(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线( )3(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是，(a 4，0)准线方程是x .( )a 4(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形( )解析 (1)错误当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线(2)错误方程yax2(a0)可化为x2y
4、是焦点在y轴上的抛物线，且其焦点坐标1 a是，准线方程是y.(0，1 4a)1 4a(3)错误抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形2抛物线y2x2的准线方程是( D D )Ax Bx 1 21 8Cy Dy1 21 8解析 抛物线方程为x2y，p ，准线方程为y .1 21 41 83抛物线y224ax(a0)上有一点M，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是 5，则抛物线的方程为( A A )Ay28x By212xCy216x Dy220x解析 准线方程为l：x6a，M到准线的距离等于它到焦点的距离，则36a5，a ，抛物线方程为y28x.1 34若点P到直线x1 的距离比它到点(2,0)的距离
5、小 1，则点P的轨迹为( D D )A圆 B椭圆C双曲线 D抛物线解析 由题意知，点P到点(2,0)的距离与P到直线x2 的距离相等，由抛物线定义得点P的轨迹是以(2,0)为焦点、以直线x2 为准线的抛物线5在平面直角坐标系xOy中，有一点A(2,2)在抛物线y22px(p0)上，则该抛物线的准线方程是_x _.1 2解析 由题意可得 44p，解得p1，所以焦点F，准线方程为x .(1 2，0)1 24一 抛物线的定义及应用与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段
6、最短” ，使问题得解(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决【例 1】 已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1d2的最小值为_31_.2解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)，点P到y轴的距离d11，所以|PF|d1d2d21.易知d2的最小值为点F到直线l的距离，故d2的最小值为|PF|PF|PF|3，所以d1d2的最小值为 31.|15|121222二 抛物线的标准方程及其几何性质(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一
7、个条件确定p值即可(2)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(3)涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性【例 2】 (1)已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)的x2 a2y2 b2准线分别交于A，B两点，O为坐标原点若双曲线的离心率为 2，AOB的面积为，则3p( C C )A1 B 3 2C2 D3(2)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1 相交于A，B两点，x2 3y2 3若ABF为等边三角形，则p_6_.解析
8、(1)因为双曲线的离心率e 2，所以ba，所以双曲线的渐近线方程为c a35yxx，与抛物线的准线x 相交于点A，点B，所以b a3p 2(p 2，32p)(p 2，32p)AOB的面积为 p，又p0，所以p2.1 2p 233(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点BAB 233(33p，p2)在双曲线上，故1，解得p6.p2 3 3p2 4 3三 直线与抛物线的位置关系及弦长问题(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式x1
9、x2p；若不过焦点，则必须用弦长公式|AB|【例 3】 (2017浙江卷)如图，已知抛物线x2y，点A，B，抛物线上(1 2，1 4)(3 2，9 4)的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1 2x3 2)(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|PQ|的最大值解析 (1)设直线AP的斜率为k，kx .x214x121 2因为 0)的左、右焦点，点P是抛物线y28ax与双曲线的一个交点，若12，则抛物线的准线方程为_x2_.|PF1|PF2|解析 将双曲线方程化为标准方程得1，抛物线的准线为x2a，联立x2 a2y2 3a2Error!x3a，即点P的横坐标为 3a.而由
10、Error!6a，又双曲线的右焦点与抛物|PF2|线的焦点相同，3a2a6a，解得a1，抛物线的准线方程为x2.|PF2|4(2018贵州贵阳高三摸底考试)过抛物线C：y24x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C与A，B两点，且|AB|8.(1)求直线l的方程；7(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线解析 (1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为yk(x1)，代入抛物线方程y24x，得k2x2(2k24)xk20，由题意知k0，且(2k24)24k2k216(k21)0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2，x1x21，2k24 k2由
11、抛物线的定义知|AB|x1x228，6，k21，即k1，2k24 k2直线l的方程为y(x1)(2)证明：由抛物线的对称性知，点D的坐标为(x1，y1)，又E(1,0)，kEBkED，y2 x21y1 x11y2x11y1x21x11x21y2(x11)y1(x21)y2y1(y1y2)(y1y2)(y1y2)(y2 1 41)(y2 2 41)y1y2 4.(y1y2 41)由(1)知x1x21，(y1y2)216x1x216，又y1与y2异号，y1y24，即10，kEBkED，y1y2 4又ED与EB有公共点E，B，D，E三点共线易错点 对抛物线的标准方程认识不清错因分析：将抛物线的非标准
12、方程误认为是标准方程，得出错误的准线方程【例 1】 抛物线yax2的准线方程是y1，则a的值为( )A B 1 41 4C4 D4解析 抛物线的标准方程即为x2y，所以准线方程为y1，解得a .故1 a1 4a1 4选 B.答案 B8【跟踪训练 1】 抛物线yx2的准线方程是( A A )1 4Ay1 By2 Cx1 Dx2解析 由yx2得x24y，焦点在y轴正半轴上，且 2p4，即p2，因此准线方程1 4为y 1.故选 Ap 2课时达标课时达标 第第 4747 讲讲解密考纲对抛物线的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题、填空题的形式出现一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px
13、的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( C C )A B1 4 3C D3 41 2解析 因为点A在抛物线的准线上，所以 2，所以该抛物线的焦点为F(2,0)，p 2所以kAF .故选 C30 223 42拋物线y2ax2(a0)的焦点是( C C )A B或(a 2，0)(a 2，0) (a 2，0)C D或(0，1 8a)(0，1 8a) (0，1 8a)解析 抛物线的方程化成标准形式为x2y(a0)，其焦点在y轴上，所以焦点坐1 2a标为.故选 C(0，1 8a)3已知抛物线C：y2x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|x0，则 x0( A A )5 4A1 B2 C
14、4 D8解析 由题意知抛物线的准线为x .因为|AF|x0，根据抛物线的定义可得x01 45 4|AF|x0，解得x01.故选 A1 45 494已知点P为抛物线y26x上一个动点，点Q为圆x2(y6)2 上一个动点，1 4那么点P到点Q的距离与点P到y轴距离之和的最小值是( B B )A B3 17723 1742C D3 17123 1712解析 结合抛物线定义，P到y轴的距离为P到焦点的距离减去 ，则所求最小值为抛3 2物线的焦点到圆心的距离减去半径及 ，即为 .故选 B.3 262(32)21 23 23 17425直线l经过抛物线y24x的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若AB中点的横坐标为 3，则线段AB的长为( D D )A5 B6 C7 D8解析 设抛物线y24x的焦点为F，准线为l0，A(xA ，yA)，B(xB，yB)，C是AB的中点，其坐标为(xC，yC)，分别过点A，B作直线l0的垂线，垂足分别为M，N，由抛物线的定义得|AB|AF|BF|AM|BN|xA1xB1xAxB22xC28.6(2017全国卷)过抛物线C：y24x的焦点F，且斜率为的直线交C于
