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1、1第第 4444 讲讲 直线与圆、圆与圆的位置关系直线与圆、圆与圆的位置关系解密考纲直线与圆的位置关系、切线、弦长问题是高考的热点，常以选择题、填空题的形式出现，有时也在解答题中出现一、选择题1若圆x2y216 和圆(xa)2y21 相切，则a的值为( C C )A3 B5C3 或5 D3 或 5解析 两圆的圆心距d|a|，两个圆相切，|a|3 或|a|5，a3 或5.2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为( B B )A内切 B相交C外切 D相离解析 两圆的圆心分别为(2,0)，(2,1)，半径分别为r2，R3，两圆的圆心距为，则Rr0)上，且与直线 2xy10 相切
2、的面积最小的圆的方程为( 2 xA A )A(x1)2(y2)25B(x2)2(y1)25C(x1)2(y2)225D(x2)2(y1)225解析 设此圆的圆心坐标为(x00)，则圆的半径r(x0，2 x0)|2x02 x01|5，当且仅当 2x0，即x01 时，等号成立，圆的面积最小，此时圆心2 2x02 x01552 x0坐标为(1,2)，半径为，所以圆的方程为(x1)2(y2)25.故选 A55若直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短，则直线l的方程是( D D )2Ax0 By1Cxy10 Dxy10解析 依题意，直线l：ykx1 过定点P(0,1)圆C：x2y22x
3、30 化为标准方程为(x1)2y24，故圆心为C(1,0)，半径为r2.易知定点P(0,1)在圆内，由圆的性质可知当PCl时，直线l：ykx1 被圆C：x2y22x30 截得的弦最短因为kPC1，所以直线l的斜率k1，即直线l的方程是xy10.10 016圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为( A A )A54 B1C62 D217217解析 设点P的坐标为(x,0)，圆心C1(2,3)关于x轴的对称点为C1(2，3)，则|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5.而2323422|P
4、M|PC1|1，|PN|PC2|3，|PM|PN|PC1|PC2|454.2二、填空题7若直线ykx与圆x2y24x30 相切，则k的值是_.33解析 因为直线ykx与圆x2y24x30 相切，所以圆心(2,0)到直线的距离dr1，解得k.|2k|k21338在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2y24x0.若直线yk(x1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是 2，2 .22解析 圆C的方程为(x2)2y24.设两个切点分别为A，B，则PACB为正方形，故|PC|R2，圆心到直线yk(x1)的距离d|PC|2，即2，解得222|3k|k2122k2.22
5、9已知圆C1：x2y22mx4ym250 与圆C2：x2y22x2mym230，若圆C1与圆C2相切，则实数m_2 或5 或1_.解析 圆C1：(xm)2(y2)29，圆C2：(x1)2(ym)24，则C1(m，2)，r13，C2(1，m)，r22.圆C1与圆C2相切包括两种情况：两圆外切与两圆内切(1)当圆C1与圆C2相外切时，有|C1C2|r1r2，即5，整理得m12m22m23m100，解得m5 或m2；(2)当圆C1与圆C2相内切时，有|C1C2|r1r2，即1，整理得m23m20，解得m1 或m2.综上所述，当m12m22m5 或m1 或m2 时，圆C1与圆C2相切三、解答题10已知
6、圆C：(x1)2(y2)210，分别求满足下列条件的圆的切线方程3(1)与直线l1：xy40 平行；(2)与直线l2：x2y40 垂直；(3)过切点A(4，1)解析 (1)设切线方程为xyb0(b4)，则，b12，|12b|2105切线方程为xy120.5(2)设切线方程为 2xym0，则，|22m|510m5，切线方程为 2xy50.22(3)kAC ，21 141 3过切点A(4，1)的切线斜率为3，过切点A(4，1)的切线方程为y13(x4)，即 3xy110.11已知一圆C的圆心为(2，1)，且该圆被直线l：xy10 截得的弦长为2，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程2解析 设圆C的
7、方程为(x2)2(y1)2r2(r0)圆心(2，1)到直线xy10 的距离d，2r2d224，(2 22)故圆C的方程为(x2)2(y1)24.由Error!得弦的两端点坐标为(2,1)和(0，1)所以过弦的两端点的圆的切线方程为y1 和x0.12已知圆C：x2y22x4y30.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|PO|，求使|PM|取得最小值时点P的坐标解析 (1)切线在两坐标轴上的截距相等，当截距为 0 时，设ykx，且圆C：(x1)2(y2)22，圆心C(1,2)到切线的距离等于圆的半径，2即，得k2.|k2|1k226当截距不为 0 时，设切线方程为xya，即，得a3 或a1.故|12a|22圆的切线方程为y(2)x或y(2)x或xy10 或xy30.66(2)由 |PO|PM|，得xy(x11)2(y12)22，整理得 2x14y130，即2 12 14点P在直线l：2x4y30 上，当|PM|取最小值时，|PO|取最小值，直线POl，直线PO的方程为 2xy0.解方程组Error!得点P的坐标为.(3 10，3 5)
