《2019版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习第六章数列6.3等比数列及其前n项和学案理北师大版（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、16.36.3 等比数列及其前等比数列及其前n n项和项和最新考纲考情考向分析1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式2.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题3.了解等比数列与指数函数的关系.以考查等比数列的通项、前n项和及性质为主，等比数列的证明也是考查的热点本节内容在高考中既可以以选择题、填空题的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查解答题往往与等差数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常
2、用字母q表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a1，公比为q，则它的通项ana1qn1(a10，q0)3等比中项如果在a与b中插入一个数G，使得a，G，b成等比数列，那么根据等比数列的定义， G a，G2ab，G，称G为a，b的等比中项b Gab24等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：anamqnm(n，mN N)(2)若an为等比数列，且klmn(k，l，m，nN N)，则akalaman.(3)若an，bn(项数相同)是等比数列，则an(0)，a，anbn，仍1 an2nan bn是等比数列5等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0)，其前n项和为Sn，当q1
3、 时，Snna1；当q1 时，Sn.a11qn1qa1anq 1q6等比数列前n项和的性质公比不为1 的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍成等比数列，其公比为qn.知识拓展等比数列an的单调性(1)满足Error!或Error!时，an是递增数列(2)满足Error!或Error!时，an是递减数列(3)当Error!时，an为常数列(4)当q0，b22， .a1a2 b2a2a1b21 25设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a50，则_.S5 S2答案 11解析 设等比数列an的公比为q，8a2a50，8a1qa1q40.q380，q2，S5 S2a11q5
4、1q1qa11q211.1q5 1q2125146一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存 1 KB，然后每 3 分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍，那么开机_分钟，该病毒占据内存 64 MB(1 MB210 KB)答案 48解析 由题意可知，病毒每复制一次所占内存的大小构成一等比数列an，且a12，q2，an2n，则 2n64210216，n16.即病毒共复制了 16 次所需时间为 16348(分钟)题型一题型一 等比数列基本量的运算等比数列基本量的运算1(2018开封质检)已知等比数列an满足a1 ，a3a54(a41)，则a2等于( )1 45A2 B1 C. D.1 2
5、1 8答案 C解析 由an为等比数列，得a3a5a，2 4又a3a54(a41)，所以a4(a41)，2 4解得a42.设等比数列an的公比为q，则由a4a1q3，得 2q3，解得q2，1 4所以a2a1q .故选 C.1 22(2018济宁模拟)已知等比数列an的前n项和为Sn，且a1a3 ，a2a4 ，则5 25 4_.Sn an答案 2n1解析 Error!Error!由除以可得2，1q2 qq3解得q ，代入得a12，1 2an2n1，(1 2)4 2nSn4，2 1(1 2)n112(11 2n)2n1.Sn an4(11 2n) 4 2n思维升华 等比数列基本量的运算是等比数列中的
6、一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二” ，通过列方程(组)可迎刃而解题型二题型二 等比数列的判定与证明等比数列的判定与证明典例 (2018潍坊质检)设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14an2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式(1)证明 由a11 及Sn14an2，6得a1a2S24a12.a25，b1a22a13.又Error!由，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首项b13，公比为 2 的等比数列(2)解 由(1)知
7、bnan12an32n1， ，an1 2n1an 2n3 4故是首项为 ，公差为 的等差数列an 2n1 23 4 (n1) ，an 2n1 23 43n1 4故an(3n1)2n2.引申探究若将本例中“Sn14an2”改为“Sn12Sn(n1)” ，其他不变，求数列an的通项公式解 由已知得n2 时，Sn2Sn1n.Sn1Sn2Sn2Sn11，an12an1，an112(an1)，n2，(*)又a11，S2a1a22a12，即a212(a11)，当n1 时(*)式也成立，故an1是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列，an122n12n，an2n1.思维升华 (1)证明一个数列为等比数列
8、常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可(2)利用递推关系时要注意对n1 时的情况进行验证跟踪训练 (2016全国)已知数列an的前n项和Sn1an，其中0.(1)证明an是等比数列，并求其通项公式；(2)若S5，求.31 32(1)证明 由题意得a1S11a1，7故1，a1，a10.1 1由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an，由a10，0 得an0，所以.an1 an 1因此an是首项为，公比为的等比数列，1 1 1于是ann1.1 1( 1)(2)解 由(1)得Sn1n.(
9、 1)由S5得 15，即5.31 32( 1)31 32( 1)1 32解得1.题型三题型三 等比数列性质的应用等比数列性质的应用1(2017郑州三模)已知等比数列an，且a6a84，则a8(a42a6a8)的值为( )A2 B4C8 D16答案 D解析 a6a84，a8(a42a6a8)a8a42a8a6a(a6a8)216.故选 D.2 82(2017云南省十一校跨区调研)已知数列an是等比数列，Sn为其前n项和，若a1a2a34，a4a5a68，则S12等于( )A40 B60C32 D50答案 B解析 由等比数列的性质可知，数列S3，S6S3，S9S6，S12S9是等比数列，即数列4,
10、8，S9S6，S12S9是等比数列，因此S1248163260，故选 B.思维升华 等比数列常见性质的应用等比数列性质的应用可以分为三类：(1)通项公式的变形(2)等比中项的变形(3)前n项和公式的变形根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口8分类讨论思想在等比数列中的应用典例 (12 分)已知首项为 的等比数列an的前n项和为Sn(nN N)，且2S2，S3,4S4成等3 2差数列(1)求数列an的通项公式；(2)证明：Sn(nN N)1 Sn13 6思想方法指导 (1)利用等差数列的性质求出等比数列的公比，写出通项公式；(2)求出前n项和，根据函数的单调性证明规范
11、解答(1)解 设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3，4S4成等差数列，所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得 2a4a3，于是q .2 分a4 a31 2又a1 ，所以等比数列an的通项公式为3 2an n1(1)n1(nN N)3 分3 2(1 2)3 2n(2)证明 由(1)知，Sn1n，(1 2)Sn1n1 Sn(1 2)11(12)nError!6 分当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，1 Sn所以SnS1 .8 分1 Sn1 S13 22 313 6当n为偶数时，Sn随n的增大而减小，1 Sn所以SnS2 .10 分1 Sn1 S23 44 325 12故对于nN
12、N，有Sn.12 分1 Sn13 691(2017福建漳州八校联考)等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等S10 S5于( )A3 B5C31 D33答案 D解析 设等比数列an的公比为q，则由已知得q1.S32，S618，得q38，q2.1q3 1q62 181q533，故选 D.S10 S51q10 1q52(2017武汉市武昌区调研)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为Sn.若S23a22，S43a42，则a1等于( )A2 B1C. D.1 22 3答案 B解析 由S23a22，S43a42，得a3a43a43a2，即qq23q23，解得q1(舍去)或q ，将q
13、 代入S23a22 中得a1a13a12，解得a11，3 23 23 23 2故选 B.3(2017张掖市一诊)已知等比数列an中，a32，a4a616，则的值为( )a10a12 a6a8A2 B4C8 D16答案 B解析 a54，a4a616q20，a54，q22，a5 a3则q44.a10a12 a6a84(2017山西太原三模)已知数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn3)(nN N)在函数y32x的图像上，等比数列bn满足bnbn1an(nN N)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是( )ASn2Tn BTn2bn110CTnan DTn1 的n的最小值为( )A4 B5C6 D7答案 C解析 an是各项均为正数的等比数列，且a2a4a3，aa3，a31.又2 3q1，a11(n3)，TnTn1(n4，nN N)，T11，故n的最小值为 6，故选 C.5 31416(2017武汉市武昌区调研)设Sn为数列an的前n项和，Sn(1)nan(nN N)，1 2n则数列Sn的前 9 项和为_答案 341 1 024解析 因为Sn(1)nan，1 2n所以Sn1(1)n1an1(n2)1 2n1两式相减得SnSn11 2n1 2n1(1)nan(1)n1an1，即an(1)nan(1)nan1(n2)，1 2n
