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1、16.16.1 数列的概念与简单表示法数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.以考查Sn与an的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度属于低档.1数列的定义按照一定顺序排列的一列数叫作数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项2数列的分类分类原则类型满足条件有穷数列项数有限 按项数分类 无穷数列项数无限递增数列an1 an递减数列an1 an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得 2n10，即(2n1)(*)因为n1，所以(2n1)3，要使不等
2、式(*)恒成立，只需3.5数列an中，ann211n(nN N)，则此数列最大项的值是 答案 30解析 ann211n2，(n11 2)121 4nN N，当n5 或n6 时，an取最大值 30.6已知数列an的前n项和Snn21，则an .答案 Error!解析 当n1 时，a1S12，当n2 时，anSnSn1n21(n1)212n1，故anError!题型一题型一 由数列的前几项求数列的通项公式由数列的前几项求数列的通项公式1数列 0，的一个通项公式为( )2 34 56 7Aan(nN N)n1 n2Ban(nN N)n1 2n1Can(nN N)2n12n14Dan(nN N)2n
3、2n1答案 C解析 注意到分子 0,2,4,6 都是偶数，对照选项排除即可2数列，的一个通项公式an .1 1 21 2 31 3 41 4 5答案 (1)n1nn1解析 这个数列前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an(1)n.1nn1思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分
4、子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； 对于符号交替出现的情况，可用 (1)k或(1)k1，kN N处理(3)如果是选择题，可采用代入验证的方法题型二题型二 由由a an n与与S Sn n的关系求通项公式的关系求通项公式典例 (1)已知数列an的前n项和Sn3n22n1(nN N)，则其通项公式为 答案 anError!解析 当n1 时，a1S13122112；当n2 时，anSnSn13n22n13(n1)22(n1)16n5，显然当n1 时，不满足上式故数列的通项公式为anError!(2)(2017南昌模拟)若数列an的前n项和Snan (nN N)，则an的通项公式an .2
5、 31 3答案 (2)n1解析 由Snan ，得当n2 时，Sn1an1 ，两式相减，整理得an2an1，又2 31 32 31 3当n1 时，S1a1a1 ，a11，an是首项为 1，公比为2 的等比数列，故2 31 3an(2)n1.思维升华 已知Sn，求an的步骤5(1)当n1 时，a1S1.(2)当n2 时，anSnSn1.(3)对n1 时的情况进行检验，若适合n2 的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式跟踪训练 (1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn2an1，则数列的通项公式an .答案 2n1解析 由题意得Sn12an11，Sn2an1，两式相减
6、得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以数列an是以a11 为首项、2 为公比的等比数列，所以an2n1.(2)已知数列an的前n项和Sn3n1，则数列的通项公式an .答案 Error!解析 当n1 时，a1S1314，当n2 时，anSnSn13n13n1123n1.显然当n1 时，不满足上式anError!题型三题型三 由数列的递推关系求通项公式由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列an的通项公式(1)a12，an1anln；(11 n)(2)a11，an12nan；(3)a11，an13an2.解 (1)an1anln，(11 n
7、)anan1lnln (n2)，(11 n1)n n1an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1lnlnln ln 22n n1n1 n23 22ln(n n1n1 n23 22)2ln n(n2)又a12 适合上式，故an2ln n(nN N)(2)an12nan，2n1 (n2)，an an16ana1an an1an1 an2a2 a12n12n2212123(n1)(1) 22n n .又a11 适合上式，故an(1) 22n n (nN N)(3)an13an2，an113(an1)，又a11，a112，故数列an1是首项为 2，公比为 3 的等比数列，an123n1，故an
8、23n11(nN N)引申探究 在本例(2)中，若anan1(n2，且nN N)，其他条件不变，则an .n1 n答案 1 n解析 anan1 (n2)，n1 nan1an2，a2a1.n2 n11 2以上(n1)个式子相乘得ana1 .1 22 3n1 na1 n1 n当n1 时也满足此等式，an .1 n思维升华 已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现anan1m时，构造等差数列(2)当出现anxan1y时，构造等比数列(3)当出现anan1f(n)时，用累加法求解(4)当出现f(n)时，用累乘法求解an an1跟踪训练 (1)已知数列an满足a11，a24，an22an3an
9、1(nN N)，则数列an的通项公式an .答案 32n12解析 由an22an3an10，得an2an12(an1an)，数列an1an是以a2a13 为首项，2 为公比的等比数列，an1an32n1，当n2 时，anan132n2，a3a232，a2a13，将以上各式累加，得ana132n23233(2n11)，7an32n12(当n1 时，也满足)(2)在数列an中，a13，an1an，则通项公式an .1nn1答案 41 n解析 原递推公式可化为an1an ，1 n1 n1则a2a1 ，a3a2 ，1 11 21 21 3a4a3 ，an1an2，anan1 ，逐项相加得1 31 41
10、 n21 n11 n11 nana11 ，1 n故an4 .1 n题型四题型四 数列的性质数列的性质命题点 1 数列的单调性典例 已知an，那么数列an是( )n1 n1A递减数列 B递增数列C常数列 D不确定答案 B解析 an1，将an看作关于n的函数，nN N，易知an是递增数列2 n1命题点 2 数列的周期性8典例 数列an满足an1，a82，则a1 .1 1an答案 1 2解析 an1，1 1anan11 1an111 1an11an1 1an1111an1 an11 an111(1an2)an2，n3，1 1 1an2周期T(n1)(n2)3.a8a322a22.而a2，a1 .1
11、1a11 2命题点 3 数列的最值典例 数列an的通项an，则数列an中的最大项是( )n n290A3 B1910C. D.1 191060答案 C解析 令f(x)x(x0)，运用基本不等式得f(x)2，当且仅当x3时等号成90 x9010立因为an，所以，由于nN N，不难发现当n9 或n10 时，an最1n90n1n90n12 901 19大思维升华 (1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据an1an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列用作商比较法，根据(an0 或an0)与 1 的大小关系进行判断an1 an结合相应函数的图像直观判断(2)解决数列周期性
12、问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值9(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解跟踪训练 (1)数列an满足an1Error! a1 ，则数列的第 2 018 项为 3 5答案 1 5解析 由已知可得，a22 1 ，3 51 5a32 ，1 52 5a42 ，2 54 5a52 1 ，4 53 5an为周期数列且T4，a2 018a50442a2 .1 5(2)(2017安徽名校联考)已知数列an的首项为 2，且数列an满足an1，数列an1 an1an的前n项的和为Sn，则S2 016等于( )A504 B588 C588 D504答案
13、C解析 a12，an1，a2 ，a3 ，a43，a52，数列an的周an1 an11 31 2期为 4，且a1a2a3a4 ，2 0164504，S2 016504588，故选 C.7 6(7 6)解决数列问题的函数思想典例 (1)数列an的通项公式是an(n1)n，则此数列的最大项是第 项(10 11)(2)若ann2kn4 且对于nN N，都有an1an成立，则实数k的取值范围是 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；(2)数列的最值可以根据单调性进行分析解析 (1)an1an(n2)n1(n1)n(10 11)(10 11)n，(10 11)9n 11当n0，即an1an；10当n9 时，an1an0，即an1an；当n9 时，an1anan知该数列是一个递增数列，又通项公式ann2kn4，(n1)2k(n1)4n2kn4，即k12n，又nN N，k3.答案 (1)9 或 10
