《2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案理北师大版》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案理北师大版（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、15.45.4 平面向量应用举例平面向量应用举例最新考纲考情考向分析1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.1向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ab ba ab bx1y2x2y10，其中a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，b b0 0垂直问题数量积的运算性质a ab ba
2、ab b0x1x2y1y20，其中a a(x1，y1)，b b(x2，y2)，且a a，b b为非零向量夹角问题数量积的定义cos (为向量a a，b b的夹角)，a ab b |a a|b b|其中a a，b b为非零向量长度问题数量积的定义|a a|，其中a a(x，y)，a aa a2x2y2为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题设向量运算还原2向量在解析几何中的应用向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述它主要强调向量2的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体3平
3、面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决(2)物理学中的功是一个标量，是力F F与位移s s的数量积，即WFsFs|F|sF|s|cos (为F F与s s的夹角)4向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题知识拓展1若G是ABC的重心，则0 0.GAGBGC2若直线l的方程为AxByC0，则向量(A，B)与直线l垂直，向量(B，A)与直线l平行题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若
4、，则A，B，C三点共线( )ABAC(2)在ABC中，若0)，则其准线方程为x .p 2曲线E的方程可化为(x3)2(y2)216，则有 3 4，解得p2，所以抛物线M的方程为y24x，F(1,0)设A，则p 2(y2 0 4，y0)OA，所以y4，解得y02.所以点A(y2 0 4，y0)AF(1y2 0 4，y0)OAAFy2 0 4(1y2 0 4)2 0的坐标为(1,2)或(1，2).题型一题型一 向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用典例 (1)在平行四边形ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点若1，则ACBEAB_.答案 1 2解析 在平行四边形ABCD中，取AB的中
5、点F，则，BEFDBEFDAD1 2AB又，ACADAB5()ACBEADAB(AD12AB)22AD1 2ADABADAB1 2AB|2 |cos 60 |2AD1 2ADAB1 2AB1 | |21.1 21 2AB1 2AB|0，又|0，| .(1 2|AB|)ABABAB1 2(2)已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足()，(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的( )OPOAABACA内心 B外心 C重心 D垂心答案 C解析 由原等式，得()，即()，根据平行四边形法则，知OPOAABACAPABAC是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的
6、2 倍，所以点P的轨迹必过ABCABACAD的重心引申探究本例(2)中，若动点P满足，(0，)，则点P的轨迹一定通OPOA(AB|AB|AC|AC|)过ABC的_答案 内心解析 由条件，得，即，而和分别表OPOA(AB|AB|AC|AC|)AP(AB|AB|AC|AC|)AB|AB|AC|AC|示平行于，的单位向量，故平分BAC，即平分BAC，所以点P的轨迹必ABACAB|AB|AC|AC|AP过ABC的内心思维升华 向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决(2)基向量法6适当
7、选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解跟踪训练 (1)在ABC中，已知向量与满足0，且 ，ABAC(AB|AB|AC|AC|)BCAB|AB|AC|AC|1 2则ABC为( )A等边三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D三边均不相等的三角形答案 A解析 ，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知为AB|AB|AC|AC|ABACAB|AB|AC|AC|BAC的平分线因为0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以ABAC.(AB|AB|AC|AC|)BC又cosBAC ，所以 cosBAC ，又 00.所以 cos B，又B(0，)，所以B.22 4
8、(2)因为|，所以|.BABC6CA6即b，根据余弦定理及基本不等式，得66a2c2ac2acac(2)ac(当且仅当ac时取等号)，即ac3(2)，2222故ABC的面积Sacsin B，1 23 212即ABC的面积的最大值为.3 23213已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足， (0，)，则( )OPOA(AB|AB|cos BAC|AC|cos C)A动点P的轨迹一定通过ABC的重心B动点P的轨迹一定通过ABC的内心C动点P的轨迹一定通过ABC的外心D动点P的轨迹一定通过ABC的垂心答案 D解析 由条件，得，AP(AB|AB|cos BAC|AC|c
9、os C)17从而APBC(ABBC|AB|cos BACBC|AC|cos C)0，|AB|BC|cos180B|AB|cos B|AC|BC|cos C|AC|cos C所以，则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心APBC14已知圆C：(x2)2y24，圆M：(x25cos )2(y5sin )21(R R)，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE，PF，切点分别为E，F，则的最小值是PEPF_答案 6解析 圆(x2)2y24 的圆心C(2,0)，半径为 2，圆M(x25cos )2(y5sin )21，圆心M(25cos ，5sin )，半径为 1，CM521，故两圆相离如图所示，设直线CM
10、和圆M交于H，G两点，则的最小值是，HCCM1514，HFHEPEPFHEHFHC2CE22，1643sinCHE ，CE CH1 2cosEHFcos 2CHE12sin2CHE ，1 2|cosEHFHEHFHEHF22 6.331 2的最小值是 6.PEPF15(2018台州一模)已知共面向量a a，b b，c c满足|a a|3，b bc c2a a，且|b b|b bc c|.若对18每一个确定的向量b b，记|b bta a|(tR R)的最小值为dmin，则当b b变化时，dmin的最大值为( )A. B24 3C4 D6答案 B解析 固定向量a a(3,0)，则b b，c c向
11、量分别在以(3,0)为圆心，r为半径的圆上的直径两端运动，其中，a a，b b，c c，如图，易得点B的坐标OAOBOCB(rcos 3，rsin )，因为|b b|b bc c|，所以OBBC，即(rcos 3)2r2sin24r2，整理为r22rcos 30，可得 cos ，r23 2r而|b bta a|(tR R)的最小值为dmin，即dminrsin 2，r410r29 44r2524所以dmin的最大值是 2，故选 B.16(2017全国)在矩形ABCD中，AB1，AD2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若，则的最大值为( )APABADA3 B2 C. D225答案 A解析 建立如图所示的直角坐标系，则C点坐标为(2,1)设BD与圆C切于点E，连接CE，则CEBD.CD1，BC2，BD，12225EC，BCCD BD252 5519即圆C的半径为，2 55P点的轨迹方程为(x2)2(y1)2 .4 5设P(x0，y0)，则Error!(为参数)，而(x0，y0)，(0,1)，(2,0)APABAD(0,1)(2,0)(2，)，APABADx01cos ，y01sin .1 2552 55两式相加，得1sin 1cos 2sin()32 5555，(其中sin 55，cos 2 55)当且仅当2k，kZ Z 时，取得最大值 3. 2故选 A.
