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1、13.13.1 导数的概念及运算导数的概念及运算最新考纲考情考向分析1.了解导数概念的实际背景2.通过函数图象直观理解导数的几何意义3.能根据导数定义求函数yc(c为常数)，yx，yx2，yx3，y ，y的导1 xx数4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.1导数与导函数的概念(1)当x1趋于x0，即 x趋于 0 时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这
2、个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0) .limx1x0fx1fx0x1x0limx0fx0xfx0x(2)如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x)，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也limx0fxxfxx简称为导数2导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率k，即kf(x0)3基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数2f(x)c(c为常数)f(x)0f
3、(x)x(为实数)f(x)x1f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)exf(x)exf(x)ax(a0，a1)f(x)axln af(x)ln xf(x)1 xf(x)logax(a0，a1)f(x)1 xln a4.导数的运算法则若f(x)，g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)fxgxfxgxfxgxg2x5复合函数的导数一般地，对于两个函数yf(u)和u(x)axb，给定x的一个值，就得到了u的值，进而确定了y的值，这样y可以表示成x的函数，我们称这个
4、函数为函数yf(u)和u(x)的复合函数，记作yf(x)其中u为中间变量复合函数yf(x)的导数为yxf(x)f(u)(x)知识拓展1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数2af(x)bg(x)af(x)bg(x)3函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡” 题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率( )(2)f(x0)与f(x0)表示的意义相同( )(3)与
5、曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线( )(4)函数f(x)sin(x)的导数是f(x)cos x( )3题组二 教材改编2若f(x)xex，则f(1) .答案 2e解析 f(x)exxex，f(1)2e.3曲线y1在点(1，1)处的切线方程为 2 x2答案 2xy10解析 y，当x1 时，y2.2x22故所求切线方程为 2xy10.题组三 易错自纠4如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图像，那么yf(x)，yg(x)的图像可能是( )答案 D解析 由yf(x)的图像知，yf(x)在(0，)上是减少的，说明函数yf(x)的切线的斜率在(0，)上也是减少的，故可排除 A，C.又由图
6、像知yf(x)与yg(x)的图像在xx0处相交，说明yf(x)与yg(x)的图像在xx0处的切线的斜率相同，故可排除 B.故选 D.5有一机器人的运动方程为st2 (t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2 时的3 t瞬时速度为( )A. B. C. D.19 417 415 413 4答案 D6设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)fsin xcos x，则f .( 2)( 4)4答案 2解析 因为f(x)fsin xcos x，( 2)所以f(x)fcos xsin x，( 2)所以ffcossin，( 2)( 2) 2 2即f1，所以f(x)sin xcos x，( 2)f(x)c
7、os xsin x.故fcossin.( 4) 4 427已知函数f(x)ax3x1 的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a .答案 1解析 f(x)3ax21，f(1)3a1，又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)，又点(2,7)在切线上，可得a1.题型一题型一 导数的计算导数的计算1f(x)x(2 018ln x)，若f(x0)2 019，则x0等于( )Ae2 B1 Cln 2 De答案 B解析 f(x)2 018ln xx 2 019ln x，故由f(x0)2 019，得 2 019ln 1 xx02 019，则 ln x00，解得x01.2若函数f(x)
8、ax4bx2c满足f(1)2，则f(1)等于( )A1 B2C2 D0答案 B解析 f(x)4ax32bx，f(x)为奇函数且f(1)2，f(1)2.3已知f(x)x22xf(1)，则f(0) .5答案 4解析 f(x)2x2f(1)，f(1)22f(1)，即f(1)2.f(x)2x4，f(0)4.思维升华 导数计算的技巧(1)求导之前，应对函数进行化简，然后求导，减少运算量(2)复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元题型二题型二 导数的几何意义导数的几何意义命题点 1 求切线方程典例 (1)曲线f(x)在x0 处的切线方程为 ex x1答案 2xy10解析 根据题意可
9、知切点坐标为(0，1)，f(x)，x1exexx1x12x2exx12故切线的斜率kf(0)2，02e0012则直线的方程为y(1)2(x0)，即 2xy10.(2)已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为 答案 xy10解析 点(0，1)不在曲线f(x)xln x上，6设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，直线l的方程为y1(1ln x0)x.由Error!解得x01，y00.直线l的方程为yx1，即xy10.引申探究 本例(2)中，若曲线yxln x上点P的切线平行于直线 2xy10，则点P的坐标是 答案 (e，e)解析 y1ln
10、 x，令y2，即 1ln x2，xe，点P的坐标为(e，e)命题点 2 求参数的值典例 (1)直线ykx1 与曲线yx3axb相切于点A(1,3)，则 2ab .答案 1解析 由题意知，yx3axb的导数y3x2a，则Error!由此解得k2，a1，b3，2ab1.(2)已知f(x)ln x，g(x)x2mx (m0 时，f(x)的单调性变化依次为增、减、增，故当x0；当x0 时，f(x)的符号变化依次为，.故选 C.113(2017西安质检)曲线f(x)x3x3 在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点 的坐标为( ) A(1,3) B(1,3)C(1,3)或(1,3) D(1，3)答案 C
11、解析 f(x)3x21，令f(x)2，则 3x212，解得x1 或x1，P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1 上，故选 C.4设曲线yeaxln(x1)在x0 处的切线方程为 2xy10，则a等于( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 yeaxln(x1)，yaeax，当x0 时，ya1.曲线1 x1yeaxln(x1)在x0 处的切线方程为 2xy10，a12，即a3.故选 D.5(2018广州调研)已知曲线yln x的切线过原点，则此切线的斜率为( )Ae Be C. D1 e1 e答案 C解析 yln x的定义域为(0，)，且y ，1 x设切点为
12、(x0，ln x0)，则当xx0时y，1 x0切线方程为yln x0(xx0)，1 x0因为切线过点(0,0)，所以ln x01，解得x0e，故此切线的斜率为 .1 e6一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为st33t28t，那么速度为零1 3的时刻是( )A1 秒末 B1 秒末和 2 秒末C4 秒末 D2 秒末和 4 秒末答案 D解析 s(t)t26t8，由导数的定义知vs(t)，令s(t)0，得t2 或 4，即 2 秒末和 4 秒末的速度为零7(2017西安模拟)设曲线yaxln(x1)在点(0,0)处的切线方程为y2x，则a .答案 312解析 ya，由题意得当x0 时，y2，
13、即a12，所以a3.1 x18(2018 届云南红河州检测)已知曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线与曲线yx2a相切，则a .答案 1e解析 因为f(x)ln x1，所以曲线f(x)xln x在xe 处的切线斜率为k2，则曲线f(x)xln x在点(e，f(e)处的切线方程为y2xe.由于切线与曲线yx2a相切，故yx2a可联立y2xe，得x22xae0，所以由44(ae)0，解得a1e.9已知曲线y，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 1 ex1答案 x4y20解析 y，因为 ex0，所以 ex22(当且仅当 exexex121ex1 ex21 exex1 ex，即x0 时取等号)，则 ex24，故y (当x0 时取等号)1 ex1 ex1ex1 ex21 4当x0 时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为，切线的方程为(0，1 2)y (x0)，即x4y20.1 21 410(2018成都质检)已知f(x)，g(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图像如图所示(1)若f(1)1，则f(1) ；
