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1、113.513.5 复复 数数最新考纲考情考向分析1.理解复数的基本概念2.理解复数相等的充要条件3.了解复数的代数表示及其几何意义4.能进行复数代数形式的四则运算5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.本节主要考查复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等)，复数相等的充要条件，考查复数的代数形式的四则运算，重点考查复数的除法运算，与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义，突出考查运算能力与数形结合思想一般以选择题、填空题形式出现，难度为低档.1复数的有关概念(1)定义：形如abi(a，bR R)的数叫作复数，其中a叫作复数z的实部，b叫作复数z的虚部(i 为虚数单位)(2
2、)分类：满足条件(a，b为实数)abi 为实数b0abi 为虚数b0复数的分类abi 为纯虚数a0 且b0(3)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR R)(4)共轭复数：abi 与cdi 共轭ac，bd(a，b，c，dR R)(5)模：向量的模叫作复数zabi 的模，记作|abi|或|z|，即|z|abi|OZ(a，bR R)a2b22复数的几何意义复数zabi 与复平面内的点Z(a，b)及平面向量(a，b)(a，bR R)是一一对应关系OZ3复数的运算2(1)运算法则：设z1abi，z2cdi，a，b，c，dR R.(2)几何意义：复数加减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行
3、如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加减法的几何意义，即，.OZOZ1OZ2Z1Z2OZ2OZ1题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)方程x2x10 没有解( )(2)复数zabi(a，bR R)中，虚部为bi.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小( )(4)原点是实轴与虚轴的交点( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模( )题组二 教材改编2设复数z满足i，则|z|等于( )1z 1zA1 B.2C. D23答案 A解析 1zi(1z)，z(1i)i1，zi，i1 1i1i22
4、|z|i|1.3在复平面内，向量对应的复数是 2i，向量对应的复数是13i，则向量对应ABCBCA3的复数是( )A12i B12iC34i D34i答案 D解析 13i(2i)34i.CACBBA4若复数z(x21)(x1)i 为纯虚数，则实数x的值为( )A1 B0 C1 D1 或 1答案 A解析 z为纯虚数，Error!x1.题组三 易错自纠5设a，bR R，i 是虚数单位，则“ab0”是“复数a 为纯虚数”的( )b iA充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分又不必要条件答案 C解析 复数a abi 为纯虚数，a0 且b0，即a0 且b0，“ab0”是b i“复数a 为纯虚
5、数”的必要不充分条件故选 C.b i6设 i 是虚数单位，若zcos isin ，且其对应的点位于复平面内的第二象限，则位于( )A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案 B解析 zcos isin 对应的点的坐标为(cos ，sin )，且点(cos ，sin )位于第二象限，Error!为第二象限角，故选 B.7i2 011i2 012i2 013i2 014i2 015i2 016i2 017_.答案 1解析 原式i3i4i1i2i3i4i1.4题型一题型一 复数的概念复数的概念1(2017全国)设有下列四个命题：p1：若复数z满足 R R，则zR R；1 zp2：若复数z满足z
6、2R R，则zR R；p3：若复数z1，z2满足z1z2R R，则z12；zp4：若复数zR R，则R R.z其中的真命题为( )Ap1，p3 Bp1，p4 Cp2，p3 Dp2，p4答案 B解析 设zabi(a，bR R)，z1a1b1i(a1，b1R R)，z2a2b2i(a2，b2R R)对于p1，若 R R，即R R，则b0，1 z1 abiabi a2b2故zabiaR R，所以p1为真命题；对于p2，若z2R R，即(abi)2a22abib2R R，则ab0.当a0，b0 时，zabibiR R，所以p2为假命题；对于p3，若z1z2R R，即(a1b1i)(a2b2i)(a1a
7、2b1b2)(a1b2a2b1)iR R，则a1b2a2b10.而z12，即a1b1ia2b2ia1a2，b1b2.因为za1b2a2b10a1a2，b1b2，所以p3为假命题；对于p4，若zR R，即abiR R，则b0，故 abiaR R，所以p4为真命题故选 B.z2(2018长春模拟)若复数z满足 i(z3)13i(其中 i 是虚数单位)，则z的实部为( )A6 B1C1 D6答案 A解析 iz3i13i，iz16i，z6i，故z的实部为 6.3(2017河南六市联考)如果复数(其中 i 为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为2bi 12i相反数，则b_.答案 2 35解析 由，2bi
8、 12i2bi12i522bb4i5得 22bb4，得b .2 34已知复数z满足z24，若z的虚部大于 0，则z_.答案 2i解析 设zabi(a，bR R，b0)，则z2a2b22abi4，因此a0，b24，b2，又b0，b2，z2i.思维升华 解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可(2)解题时一定要先看复数是否为abi(a，bR R)的形式，以确定实部和虚部题型二题型二 复数的运算复数的运算命题点 1 复数的乘法运算典例 (1)(2018长春质检)设复数
9、z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z12i，则z1z2等于( )A5 B5 C4i D4i答案 A解析 z12i 在复平面内的对应点的坐标为(2,1)，又z1与z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，则z2的对应点的坐标为(2,1)，即z22i，z1z2(2i)(2i)i245.(2)复数 i(2i)等于( )A12i B12iC12i D12i答案 A解析 i(2i)2ii212i.(3)(2017江苏)已知复数z(1i)(12i)，其中 i 是虚数单位，则z的模是_答案 10解析 方法一 z(1i)(12i)12ii2613i，|z|.123210方法二 |z|1i|12i|.2510
10、命题点 2 复数的除法运算典例 (1)(2017全国)等于( )3i 1iA12i B12i C2i D2i答案 D解析 2i.3i 1i3i1i1i1i33ii1 2(2)(2016全国)若z12i，则等于( )4i zz1A1 B1 Ci Di答案 C解析 z12i，z5，i.z4i zz1(3)6_.(1i 1i)2 3i3 2i答案 1i解析 原式61i22 2 3i 3 2i 32 22i61i.62i3i 65命题点 3 复数的综合运算典例 (1)(2017全国)设复数z满足(1i)z2i，则|z|等于( )A. B. C. D21 2222答案 C解析 方法一 由(1i)z2i，
11、得z1i，2i 1i|z|.2故选 C.方法二 2i(1i)2，由(1i)z2i(1i)2，得z1i，|z|.2故选 C.7(2)(2016山东)若复数z满足 2z 32i，其中 i 为虚数单位，则z等于( )zA12i B12iC12i D12i答案 B解析 设zabi(a，bR R)，则 abi，2(abi)(abi)32i，整理得z3abi32i，Error!解得Error!z12i，故选 B.(3)(2016全国)若z43i，则等于( )z |z|A1 B1C. i D. i4 53 54 53 5答案 D解析 z43i，|z|5， i.z |z|4 53 5思维升华 复数代数形式运算
12、问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位 i 的看作一类同类项，不含 i 的看作另一类同类项，分别合并即可(2)复数的除法除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把 i 的幂写成最简形式. (3)复数的运算与复数概念的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR R)的形式，再结合相关定义解答(4)复数的运算与复数几何意义的综合题先利用复数的运算法则化简，一般化为abi(a，bR R)的形式，再结合复数的几何意义解答(5)复数的综合运算分别运用复数的乘法、除法法则进行运算，要注意运算顺序，要先算乘除，后算加减，有括号要
13、先算括号里面的跟踪训练 (1)等于( )1i31i2A1i B1iC1i D1i答案 D解析 方法一 1i31i21i1i22i1i1i22i2i822i 2i1i i1i.故选 D.方法二 2(1i)i2(1i)(1i)1i31i2(1i 1i)(2)已知1i(i 为虚数单位)，则复数z等于( )1i2zA1i B1iC1i D1i答案 D解析 由1i，知z1i，故选 D.1i2z1i21i2i 1i(3)2 017_.2 3i12 3i(21i)答案 i22(221)解析 2 0172 3i12 3i(21i)1 008i12 3i12 3i(21i)(21i)2ii1 008(1i)i.2222(221)题型三题型三 复数的几何意义复数的几何意义典例 (1)(2017北京)若复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )A(，1) B(，1)C(1，) D(1，)答案 B解析 (1i)(ai)aiaii2a1(1a)i，又复数(1i)(ai)在复平面内对应的点在第二象限，Error!解得a0.“复数z在复平面内对应的点在第三象限”是“a0”的充分3ai i不必
