《2018版数学《学案导学与随堂笔记》北师大版选修2-2课件：第一章推理与证明推理与证明1.2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2018版数学《学案导学与随堂笔记》北师大版选修2-2课件：第一章推理与证明推理与证明1.2（32页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 类比推理第一章 1 归纳与类比学习目标1.了解类比推理的含义，能进行简单的类比推理.2.正确认识合情推理在数学中的重要作用.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学思考1 知识点一 类比推理由正三角形的性质，可以推测出正四面体的哪些性质？答案答案 正四面体的四个面全等.思考2 科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征：(1)火星也是绕太阳公转、绕轴自转的行星；(2)有大气层，在一年中也有季节更替；(3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等.由此，科学家猜想：火星上也可能有生命存在.他们使用了什么样的推理？答案答案 类比推理.类比推理的定义及特征梳理定义由于两
2、类不同对象具有某些 的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有 的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理特征类比推理是 之间的推理；利用类比推理得出的结论 是正确的类似类似两类事物特征不一定思考1 知识点二 合情推理归纳推理与类比推理有何区别与联系？答案答案 区别：归纳推理是由特殊到一般的推理；而类比推理是由个别到个别的推理或是由特殊到特殊的推理.联系：在前提为真时，归纳推理与类比推理的结论都可真可假.思考2 归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？答案答案 归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，结论不一定正确.类比推理是从人们已经掌握了
3、的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定正确.合情推理的定义及分类定义：根据实验和实践的结果、个人的 和 、已有的 和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.分类：常见的合情推理有 推理与 推理. 梳理经验直觉事实归纳类比题型探究例1 设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_， 成等比数列.类型一 数列中的类比推理答案解析解析 由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每4项的
4、和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每4项的积成等比数列.下面证明该结论的正确性：设等比数列bn的公比为q，首项为b1， 已知等差数列与等比数列有类似的性质，在类比过程中也有一些规律，如下表所示的部分结论(其中d，q分别是公差和公比)：反思与感悟等差数列等比数列定义anan1d(n2)anan1q(n2)通项公式ana1(n1)dana1qn1性质若mnpq，则amanapaq若mnpq，则amanapaq跟踪训练1 若数列an(nN)是等差数列，则有数列bn (nN)也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列cn是等比数列，且cn0，则有数列dn_(nN)也是等比数列.答案解析类比猜想：若数
5、列cn是各项均为正数的等比数列，例2 如图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示三条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.解答类型二 几何中的类比推理解 如题图，在RtABC中，C90.设a，b，c分别表示3条边的长度，由勾股定理，得c2a2b2.类似地，如图所示，在四面体PDEF中，PDFPDEEDF90.设S1，S2，S3和S分别表示PDF，PDE，EDF和PEF的面积，相对于直角三角形的两条直角边a，b和1条斜边c，图中的四面体有3个“直角面”S1，S2，S3和1个“斜面”S.于是类比勾股定理的结构，我们猜想(1)类比
6、推理的一般步骤反思与感悟(2)中学阶段常见的类比知识点：等差数列与等比数列，空间与平面，圆与球等等，比如平面几何的相关结论类比到立体几何的相关类比点如下： 平面图形空间图形点直线直线平面边长面积面积体积三角形四面体线线角面面角跟踪训练2 如图，已知点O是ABC内任一点，连接AO，BO，CO并延长分别交对边于点A，B，C，解答现运用类比的思想，对于空间中的四面体VBCD，存在什么类似的结论，并用“体积法”证明.其中点V，B，C，D分别为V，B，C，D与点O(四面体内一点)相连并延长后与对面的交点. 证明如下：解 (1)两实数相加后，结果是一个实数，两向量相加后，结果仍是向量.(2)从运算律的角度
7、考虑，它们都满足交换律和结合律.即abba，abba，(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc).(3)从逆运算的角度考虑，二者都有逆运算，即减法运算.即ax0与ax0都有唯一解，即xa与xa.(4)在实数加法中，任意实数与0相加都不改变大小，即a0a.在向量加法中，任意向量与零向量相加，既不改变该向量的大小，也不改变该向量的方向，即a0a.例3 类比实数的加法和向量的加法，列出它们相似的运算性质.解答类型三 定义、定理或性质中的类比运用类比推理常常先要寻找合适的类比对象，例如实数加法的对象为实数，向量加法的对象为向量，且都满足交换律与结合律，都存在逆运算，而且实数0与零向量分别在实数加法和向
8、量加法中占有特殊的地位.因此我们可以从这四个方面进行类比.反思与感悟跟踪训练3 已知等差数列an的公差为d，am，an是an的任意两项(nm)，则 类比上述性质，已知等比数列bn的公比为q，bm，bn是bn的任意两项(nm)，则q_.答案解析解析 bnbmqnm，q .当堂训练234511.下列平面图形中，与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是A.三角形 B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案解析解析 因为平行六面体相对的两个面互相平行，类比平面图形，则相对的两条边互相平行，故选C.234512.下面使用类比推理，得出的结论正确的是A.若“a3b3，则ab”类比出“若a0b0，则ab”B.“若
9、(ab)cacbc”类比出“(ab)cacbc”C.“若(ab)cacbc”类比出D.“(ab)nanbn”类比出“(ab)nanbn”答案解析解析 显然A，B，D不正确，只有C正确.234513.等差数列an具有性质anan22an1，则由类比推理得等比数列an具有性质A.anan22an1B.anan2C.anan22an1D.anan2答案解析解析 等差数列的加法类比等比数列的乘法.234514.在平面上，若两个正三角形的边长的比为12，则它们的面积的比为14，类似地，在空间上，若两个正四面体的棱长的比为12，则它们的体积的比为_.答案解析解析 设两个正四面体的体积分别为V1，V2，18
10、234515.二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2；三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V 四维空间中“超球”的三维测度V8r3，则猜想其四维测度W_.答案解析解析 二维空间中圆的一维测度(周长)l2r，二维测度(面积)Sr2，观察发现Sl.三维空间中球的二维测度(表面积)S4r2，三维测度(体积)V 观察发现VS，四维空间中“超球”的三维测度V8r3，猜想其四维测度W，则WV8r3，W2r4.2r4 规律与方法1.进行类比推理时，要尽量从本质上思考，不要被表面现象所迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误.2.多用下列技巧会提高所得结论的准确性(1)类比对象的共同属性或相似属性尽可能的多些.(2)这些共同属性或相似属性应是类比对象的主要属性.(3)这些共同(相似)属性应包括类比对象的各个方面，并尽可能是多方面.本课结束
