应用案例最优捕鱼策略

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1、邵建峰 运筹与优化运筹与优化 邵建峰 第二章第二章 直线直线搜索搜索 信息与计算科学系信息与计算科学系 邵建峰邵建峰 邵建峰 本章内容：本章内容： 1 1直线搜索直线搜索 2 2应用案例：最优捕鱼策略应用案例：最优捕鱼策略 邵建峰 2.2 2.2 应用案例：最优捕鱼策略应用案例：最优捕鱼策略 信息与计算科学系信息与计算科学系 邵建峰邵建峰 邵建峰 本节内容：本节内容： 一一. 问题提出问题提出 二二. 模型模型假设与符号假设与符号设定设定 三三. 模型建立模型建立 四四. 模型修改模型修改 五五. 问题求解问题求解（I） 五五. 问题求解问题求解（II） 邵建峰 一一. .问题提出问题提出 为

2、了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资 源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。一种 合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提 下，追求最大产量或最佳效益。下，追求最大产量或最佳效益。 考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略： 假设这种鱼分个年龄组：称龄鱼，假设这种鱼分个年龄组：称龄鱼， 龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为龄鱼。各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.995.07,11.55,17.86,22

3、.99（克）；各年龄组鱼的（克）；各年龄组鱼的 邵建峰 自然死亡率均为自然死亡率均为0.80.8（/ /年）；这种鱼为季节性年）；这种鱼为季节性 集中产卵繁殖，平均每条龄鱼的产卵量为集中产卵繁殖，平均每条龄鱼的产卵量为1.109 1.109 10105 5( (个）；龄鱼的产卵量为这个数的一半，个）；龄鱼的产卵量为这个数的一半， 龄鱼和龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最龄鱼和龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最 后个月；卵孵化并成活为龄鱼，成活率（后个月；卵孵化并成活为龄鱼，成活率（ 龄鱼条数与产卵总数龄鱼条数与产卵总数n n之比）为之比）为1.221.2210101111/(1.22 /(1.

4、22 10101111+n).+n). 渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期 前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕前的个月内进行捕捞作业。如果每年投入的捕 捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这 邵建峰 时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。 比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用比例系数不妨称捕捞强度系数。通常使用13 mm 13 mm 网眼的拉网，这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼，网眼的拉网，这种网只能捕捞龄鱼和龄鱼， 其两个捕捞强度系数之比为其两个捕捞强度

5、系数之比为 0.42:10.42:1。渔业上称这。渔业上称这 种方式为种方式为固定努力量捕捞固定努力量捕捞。 ）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每 年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且 在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。 ）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务年，）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务年， 合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。 邵建峰 二二. .模型假设与符号设定模型假设与符号设定 已知承包时各年龄组鱼

6、群的数量分别为：已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为： 122,29.7,10.1,3.29(122,29.7,10.1,3.29(10109 9条），如果仍用固定条），如果仍用固定 努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能 使总收获量最高使总收获量最高? ? 1 1、龄鱼存活一年后仍为龄鱼、龄鱼存活一年后仍为龄鱼; ; 2 2、假定产卵在、假定产卵在9 9月前集中进行月前集中进行, ,第二年初完成第二年初完成 孵化孵化; ; 3 3、死亡与捕捞是一个连续过程、死亡与捕捞是一个连续过程; ; 邵建峰 m -龄鱼的平均产卵量为龄鱼的平均产卵量为1.109

7、 1.109 10105 5( (个个） 三三. .模型建立模型建立 我们以一年为一个离散化单位时间我们以一年为一个离散化单位时间. . 设年初鱼设年初鱼 群数量为群数量为 符号设定：符号设定： -各鱼群数量向量各鱼群数量向量; ; TxxxxX),(4321-单位时间的自然死亡率单位时间的自然死亡率; ; -存活率存活率, ; , ; 2 . 08 . 01cc-卵孵化成活率卵孵化成活率, 1.22, 1.2210101111/(1.22 /(1.22 10101111+n). +n). 邵建峰 TtxtxtxtxtX)(),(),(),()(4321下一年的鱼群数量为下一年的鱼群数量为 T

8、txtxtxtxtX)1(),1(),1(),1() 1(4321)()()()(2) 1(44331txkcmtxkcmtx还包括还包括 中年底的存活数中年底的存活数, , 当然是指当然是指 )(4tx)(0tx) 1(4tx是是 年底存活下来的鱼群数年底存活下来的鱼群数 , ,而而 ) 1( txi3 , 2 , 1i)(1txi上一年由孵化而得到的上一年由孵化而得到的 1 1 龄鱼龄鱼. . 据此可建立如下据此可建立如下 的差分方程的差分方程: : )() 1(12tcxtx邵建峰 )() 1(23tcxtx)()()()() 1(44334txkctxkctx因为龄鱼和龄鱼捕捞强度系数

9、之比为因为龄鱼和龄鱼捕捞强度系数之比为 0.42:1,0.42:1,所以所以 , , 并且写成矩阵形并且写成矩阵形式式 kkk42. 042. 043)() 1(tPXtX 其中其中 kckccckcmkcmP)42. 0(00000000)()42. 0(200邵建峰 四四. .模型修改模型修改 仔细考察矩阵形式仔细考察矩阵形式, , 当龄鱼的捕捞强度系数当龄鱼的捕捞强度系数 476. 042. 02 . 042. 0ck时时, , 不论上一年雨群数量任何不论上一年雨群数量任何, , 下一年的鱼群数下一年的鱼群数 量将出现负数量将出现负数, , 这个结论是不能成立的这个结论是不能成立的. .

10、 事实上事实上, , 只要龄鱼和龄鱼不被同时捕光只要龄鱼和龄鱼不被同时捕光, , 下一年龄下一年龄 鱼有存活鱼有存活, , 则鱼群数量就不会是负数则鱼群数量就不会是负数. . 造成这种现象的原因是造成这种现象的原因是: : 单位时间离散化程度单位时间离散化程度 不够精细不够精细. . 假设单位时间为一个月假设单位时间为一个月, , 定义定义月死亡月死亡 邵建峰 九个月实际存活率九个月实际存活率: : )1 ()1 (8k二个月实际存活率二个月实际存活率: : 2)1 (k则年存活率则年存活率 , , 从而从而 , , 并且对各鱼群数目并且对各鱼群数目, , 不难得到以下分析结果不难得到以下分析

11、结果: : c2 . 0)1 (121255. 0 一个月实际存活率一个月实际存活率: : )1 (k八个月实际存活率八个月实际存活率: : 8)1 (k一年后实际存活率一年后实际存活率: : 48)1 ()1 (k率率为为 , , 月存活率月存活率 , , 月捕捞强度系数月捕捞强度系数为为 , , 1k邵建峰 因此我们有因此我们有: : 一年后龄鱼实际存活数一年后龄鱼实际存活数: : 348 3)1 ()1 (xk该年龄鱼产卵数该年龄鱼产卵数: : 38 33)1 (2xkmn一年后龄鱼实际存活数一年后龄鱼实际存活数: : 448 3)1 ()1 (xk该年龄鱼总捕捞数该年龄鱼总捕捞数: :

12、 该年龄鱼产卵数该年龄鱼产卵数: : 48 44)1 (xkmn3 38 3381331 3)1 (1 )1 (xkkkxkkii 同理可得第同理可得第i i个月捕捞率个月捕捞率: : 8 , 2 , 1,)1 (1ikki邵建峰 4 48 4481441 4)1 (1 )1 (xkkkxkkii 并且鱼群数量的递推关系为并且鱼群数量的递推关系为 写成矩阵形式则是写成矩阵形式则是: : 该年龄鱼总捕捞数该年龄鱼总捕捞数: : )()1 ()()42. 01 (2) 1(48 38 1txkmtxkmtx)() 1(12tcxtx)() 1(23tcxtx)()1 ()()42. 01() 1(

13、48 383 4txktxkctx邵建峰 其中其中矩阵应该为矩阵应该为 8484121288)1 ()1 ()42. 01 ()1 (0000)1 (0000)1 ()1 ()42. 01 (200kkkmkmP)() 1(tPXtX需要说明的是，因为卵孵化成活率需要说明的是，因为卵孵化成活率 1.221.22101011 11 /(1.22 /(1.22 10101111+n).+n).的特殊表达形式，所以上面的的特殊表达形式，所以上面的 矩阵表达式更多的是形式意义。矩阵表达式更多的是形式意义。 邵建峰 五五. .问题求解（问题求解（I I） 1 1）为实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场）

14、为实现可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变）中各年龄组鱼群不变）, , 并且在此前提下得到最并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）高的年收获量（捕捞总重量）, , 则必须存在则必须存在稳定稳定的的平衡点平衡点: : )()(tPXtX由由差分方程稳定性理论差分方程稳定性理论, , 存在稳定解的存在稳定解的必要条必要条件件是是: P: P的所有特征值的所有特征值 满足满足 i1|i邵建峰 又在此前提下得到的又在此前提下得到的年年捕捞总重量捕捞总重量: : 86.1742. 0)42. 01 (1 42. 0)(38 xkkkXf99.22)1 (1 48 xkkk 于是于是优化问题优化问题