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1、数据结构与算法 -第二十讲,北方民族大学计算机科学与工程学院王伦津 研究员,图的遍历,20、图的遍历深度优先遍历和广度优先遍历,掌握图的深度优先和广度优先遍历的性质和方法，以及基于邻接矩阵和邻接表存储结构的递归和非递归的算法实现,目 录,20.1 概述20.2 深度优先遍历20.3 深度优先遍历的性质 20.4 广度优先遍历20.5 广度优先遍历的性质,20、 图的遍历,从这节起，我们介绍图的一些重要操作的实现，包括遍历、拓扑排序、关键路径等。另有一些重要操作，如最短路径问题、最小生成树问题，由于主要难点在于算法，所以我们安排在后面的算法设计章节中介绍。 图的遍历与树的遍历一样具有十分重要的作
2、用，图的许多其他操作（算法）都与遍历相关。,20.1 概述,图的遍历的含意是，从图中某结点出发，按某既定方式访问图中各个可访问到的结点，使每个可访问到的结点恰被访问一次。 图的遍历方式有两种：深度优先与广度优先方式，分别对应于树的先根遍历与层序遍历。 树中不存在回路，但图中可能有回路。因此，当沿回路进行扫描时，一个结点可能被扫描到多次，可能导致死循环。为了避免这种情形，在遍历中，应为每个结点设立一个访问标志，每扫描到一个结点，要检查它的访问标志，若标志为“未访问”，则按正常方式对其进行处理（如访问或转到它的邻接点等），否则放过它，扫描下一个结点。,访问标志的设置有两种方法： 在描述图结的记录中
3、增设一个访问标志位。这种方法的优点是，访问“访问标志”的方法与访问结点的方法一致。如果访问标志需要与图结构同生命期，则这种方法比较合适。但是，若访问标志要重复使用，就必须先重新初始化访问标志。如果图结点的存储不利于顺序访问，这往往也是个遍历问题！ 另设一个“访问数组”，令它的每个元素对应于一个图结点访问标志。这种方法的访问标志很容易多次初始化。,从图中某一结点出发，一趟只能遍历到它所在的极大连通分量中的结点，要想遍历到图中各结点，需进行多趟遍历（每趟遍历一个极大连通分量）。该过程可描述为： for (图中每个结点v) if (v尚未被访问过) 从v出发遍历该图;,下面只考虑从一点出发遍历，因此
4、有可能会出现遍历不到的点。即那些初始点无路径可达的点，是遍历不到的。,20.2 深度优先遍历,(一) 遍历规则 从图中某结点v0出发，深度优先遍历（DFS: Depth First Search）图的规则为： 访问v0； 对v0的各个出点v01，v02，v0m，每次从它们中按一定方式（也可任选）选取一个未被访问过的结点，从该结点出发按深度优先遍历方式遍历。 显然，因为我们没有规定对出点的遍历次序，所以，图的深度优先遍历结果一般不唯一。,例如，对图 201给出的有向图与无向图，一些遍历结果（结点访问次序）为： 左图：从1出发：1，2，4，5；或1，5，2，4 从2出发：2，1，5，4；或2，4，
5、1，5 右图：从a出发：a，b，c，d；或a，b，d，c; ,图20 1一个有向图（左）和无向图,1. 一般算法 下面考虑深度优先遍历的递归实现的一般方法（存储结构无关）。 图的深度优先遍历与二叉树的前序遍历相似。不同之处有：二叉树每个结点至多有两个可达邻接点（左右儿子），而图的可达邻接点数目不定； 对二叉树，沿可达邻接点搜索时不会发生回绕，但对图，若不加特别控制，就有可能回绕。 下面是图的深度优先遍历递归算法的一般性描述。如果要另设一个数组作为访问标志，则该数组要在递归过程（函数）之外初始化为“未访问”。,（二）递归实现方法,long DFS(图g，结点v0) /图深度优先遍历递归算法。从结
6、点v0出发，深度优先遍历图g，返回访问到的结点总数 int nNodes; /寄存访问到的结点数目 访问v0; 为v0置已访问标志; nNodes=1; 求出v0的第1个可达邻接点v; while (v存在) if (v未被访问过) nNodes=nNodes+DFS(g,v); 求出v0的下个可达邻接点v; return nNodes; ,1 2 3 4 5 1 0 1 0 0 1 2 1 0 0 1 0 3 0 0 0 0 1 4 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0,所示图的邻接矩阵g,1 1 2 1 3 0 4 1 5 1,图 201有向图,访问标识数组visited,输出数组r
7、esu,例如从1点深度优先遍历，先把1设置访问标志，并置入输出数组resu，然后从邻接矩阵的第一行，扫描各列，找到最近的邻接点2，将其设置访问标志，并进入输出数组，接着从邻接矩阵的2行扫描，找到第一个构成边的点是1，检查访问标识数组，发现1已经访问过，跳过，找第二个构成边 的点4，设置访问标识，进入输出数组，再从邻接矩阵的第4行扫描，寻找构成边的点，除1外在无其他点，返回2行，继续寻找，也无新点，返回1，找到5，将5置访问标志，进入输出数组，1行再无其他新点，遍历结束，返回遍历元素个数为4 。,2邻接矩阵实现 这里我们为了突出主题、简化问题，假定图是用一般的邻接矩阵存储，邻接矩阵用简单的二维数
8、组表示（静态），用0和1分别表示无边和有边。图结点用自然数编号。 long DFS1(int gCNST_NumNodes, long n, long v0, char *visited,long *resu，long &top ) /深度优先遍历图（递归）。图g为邻接矩阵，结点编号为 0n. 返回实际遍历到的结点数目 /visited是访问标志数组，调用本函数前，应为其分配空间并初始化为全0(未访问) /resu为一维数组，用于存放所遍历到的结点的编号，调用本函数前，应为其分配空间,long nNodes, i; nNodes=1; resutop+=v0; /将访问到的结点依次存于resu
9、 visitedv0=1; /为v0置已访问标志 for (i=0; in; i+) /依次从v0的各个出点出发，深度优先遍历图 if (gv0i!=0) /若是边 if (!visitedi) /若结点i未被访问过 nNodes = nNodes+DFS1(g, n, i, visited,resu); /从i起深度优先遍历图 return nNodes; ,A 如果不想让visited或top做为函数参数，也可以在函数中将其定义为static型量。但是，这样的程序是不可再入的，即函数再次被调用时，static型的量也不重新初始化，造成错误！,上面函数中的参数visited和top实质上是中
10、间变量，只是为了避免在递归调用时重新初始化而放在参数表中，造成使用的不方便，为此，做个包装程序： long DFS1(int gCNST_NumNodes, long n, long v0, long *resu ) char *visited; long top=0; visited = new charn; for (long i=0; in; i+) visitedi=0; long num=DFS1( g, n, v0, visited, resu, top ); delete visited; return num;,对应的邻接表,图 202有向图,1 1 2 1 3 0 4 1 5
11、 1,访问标识数组visited,输出数组resu,邻接表边,P,Nodes,终点2作为下次的始点，由于1点已访问过，跳过，找到4，记标识，送输出，4有作为新的始点重复上述过程,3邻接表深度优先遍历的实现 template long DFS2(TGraphNodeAL *nodes,long n,long v0, char *visited, long *resu,long &top) /深度优先遍历用邻接表表示的图。nodes是邻接表的头数组，n为结点个数（编号为0n）。 /v0为遍历的起点。返回实际遍历到的结点的数目。 /visited是访问标志数组，调用本函数前，应为其分配空间并初始化为
12、全0(未访问) /resu为一维数组，用于存放所遍历到的结点的编号，调用本函数前，应为其分配空间 long nNodes, i; TGraphEdgeAL *p; nNodes=1;,resutop+=v0; /将访问到的结点依次存于resu visitedv0=1; /置v0为“已访问”标志 p = nodesv0.firstOutEdge; /求出v0的第一个出点p while (p!=NULL) if (!visitedp-endNo ) /若p未访问，则从p出发深度优先遍历 nNodes = nNodes+DFS2(nodes, n, p-endNo, visited, resu,top); p = p-next; /令p指向v0的下个出点 return nNodes; 与邻接矩阵的情况类似，也可以对该程序“包装”，以隐蔽visited和top。,(三) 非递归实现方法1一般方法 下面考虑深度优先遍历的非递归实现的一般方法（存储结构无关）。 图的深度优先遍历的非递归实现，仍然与二叉树的前序遍历非递归实现相似。不同之处有：二叉树每个结点至多有两个可达邻接点（左右儿子），而图的可达邻接点数目不定，因此，当结点重新出现在栈顶时，不能一定出栈，而是要根据它的各出点是否都已被访问过来决定（是则出栈）；对二叉树，沿可达邻接点搜索时不会发生回绕，但对图，若不加特别控制，就有可能回绕。,
