地补湿~有心力和比耐公式~20160925

1 / 13 有心力有心力和比耐公式和比耐公式版版号号 201609220160925 5 ——地补湿1 有心力问题在物理学和自然哲学中是非常重要的一类问题， 因为在整个自然界中有心力的力学形式占据了所有力学形式的半壁江山. 到目前为止， 比较成熟的观点认为，有四种基本力统治着整个自然界，即：万有引力、电磁力、强相互作用力和弱相互作用力. 在引力波被证实之前，万有引力的全部力学形式是有心力，电磁力有三分之一用有心力进行描述， 强相互作用有大约五分之三是以有心力方式进行描述，而在宏观世界中弱相互作用几乎不起作用，在微观世界中弱相互作用又最终被统一到了电磁力中. 由此可见， 说有心力力学形式占据自然世界力学形式的半壁江山已经说少了！既然有心力如此重要，那么研究研究吧！ 本文对于有心力的描述主要参考了周衍柏先生的《理论力学教程》2. 主要核心思想与周先生论述相差不大，但表述方式和材料组织方式上差异较大，另外，在个别概念的表述上，本文的表述方式也许更准确(个人观点)， 有兴趣和有需要的读者可自行对比阅读. 一，有心力、一，有心力、有心力场有心力场 1 1、、 有心力有心力： 有心力有心力：如果运动物质点在特定参考系中受场力3的作用，并且该场力的作用线在物质点运动过程中始终指向一固定点， 则该场力叫做该参考系中的有心力. 存在有心力的空间叫做有心力场，习惯上有有心力场简称心力场简称为为有心力有心力.有心力指向的固1 地补湿是作者笔名，作者本名：赵延新，电邮：zhaoyanxin@；工作单位：黑龙江大学 物理科学与技术学院； 联系地址： 黑龙江省， 哈尔滨市， 黑龙江大学， 187 信箱. 以笔名写作的原因是因为， 好玩、 自由、方便和避免重名. 世间赵延新常有，而地补湿不常有. 自今往后，哀家便是地补湿！下文中“湿”为 作者自称. 2 周衍柏， 《理论力学教程》(第三版)，高等教育出版社. 3 场力的定义，参见：地补湿：场力和力场 20160919，网址： 2 / 13 定点，叫做力心力心. 2 2、有心力的一般、有心力的一般数学数学表示表示： 有心力的具体形式可以多种多样， 自然界中普遍讨论的有心力都是物质点到力心距离的函数.自然界中普遍存在的有心力具有相似的函数形式，为了使有心力的讨论具有普遍性，我们给出自然界中有心力的一般函数表达形式. 在处理有心力问题时，经常将坐标原点选择在力心处. 以力心为参考点建立起来的参考系叫做力心参考系. 在力心参考系中在力心参考系中，有心力的一般表达式为： rerFrrrFrF )()()(，(0rF)(为斥力，0rF)(为引力). ○1 其中，r是物质点的位置矢量，r是力心到物质点间的距离，re是由力心指向物质点的单位向量. 3 3、有心力的主要特点、有心力的主要特点： 1)1)、有心力是保守力：、有心力是保守力： 证明有心力是保守力. 已知：rrrFrF )()(，证明：)(rF是保守力. 应用保守力的判据，可证明0rF)(. 证明：)()()()(kzj yi xrrFrrrFrF ， 令rrFrf)()(，则)()()(kzj yi xrfrF， 3 / 13 ( )[( ) ()]( )( )( )[( ) ][( ) ]{}[( ) ][( ) ][( ) ][( ) ]{}{}F rf rxiyjzkijkxyzf r xf r yf r zf r zf r yiyzf r xf r zf r yf r xjkzxxy   ○2 其中r是物质点到力心的距离，则有 2222zyxr ○3 对此式微分得到 ddddddddxyzr rx xy yz zrxyzrrr ○4 r可视为x、y、z的函数( , , )rr x y z，则有 ddddrrrrxyzxyz○5 由○4 和○5 式的对应关系可以得到 rxxr、ryyr、rzzr○6 r是x、y、z的函数，则)(rf是x、y、z的复合函数，有 4 / 13 [( ) ][( )][( )][( )]( )f r yf ryf rf rryf ryyxxxxrx即： rrfrxyxyrf)]([])([○7 运用式○7 的计算方法，并将○6 式代入到○2 式中得到 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )f r zf r yf r xf r zF rijyzzxf r yf r xkxyf rf rf rf ryzyzxzxzijrrrrrrrr ( )( )0f rf ryxyxkrrrr由此说明，有心力是保守力. 2)2)、只受有心力作用下，、只受有心力作用下，物质点物质点相对于力心的相对于力心的角动量守恒：角动量守恒： 下面证明受有心力作用下的物质点，相对于力心的角动量守恒. 已知：物质点受合外力rrrFrF )()(，证明：物质点角动量守恒. 证明：物质点所受合外力矩为0rrrrFrrrFrFrM)()(， 由角动量定理tJMdd 得0tJdd ， J常量，即角动量守恒. 5 / 13 3)3)、只受有心力作用下，、只受有心力作用下，在力心参考系中，在力心参考系中，物质点物质点在一在一穿过质心的穿过质心的平面内平面内运动：运动： 证明：由有心力作用下角动量守恒得到CJ ，C 为一常矢量. 由物质点的角动量定义式得到 ()()xyzJrPrmrxiyjzkm xiyjzkijkm xyzxyzCc ic jc k○8 其中，x、y、z是受有心力物质点的坐标，m是其质量. mcxyyxmczxxzmcyzzyzyx○9 利用○9 式的结果，结合物质点的坐标，构建以下表达式 yxzcccxyzmmm○10 将○9 式代入○10 式得到 ()()()0x yzzyy zxxzz xyyx ○11 6 / 13 即对于在有心力作用下的物质点，其其运动时的坐标始终满足 =0yxzcccxyzmmm○12 在C为常数的情况下， 对于质量不变的确定物质点， 物质点的坐标在一个经过原点的确定的平面内. 原点为力心，则在有心力作用下的物质点在质心参考系中一定在一个确定的平面内运动. 这条结论有利于我们对受有心力作用的物质点运动描述的简化.既然物质点是在平面内运动， 可将物质点运动时所在的平面叫做运动平面运动平面. 如果我们将坐标系的其中两个坐标轴放在运动平面内， 则三维的物质点运动便可在平面内完成. 这将简化受有心力作用的物质点运动的描述. 4)4)、只受有心力作用的、只受有心力作用的物质点物质点，，在力心参考系中在力心参考系中机械能守恒：机械能守恒： 力心参考系中，有心力是保守力，机械能守恒. 4 4、有心力作用下、有心力作用下物质点物质点的动力学方程的动力学方程： 有心力的重要特点是，在力心参考系中，受有心力作用的物质点在平面内运动. 这样可以将物质点在三维空间中的运动，简化为平面运动. 因此物质点的动力学方程用平面极坐标系或平面自然坐标系表达最简单. 又由于有心力只是力心到物质点间距离的函数，而讨论物质点一般运动时，物质点的轨迹特性未必清晰，自然坐标系中的相关特征量在求解的过程中不一定有明确的含义， 在研究物质点一般运动特性时，平面极坐标系成为表述物质点运动的最佳选择. 有心力一般表达式：rrrFrF )()(， 应用牛顿第二定律在极坐标系中的表示得到： 径向方程： )()(rFrrm2  ○13 7 / 13 横向方程： 0rrm)( 2 ○14 其中○14 式可化为 2211 d2(2)()0drrrrrrrrt ○15 2rh○16 此处h为某一待定常数，由系统初条件决定，称其为物质点的转动常数转动常数. 有心力的一般动力学表达式可简写为： hrmrFrr22 )(○17 其中h为由初条件决定的常数. 5 5、转动常数、转动常数h h的物理意义的物理意义 我们知道，有心力作用下，物质点的角动量守恒，JC. 在极坐标系下，rrre，rvrer e，则有 2000rzzzeeeJrmvm rmremherr  ○18 由此式可以看出，h为常数是有心力角动量守恒的内在原因. h中不含质量，表征物质点围绕力心转动快慢的物理量，对于受有心力的确定物质点，h是运动系统的内禀常数，其值可由系统初始状态的角动量求得. 8 / 13 二，轨道微分方程二，轨道微分方程- -比耐公式比耐公式 我们曾经讲过，力学的主要工作可以归结为两项. 其中之一就是求解物质点的运动规律. 运动规律的最一般形式就是物质点的运动学方程，有了运动学方程，我们可以得到与物质点运动有关的一切信息. 除了运动学方程外，物质点的运动特征也可以通过另一种方程，即轨迹方程来表达. 轨迹方程可以通过将运动学方程约去时间的方式得到. 然而，在很多实际问题中，物质点的运动学方程并不容易得到，或者我们并不关心运动学方程所体现出的规律. 这时，轨迹方程可能成为我们研究物质点运动规律的主要研究对象. 如果我们仍然选择先求解运动学方程，再求解轨迹方程的方式，则一方面这样的过程会过于麻烦，另一方面问题可能根本无法求解. 这样的情况， 在有心力问题中普遍存在. 为了能够直接从物质点的受力状态得到物质点运动轨迹的规律，或者根据物质点运动轨迹获取其受力状态，由比耐最先提出的比耐公式，完美的解决了这样的问题. 由于比耐公式主要处理的是轨道力学问题，因此又被称为轨道微分方程轨道微分方程. 获得轨道微分方程的主要推导思路就是将○17 式的动力学方程(对时间求导的运动微分方程)转化为极坐标系中对坐标求导的微分方程，即将○17 式中对时间的导数转化为坐标自变量的导数. 将有心力作用下的动力学方程○17 式变换为轨道微分方程. 解：由○17 式的第 2 式得到22hrhr，令1u r， ○18 (注：在笔者讲授这个公式的时候，课堂上偶尔会有学生提出，最终得到比耐公式很漂亮， 但是为什么最开始会想到用这种变换方式？从思维导向上说，直观来看，这种将r转化为u 的变换方式并不是一种必然的有目的性的逻辑选择. 公式的提出者，在公式的推导过程中也 未必是以比耐公式为终极目标. 然而，在尝试各种推导方式的过程中，偶然发现了这种推导 方式，最终可以得到一个高度对称的、简洁的、强大的公式. 于是这种推导方式才会被重视 并被有意识的保留下来. 因此这种推导方式最开始的选择，在很多时候仅仅是科学家遍尝所 有选择后的一种偶然选择，大多数时候我们将之归结为灵感(这是一种比较好听的说法，灵 感的提法更多的将科学成就的取得归结为成就创造者本人的能力，而不是一种非人为的偶 然). 本质上来说，这种随机性的偶然选择，可以解释为大脑思维过程中的一种量子跳跃，这9 / 13 种跳跃的随机性为我们创造了无限不可思议可能的选择. 大多数时候，这种可以被称为优秀 的选择是可遇而不可求的. 作为一个想要得到这种优秀选择的人，唯一能做的是尽可能深入 的沉浸于自己所研究的内容， 虽然量变到质变不一定是必然发生的事。