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1、数值分析讲义 GDY Page 1 of 8 补充资料：线性代数三大正交变换 一 Householder 变换 1、2D 与 3D 中的对称变换： XOY 平面点关于 X 轴的对称变换是,xx yy= ，用矩阵表示即 1001xxyy=，称1001H=为镜像阵，且1002012011THIww = ， 其中01Tw =为 X 轴的法线方向法线方向法线方向法线方向（Y 轴方向） 。 OXYZ 空间中，点关于 XOY 平面的对称变换是,xx yy zz= ，写成矩阵形式是 100010 001xxyy zz =，()10010000100102 00012 0010011THIww = 其中()0
2、01Tw =为 XOY 平面的法线方向法线方向法线方向法线方向。 因此，一般在 3D 空间中，关于平面 S（单位法向量w）的对称变换矩阵是2THIww=。 2、Householder 矩阵及其性质 （1）定义： 设非零单位向量nuR，称矩阵THI2uu=为 Householder 矩阵，又称镜面反射矩阵。 （2）性质： ? H为对称、正交矩阵，即1=HHHT，亦即IH =2。 ? 对于任意非零向量x，有22|xHx=。即H阵变换下向量的长度不变。 3、应用： （1）对于任意非零向量a，可选择H，使1eHa=,其中Te)0,.,0 , 1 (1=，21|)(aasign=。即将向量a变换成除第一
3、个分量外的其它分量皆为零。 一般取11|aeuae +=+来构造H。 推导： Householder 变换几何意义 1eHa=变换的几何意义 数值分析讲义 GDY Page 2 of 8 设1Hae= ，因正交变换不改变 2 范数，由| |Haaa= ； 1111111(2)(2() )(2)TTHaeaHeIuueeu e ueu u= = = = = ，112aeuu +=。 因u为单位向量， 故2 111(2)() ()Tuaeae=+， 故21 12au +=； 另外， 取向量u的第一个分量得，1 1 12auu +=，因此112|uae=+；所以11|aeuae +=+。 符号选择：
4、由21 12au +=，取21|)(aasign=，确保102a + 例题 1：Ta)2 , 1 , 2(=，3|)(21=aasign，Tu)2 , 1 , 5(301=， = = 112102145105101512152151511000100012TuuIH 可以验证THa)0 , 0 , 3(=。 （2）通过一系列 Householder 变换：121,.,nHHH，可将实矩阵A变换为上三角矩阵QR 分解 将矩阵 A 的第一列记为u，其余n行、1n列记为A，则 A 的分块表示为()AuA=，设 Householder变换矩阵为H，满足1Hue= ，则()()1 10nvHAHuHAe
5、HAA= =，其中1nvR，(1) (1) 1nn nAR ，然后对矩阵1nA继续实施同样的方法，直到将 A 变换成上三角矩阵为止。 例题 2： = 212431122A欲将该矩阵变换至上三角矩阵。 取第一列()Ta2121=，按上述公式计算得 = 7333. 01333. 06667. 01333. 09333. 03333. 06667. 03333. 06667. 01H 计算：11-3.0000 -3.0000 -3.3333 0.0000 2.0000 3.1333 0.0000 -1.0000 0.2667AH A =取12.0000 3.1333 -1.0000 0.2667A=
6、， =221 HHT00，求2H使1A上三角化： 取Ta) 12(2=，计算 =8944. 04472. 04472. 08944. 02H， = 8944. 04472. 004472. 08944. 000012H， 221-3.0000 -3.0000 -3.3333 0.0000 -2.2361 -2.6833 0.0000 0.0000 1.6398AH A =。 一般对于n nAR，经n-1 次变换，UAHHHHnn=1221（上三角矩阵） ，即 1221nnAH HHHUQR=， （其中1221nnQH HHH=为正交矩阵，RU=为上三角矩阵） ，此即数值分析讲义 GDY Pag
7、e 3 of 8 n nAR的 A=QR 分解。 注意注意注意注意：以上处理是对矩阵 A 实施列变换，若对矩阵 A 的行实施 Householder 变换，即通过一系列 Householder变换将 A 矩阵变换成下三角矩阵，即1221nnAH HHHL=，或ALQ=（LQ 分解） （3）将实对称矩阵A作正交相似变换为三对角矩阵，或将实矩阵变换成上Hessenberg矩阵（该性质在求矩阵特征值时非常有用） 即求若干个 Household 矩阵，使THAH = ；对于 A 为对称矩阵时，上Hessenberg矩阵变成三对角矩阵。记矩阵 A 的分块表达11 avAuA=，设11H ue= ，1 1
8、1 HH=，则 11111111111111111111111TTTTTTT T TTT nav Hav Havav HHAHuAeAHHH uH A HeH A H=， 然后再对矩阵1nA实施同样处理，直到变换成上Hessenberg矩阵为止。 例题 3：变换1235241612132113A = 为上Hessenberg矩阵。 （1）求1 110 0HH=，取21 2a = ，=3，0.91920.1826 0.3651u =，1-0.6667 -0.3333 -0.6667 2-0.3333 0.9333 -0.1333 -0.6667 -0.1333 0.7333 THIuu =111
9、1.0000 -5.6667 1.4667 1.9333 -3.0000 7.6667 1.3333 -2.3333 0.0000 -0.0667 -1.4933 0.2133 0.0000 2.8667 1.2133 -0.1733TAH AH = （2）求2211 HH = ，在 A1矩阵中取0.06672.8667a=，=-2.867442，-0.71530.6988u=2-0.0232 0.9997 0.9997 0.0232H=，22121.0000 -5.6667 1.8987 1.5112 -3.0000 7.6667 -2.3637 1.2787 0.0000 2.8674 -
10、0.2072 1.2432 0.0000 0.0000 0.2432 -1.4595TAH AH = 注意：不可能找到若干个正交矩阵，经有限次正交相似变换使 A 成为对角矩阵！ （4）对矩阵 A 的行、列同时实施 Householder 变换，可交矩阵 A 变换为上双对角线矩阵，即孓在一系列Householder 变换矩阵1221122,mmnUUU U V VV，使 数值分析讲义 GDY Page 4 of 8 1221122mmnUUU U AVVV = 例题 4：双对角化，1 1 1 12 2 3 41 -1 2 2 -1 2 1 -11 1 2 2A = （1）取()1 2 1 -1
11、1Tu =，H 变换矩阵1-0.3536 -0.7071 -0.3536 0.3536 -0.3536 -0.7071 0.6306 -0.1847 0.1847 -0.1847-0.3536 -0.1847 0.9077 0.0923 -0.09230.3536 0.1847 0.0923 0.9077 0.0923 -0.353U =6 -0.1847 -0.0923 0.0923 0.9077 （2）21-2.8284 -1.0607 -3.5355 -4.9497 0 0.9235 0.6306 0.8918 0 -1.5383 0.8153 0.4459 0 2.5383 2.1847 0.5541 0 AU A=0.4617 0.8153 0.4459 （3）取()-1.0607 -3.5355 -4.9497Tv =，求得11 0 0 00 -0.1718 -0.5726 -0.80160 -0.5726 0.7202 -0.3917 0 -0.8016 -0.3917 0.4516V = （4）321-2.8284 6.1745 0 0 0
