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1、L Lauau 效应综合应用效应综合应用 测量测量透镜焦距透镜焦距、光波波长和透明介质折射率、光波波长和透明介质折射率 陈洋遥 (武汉大学 物理科学与技术学院 物理学基地班，湖北 武汉 430072) 摘摘 要要：本文介绍了两个全同光栅的 Lau 效应成像原理. 利用两个全同光栅的 Lau 效应，给出了实验测定透镜焦距、光波波长以及透明介质折射率的实验装置、测量方法. 实验展示了对透镜焦距、光波波长、玻璃砖折射率的测定，给出了测量结果的不确定度，并分析了如何进一步提高实验精度，比较了各种相关的测量方法. 关键词关键词：Lau 效应；光栅；条纹间距；透镜焦距；光波波长；折射率 1 1 引言引言
2、在光学实验中，经典上有诸多方法测量透镜焦距、光波波长和物质折射率. 例如物距相距法、贝塞尔法、自准直法等均可用于测量透镜焦距；而双棱镜法、迈克尔逊干涉法、光栅衍射法等均可用于测定光波波长1；另外，阿贝折射仪则常用于测定物质折射率. 近年来，现代光学技术中的一些双光栅效应，例如 Lau 效应、Talbot 效应3等已经广泛应用于光学测量. 扩展光源照明下的两个全同光栅的 Lau 效应最初于 1948 年由 Lau 观察到2，之后相继有许多对于 Lau 效应的不同解释4-5，并进一步将条件扩展为任意光栅. 本文将简述 Lau 效应成像原理，给出实验测定透镜焦距、光波波长和透明平板介质的折射率的实验
3、装置、测量方法，并实验展示了对于这些光学参数的测定， 讨论了实验精度. 2 2 实验原理实验原理 如图 1 所示，单色扩展光源S照明两个严格平行的全同光栅A、B，经透镜L成像于后焦平面P. 由交叉谱密度函数可推导得6当光栅间距若满足 20dz ， (1) 则透镜焦平面上的光强分布为 002 /2 2 02 /2 2 01,odd;1,even;inxinfdz n nFinxinfdz n nieAefzIx ieAefz (2) 式中 12 /2/ 11/21inx dd ndAt x edxd ， (3) 其中d为光栅常数，f透镜焦距，为波长，而以及则必须是两个互质的整数. 由光强分布式(
4、2)还可推知焦平面上的条纹周为 0dffDzd ， (4) 另外，亮条纹的宽度为6 x2x1fz0zxPLBAS图图 1 1 双光栅双光栅 L Lauau 效应效应成像原理图成像原理图 022ffawzd ， (5) 其中a是光栅在一个周期内透光部分长度.亮条纹宽相对度则为 2/aw Dd， (6) 从(6)可以看出，为使条纹相对条纹周期最细锐，则必须使尽可能的小，又从(4)可以看出，为使条纹周期D最大以减小读数过程中的误差，应使尽可能的小. 综上可以认为1是最佳实验条件，至于如何调整设备状态以达到此条件，我们将在下面说明. 从式(4)可以看出，若已知入射光波长，则可在1时测出透镜焦距f；反之
5、，若已标定透镜焦距，则可测出入射光波长，这即是本实验测量透镜折射率和光波波长的原理. 倘若在两光栅之间放置一折射率为1n，厚度为1h的透明平板介质，则还可以利用 Lau 效应来测量此透明介质的折射率7.当介质平板平行于光栅平面时，仍可以观察到干涉条纹，但是若将平板介质绕y稍稍转动角度1i，则可观察到透镜焦面上干涉条纹的移动， 若用几何光学考虑，则可得到出射光线相对入射光线位移为 2 1 1122 111sinsin1siniWhini， (7) 另外，根据 Lau 效应成像的解释6，这相当于把光栅移动了 Wmd， (8) 而光栅的作用相当于一个透镜，所以像的动 0/mDmdfZ， (9) 比较
6、(7)(8)两式，可得到 2 1 1122 111sinsin1sinimdhini， (10) 而若将另一块折射率为2n，厚度为2h的透明平板介质置于两光栅之间，同样转动平板介质，观察到条纹移动mD，则可以有 2 2 2222 221sinsin1sinimdhini， (11) 比较(10)(11)两式即可得到 AB图图 2 2 L Lauau 效应测量效应测量透镜透镜折射率和光波波长实验装置折射率和光波波长实验装置 此图展示本实验装置：其中S为扩展光源，当测量透镜焦距时，采用波长为 589.3nm 的钠黄光，当测量光波波长时，采用扩展白光光源并在其前加一绿色滤波片T；光栅A和B为全同的单
7、频朗奇光栅(型号 GT-RG-TN2301，尺寸 63.663.5mm，光栅参数 50m/500m)；L是望远镜自带透镜，其焦距f待测，P是连接在望远镜上的测微目镜. 实验装置被安放在光学平台上，诸原件之间的距离可由刻度尺读出. z0fPLBATSyzx22 22 2221 221122 11cossin1 cossinsin1 sinhini ihihi ni ，(12) 若已知第一块介质平板的1n，则根据(12)即可测量第二块介质平板折射率2n. 3 3 L Lauau 效应测量透镜效应测量透镜焦距焦距和和光波波长光波波长 3.13.1 实验装置实验装置 基于上面的讨论，我们给出实验装置图
8、 2. 实验时，仔细调节诸原件使他们共轴，并将光栅A和B调至平行状态. 调整两光栅之间距离直至在透镜焦面观察到等强度、等宽度的清晰条纹，细微转动光栅A和B，直至两者高度平行，此时条纹最为细锐，则认为实验装置已调试完毕. 3.23.2 测量透镜测量透镜焦距焦距 将光源S换为钠黄光，其波长已知 589.3nm，调节光栅A和B之间的距离使条纹至等强度、等宽度的清晰细锐条纹. 一般来讲，要使条纹清晰，A和B之间的距离并不唯一. 解决此问题的方法是，先粗测条纹清晰时诸条纹间距D和两光栅之间的距离0z. 利用式(4)先估算出，只取1的那些数据，在这些数据中，根据式(5)，又只取D最大的那个组数据，此时已能
9、够确认1. 观察到的条纹如图 3(a),反复测量D和0z，得到的实验数据如表 1. 利用这些数据，即可较为准确的测出出相关参数.我们取置信度为 95%，得到的诸参数的置信区间为 0.20180.0012 mmD ， (13a) 0z423.12.5 mm， (13b) 再利用式(4)及不确定度的传递公式8-9即可求得透镜焦距 171.20.7 mmf . (13c) 此值与生产厂家的推荐值170mm较为接近. 顺便提及的是，在测量中除了上述位置条纹较清晰细锐外，实验中还观察到在0z22.05mm和0z28.45mm的两个位置条纹较清晰，此时条纹的间距分别为0.1888mmD 和0.1009mm
10、D ，据式(4)可估计得两处的、分别是1.0612、2.0418和1.9857、29.6105，都几乎是整数，但不满足条件1，因此不是最适宜测量的位置. 表表 1 1 LauLau 效应测量效应测量透镜焦距透镜焦距 n / mmD 0z / mm n/ mmD 0z / mm 1 0.2036 420.8 6 0.2021 424.7 2 0.2023 424.5 7 0.2028 422.9 3 0.2001 428.9 8 0.2008 423.0 4 0.2002 423.9 9 0.2026 420.4 5 0.2012 420.8 10 0.2024 421.1 表表 2 2 Lau
11、Lau 效应测量效应测量光波光波波长波长 n / mmD 0z / mm n / mmD 0z / mm 1 0.1915 454.1 6 0.1950 459.1 2 0.1848 458.7 7 0.1926 451.3 3 0.1870 457.1 8 0.1900 456.6 4 0.1849 461.0 9 0.1825 457.7 5 0.1900 463.0 10 0.1905 460.7 图 3 测微目镜下所观察到的双光栅 Lau 效应图像 (a)波长为 589.3nm 的钠黄光入射的条纹；(b)波长待测的绿光入射的条纹. 条纹已调至清晰等强状态以确保1. (a)(b)1mm3
12、.33.3 测量光波波长测量光波波长 将光源S换位扩展白光光源，并在其前面加上一个绿色滤波片，用同样的方法将仪器调至待测量状态，观察到的图像如图 3(b)，并反复测量D和0z得到的实验数据如表 2. 同样取置信度为 95%，得到的诸参数的置信区间为 0.18880.0026 mmD ， (14a) 0z457.92.4 mm， (14b) 再利用式(1)及不确定度的传递公式即可求得待测绿光波长 546.02.8 nm. (14c) 此值确实落在绿光波长范围内，相对不确定度在0.6%以内，产生此误差的原因将在文章最后提及. 4 4 L Lauau 效应测量效应测量透明介质透明介质折射率折射率 4
13、 4.1.1 实验装置实验装置 基于小节 2 中的讨论，我们利用 Lau 效应来测量玻璃砖的折射率，实验装置如图 4. 两块玻璃砖可置于分光计载物台上，利用分光计可以测出玻璃砖绕y轴转动角度.其中，第一块玻璃砖的折射率已知为11.5n . 以钠光灯入射，调节分光计至可使用状态，取下平行光管的狭缝，调节两光栅A、B以及玻璃砖 1 至高度平行状态，此时，可在望远镜中观察到清晰锐利的黄色条纹，实验装置调试完毕. 4 4.2.2 测量玻璃砖测量玻璃砖的的折射折射率率 在已经调节好的实验装置中，稍稍转动玻璃砖1，在望远镜中观察到移动 15 条条纹，多次测量玻璃砖转角1；同样地，换用玻璃砖 2 并转动，测
14、出移动 15 条条纹时玻璃砖的转角2. 两块玻璃砖的厚度1h、2h可用游标卡尺测定. 实验数据列在表 3中. 利用这些数据，我们取置信度为 95%，得到的诸参数的置信区间为 117.580.09 mmh ， (15a) 26.760.05 mmh ， (15b) 17.040.04， (15c) 27.420.03， (15d) 图图 4 4 L Lauau 效应测量效应测量玻璃砖折射率玻璃砖折射率 此图展示本实验装置：相比于图2 所示实验，本实验在两全同光栅A和B(型号 GT-RG-TN2303，尺寸 63.6 63.5mm，光栅参数 5m/50m)之间增加了一块透明玻璃砖，其被放置在分光计载物台上，可由分光计读出其绕y轴转动角度. z0hfQPLGBAyzxTS再根据以上结果，再利用式(12)、11.5n 以及不确定度的传递公式8-9，可以得到玻璃砖 2 的折射率为 21.470.02n . (15e) 可见，两块玻璃砖折射率较为相近，可能是同种材料的玻璃砖. 表表 3 Lau3 Lau 效应测量效应测量玻璃砖玻璃砖折射率折射率 n 1/ mm 2/ mm 1 703 1835 2 700 1818 3 659 1822
