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1、选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 高中高中数学数学向量专题向量专题 【本章学习目标】【本章学习目标】 1.理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念.掌握向量的加法和减法.掌握实数与向量的积， 理解两个向量共线的充要条件. 2.掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用，掌握平移公式.掌握平面向 量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件. 3.了解平面向量的基本原理，理解平面向量的坐标的
2、概念，掌握平面向量的坐标运算.掌握正弦定理、余弦定理， 并能初步运用它们解斜三角形. 向量是高中数学的新增内容，作为数形结合的有力工具，它的应用极其广泛，在复数、平几、解几、立几、物理 等知识中均有涉及. 本章在系统地学习了平面向量的概念及运算的基础上，突出了向量的工具作用，利用向量的思想方法解决问题是 本章特点的一个方面，向量本身具有数与形结合的双重身份，这为解决问题过程中充分运用数形结合的思想方法创造 了条件.通过本章学习，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力. 【基础知识精讲】【基础知识精讲】 1.向量的定义 既有方向，又有大小的量叫做向量.它一般用有向线段表示. AB表示从点 A 到
3、 B 的向量(即 A 为起点，B 为终点的向量)，也可以用字母 a a、b b、c c等表示.(印刷用黑体 a a、b b、c c，书写用a、b、c注意：长度、面积、体积、质量等为数量，位移、速度、力等为向量). 2.向量的模 所谓向量AB的大小，就是向量AB的长度(或称模)，记作AB或者a.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. 3.零向量与单位向量： 长度为 0 的向量称为零向量，用0表示. 0向量的方向是不定的，或者说任何方向都是0向量的方向，因此0向量有两个特征：一长度为 0；二是方向不定.长度为 1 的向量称为单位向量. 4.平行向量、共线向量 方向相同或相反的非零向量称为平行向
4、量.特别规定零向量与任一向量都平行.因此， 零向量与零向量也可以平行.根据平行向量的定义可知：共线的两向量也可以称为平行向量.例如AB与BA也是一对平行向量. 由于任何一组平行向量都可移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量.例如，若四边形 ABCD 是平行四边形，则向量AB与CD是一组共线向量；向量AD与BC也是一组共线向量. 5.相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，若向量a与向量b相等，记作a=b.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. 【重点难点解析】【重点难点解析】 通过本节学习，应该掌握：(1)理解向量、零向量、单
5、位向量、相等向量的概念；(2)掌握向量的几何表示，会用 字母表示向量；(3)了解平行向量的概念及表示法，了解共线向量的概念. 例例 1 1 判断下列各命题是否正确 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (1)若a=b，则a=b (2)若 A、B、C、D 是不共线的四点，则AB=DC是四边形 ABCD 是平行四边形的充要条件. (3)若a=b,b=c,则a=c (4)两向量a、b相等的充要条件是 (5)a=b是向量a=b的必要不充分条件. (6) AB=CD的充要条件是 A 与 C 重合，B
6、与 D 重合. 解：解：(1)不正确，两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同. (2)正确.AB=DC,AB=DC且ABDC. 又 A、B、C、D 是不共线的四点. 四边形 ABCD 是平行四边形，反之，若四边形 ABCD 是平行四边形则ABDC，且AB与DC方向相同，因此AB=DC. (3)正确.a=b a，b的长度相等且方向相同； 又b=c b，c的长度相等且方向相同. a，c的长度相等且方向相同，故a =c (4)不正确.当ab,但方向相反，即使a=b，也不能得到a=b，故 不是a=b的充要条件. (5)正确.这是因为| b | a |a=b,但a=ba=b,所以a=b是a =b的必
7、要不充分条件. (6)不正确.这是因为AB=CD时，应有：AB=CD及由 A 到 B 与由 C 到 D 的方向相同，但不一定要有 A选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 与 C 重合、B 与 D 重合. 说明：针对上述结论(1)、(4)、(5)，我们应该清醒的认识到，两非零向a、b相等的充要条件应是a、b的方向相同且模相等. 针对结论(3)，我们应该理解向量相等是可传递的. 结论(6)不正确，告诉我们平面向量a与b相等，并不要求它们有相同的起点与终点.当然如果我们将相等的两向量的起点平移到同
8、一点.则这时它们的终点必重合. 例例 2 2 如图所示，ABC 中，三边长AB、BC、AC均不相等，E、F、D 是 AC，AB，BC 的中点. (1)写出与EF共线的向量. (2)写出与EF的模大小相等的向量. (3)写出与EF相等的向量. 解：解：(1)E、F 分别是 AC，AB 的中点 EFBC 从而，与EF共线的向量，包括： FE，BD，DB，DC，CD，BC，CB. (2)E、F、D 分别是 AC、AB、BC 的中点 EF=21BC,BD=DC=21BC. 又AB、BC、AC 均不相等 从而，与EF的模大小相等的向量是：FE、BD、DB、DC、CD (3)与EF相等的向量，包括：DB、
9、CD. 例例 3 3 判断下列命题真假 (1)平行向量一定方向相同. (2)共线向量一定相等. (3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量. (4)不相等的向量，则一定不平行. (5)非零向量的单位向量是 aa. 解：解：(1)假命题，还可以方向相反； (2)假命题，共线向量仅方向相同或相反；大小不一定相等； (3)真命题，因为向量与起点位置无关； 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 (4)假命题，因为若a,b方向相同，但只要ab，则ab. (5)真命题，任一非零向量：a的单
10、位向量为 aa. 例例 4 4 如图，已知：四边形 ABCD 中，N、M 分别是 AD、BC 的中点，又AB=DC. 求证：CN=MA， 证明：证明：AB=DC AB=DC，且 ABDC.从而，四边形 ABCD 是平行四边形. ADBC，AD=BC N、M 分别是 AD、BC 的中点. AN=21AD,MC=21BC. AN=MC. 又 ANMC， 四边形 AMCN 是平行四边形.于是得：AMNC，AM=NC. 又由图可知：CN与MA的方向一致. CN=MA 【难题巧解点拔】【难题巧解点拔】 例例 1 1 如图， 已知四边形 ABCD 是矩形， O 是两对角线 AC 与 BD 的交点， 设点集
11、 M=A,B,C,D,O、 向量的集合 T=PQ任 P，QM，且 P、Q 不重合，试求集合 T 的子集个数. 分析：分析：要确定向量为元素的集合 T 有多少个子集，就需搞清楚集合 T 中有多少个相异的向量. 解：解：以矩形 ABCD 的四顶点及它的对角线交点 O，五点中的任一点为起点，其余四点中的一点为终点的向量共有 20选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 个，但是这 20 个向量不是各不相等的，我们下面将这 20 个向量一一列举出来：AO=OC、OA=CO;DO=OB、BO=OD;AC、
12、CA；BD、DB；AD=BC、DA=CB;AB=DC、BA=CD.它们中有 12 个向量是各不相等的.故 T 是一个 12 元集.所以 T 有 212个子集. 说明：说明：在上述解题过程中，我们一定要根据集合元素的互异性.算出 T 中的元素个数为 12.而不是 20.这样才能得 到正确的结果. 例例 2 2 已知；如图，点 D 在ABC 的边 BC 上，且与 B、C 不重合，E、F 分别在 AB、AC 上，DF=EA. (1)求证：BDEDCF. (2)求当 D 在什么位置时，四边形 AEDF 的面积可以取到最大值? 证明：证明：(1)DF=EA DFAE，DF=EA. 从而，得：四边形 AE
13、DF 是平行四边形 DEAF，DE=AF 由 DEAF 可得：BDE=C 由 DFAE 可得：B=FDC BDEDCF (2)设BC=a,AC=b,AB=c,BD=x,则DC=a-x. BDEDCF. CDBD=DFBE=FCED从而，xBE=xaDF，设比为 k1. xED=xaFC，设比为 k2. 由BE+DF=c,ED+FC=b. 可得：xk1+(a-x)k1=c,k1=ac. xk2+(a-x)k2=b,k2=ab. DF=ac(a-x) 选校网 高考频道 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 选校网 专业大全 历年分数线 上万张大学图片 大学视频 院校库 DE=
14、abx 由点 F 作 FTAB，垂足为 T 由锐角三角函数，FT=AFsinA=abxsinA SAEDF=DFFT=ac(a-x)abxsinA =2abc(ax-x2)sinA =2abc42a-(x-2a)2sinA 4bcsinA 当且仅当 x=2a时，等号成立. 答：D 是 BC 边的中点时，SAEDF取到最大值. 例例 3 3 如图 A1，A2，A8是O 上的八个等分点，则在以 A1，A2A8及圆心 O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个?模等于半径2倍的向量有多少个? 分析：分析：(1)由于 A1、A2A8是O 上的八个等分点，所以八边形 A1A2A8
15、是正八边形，正八边形的边及对角线长均与O 的半径不相等.所以模等于半径的向量只可能是iOA与OAi (i=1,2,，8)两类. (2)O 内接正方形的边长是半径的2倍，所以我们应考虑与圆心 O 形成 90圆心角的两点为端点的向量个数. 解：解：(1)模等于半径的向量只有两类，一类是iOA (i=1,2，8)共 8 个；另一类是OAi (i=1,2,8)也有 8个，两类合计 16 个. (2)以 A1，A2，A8为顶点的O 的内接正方形有两个，一是正方形 A1A3A5A7；另一个是正方形 A2A4A6A8.在题中所述的向量中， 只有这两个正方形的边(看成有向线段， 每一边对应两个向量)的长度为半径的2倍.所以模为半径2倍的向量共有 422=16 个. 说明：说明：(1)在模等于半径的向量个数的计算中，要计算iOA与
