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1、損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討A Discussion of Modified EOQ Models for Deteriorating Items with Anticipative Rise in Price賴尚憲Shang-Hsien Lai 聖約翰科技大學 工業工程與管理系 Department of Industrial Engineering and Management , St. Johns University摘 要現實中，有許多物料隨著時間發生腐敗、毀損、揮發、變質或失效等損耗外，還會因原料、工 資、資源等因素價格上漲的影響下，進而宣佈在某一時間調高物料之價格，所以本論
2、文探討如何決 定損耗性物料，在預期上漲之前的最佳訂購特別量的問題，並提供實例數據加以驗證。關鍵詞：損耗性物料、經濟訂購量、預期漲價ABSTRACTIn reality, some supplied materials occur the corruption, damage . evaporation, deterioration or ineffectiveness by time. Moreover, due to the prices of some factors, such as raw materials, wage and resource, rise up, the price
3、 of supplied materials would also be announced to increased anticipatively. Consequently, this article focuses on the issue of how to decide the best quantity for the orders before the price increase of supplied materials and provides some numerical examples to confirm the results of a novel mathema
4、tical model.Key words : Deteriorating Item, Economic Order Quantity, Anticipative Rise in Price聖約翰學報 第二十五期 損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討163聖約翰學報 第二十五期 損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討164壹、緒論現實生活中，大多數的存貨在庫存的過程中， 會由於儲存時間的長久，而發生腐敗、毀損、揮 發、變質或失效等現象，如酒精、汽油、血液、魚 類、蔬果及放射性物質等存貨的價值與數量，因此 而減低，此種具有損耗特性的物料，稱為損耗性物 料。由於損耗性物料會產生額外的成本，如果探討 的物
5、料中有損耗品，在存貨模式的架構中卻未加入 損耗性的因素，將很難獲得正確的存貨模式，導致 做出錯誤的決策，造成更大的損失。最早大多數的存貨模式均不考慮損耗性因素， 如Tersine【8】利用微分法探討EOQ， Martin【6】利 用微分法探討暫時降價模式之EOQ，Wee et al.【10】 利用代數法求暫時降價模式之EOQ，Cardenas-Barron 【1】亦利用代數法求允許短缺的EOQ，上述學者均 未考慮損耗性因素，首先考慮損耗性物料的學者是Hadley 與Whitin【5】，至於損耗性存貨經濟訂購模 式，最早由Ghare和Schrader【4】提出，他假設物料 損耗服從時間的指數分配
6、，Covert和Philip【3】提出 韋伯分配的損耗率模式，Tadikamalla【7】提出不允 許短缺且損耗率服從伽瑪分配之模式，Cohen【2】 假設物料損耗率服從指數分配，並分別提出不允許 短缺與允許短缺兩種存貨模式。Wee 與Yu【9】探討 暫時性價格折扣的損耗性存貨模式。本論文探討係 依物料損耗率服從指數分配，與其他文獻不同點在 於討論不同的模式圖形(圖3-1)、 (圖3-2)及損耗成本 不同的表示方式。同時，實際採購狀況中，供應商在某些因 素，如石油、電力等資源價格、工資上漲、或原料 成本增加的影響下，宣佈在某一個時間點，將要對 其供應的物料價格調高，此時工廠將會採取對應之措施，
7、即在價格上漲之前的最後一次，以原來的價 格，採購較多的該項物料，期望減少之後以較高價 格採購的損失，但隨之而來，持有成本將會提高， 這也是必須慎重考慮的問題，因此如何決定損耗性 物料在預期上漲之前的最佳訂購特別量，即為本論 文探討的重點。貳、基本假設與符號說明一、模式假設說明EOQ 模式係對外採購物料之最經濟的批次訂購量，可以獲得最小的存貨總成本與最大的經濟效 益，今我們探討其模式係基於下列假設:1.不考慮前置時間 2.討論單一物料在固定期間之存貨狀況 3.需求率與損耗率為已知且為一常數 4.無限補貨率 5.不允許缺貨 6.每次訂購之數量, 資金與可以擺放的空間都不限制 7.沒有數量折扣二、模
8、式符號說明依上述的假設，探討EOQ 模式所使用的數學符 號說明如下:D =需求率Ck =每次物料之單價Cs =每次訂購成本B =每年每元之持有成本率d =漲價的差額K =損耗率Q =每批之訂購量Q =以原價 訂購之訂購特別量Q0 =以原價 訂購之最佳訂購量TC =總成本TC =訂購特別量之總成本q =訂購時之存量t0 =訂購時刻t1 =漲價時刻G =成本節省值參、數理模式推導一、漲價前，在正規補貨時刻訂購:現在假設某物料之訂購單價 Ck， 在 t1 時將上漲為 Ck + d，為了減少以較高價格訂購之損失，因此我 們決定在 t1 之前 t0（ t0 t1）訂購特別量 Q，為了 簡單起見，t0 落
9、在正規補貨的時間上，但下一次的訂 購時間 t3 須以 Ck + d 的價格訂購。本論文現在探討當 t0 時以 Ck 訂購 Q，與 t0 時以 Ck 訂購 Q0 一次， t2 以後每次以 Ck + d 訂購 Q0 作比 較，試求最佳訂購特別量 Q0 。聖約翰學報 第二十五期 損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討165(7）式中第一項為物項成本,第二項為訂購成本，第 三項為持有成本，第四項為損耗成本。 當 t0 時訂購 Q0 之 存貨水準為, (8) , t =0 (9)從Wee and Yu (1997)得知 T0 (10)如果在 t0 時，以 Ck 訂購 Q0 一次，t2 以後每次以 Ck +
10、d 訂購 Q0 ，則在期間 t0 至 t3 的總成本為 (11)(11）式中第一、二項為物項成本，第三、四項為訂 購成本，第五、六項為持有成本，第七、八項為損 耗成本。欲求未漲價時點之最佳訂購特別量，必需求TC與TC 兩者之差的最大值。令 G ( T )= TC - TC (12)且 (13)利用Maple數學軟體解（13）方程式之 T ，然後將T 代入G（T）即可得最大節省成本值，再將 T 代 入（6）式求 Q，即為未漲價時點之最佳訂購特別量 Q0 。3-1 漲價前,在正規補貨時刻訂購的情況上述之 Q0 為以原價 Ck 訂購之最佳訂購量，從Wee and Yu (1997) 得知為(1)(2
11、 KBCDCQKS O+=Qo Q 存量時間OT to t1 t2 t3 T 如圖3-1存貨水準之微分方程式的通式為(2)(3)方程式(2)與(3)之解為Q(t) = , (4)當 t0 時訂購特別量 Q 之存貨水準為Q (t) = , (5) Q = , t = 0 (6)當在 t0 時（t0 t1 ）以原價 Ck 訂購特別量 Q（ Q Q0 ），而在期間 t0 至 t3 之總成本為( 7),0)()(=+DtKQdttdQTt 0 1)(tTKeKDTt 0 1)(tTKeKD 1TKeKDTt 0 1)(tT0KeKD 1T0KeKD)(2 KBDCCKS +0)( =dTTdG00Tt
12、 聖約翰學報 第二十五期 損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討1663-2 漲價前,不在正規補貨時刻訂購的情況(18)(18）式中第一項為物項成本，第二項為訂購成本， 第三項為持有成本，第四項為損耗成本。 當 t2 時訂購 Q0 之存貨水準為(19) (20)從Wee and Yu (1997)得知 T0 (21)在T 期間 ( t2 以後每次以Ck + d 訂購 Q0 )之總成本 為 (22) (22)式中第一、二項為物項成本，第三項為訂購 成本，第四、五項為持有成本，第六、七項為損耗 成本。欲求未漲價前之最佳訂購特別量，必需求TC與TC 兩者之差的最大值。令 (23)二、漲價前，不在正規補貨
13、時刻訂購: 現在假設某物料之訂購單價 Ck ，但供應商因工資上漲或原料成本增加的影響之下，宣佈在 t1 時上 漲為 Ck + d ，因此工廠為了減少以較高價格訂購之 損失，決定在 t1 之前 t0 ( t0 t1 ) 以單價 Ck 訂購特 別量 Q ( Q Q0 )，而且 t0 當時之存貨水準為 q ， 但下次訂購的時間 t2 之後須以 Ck + d 的價格訂購。現在探討當 t0 時以 Ck 訂購 Q 與 t2 以後每次以 Ck + d 訂購 Q0 分別的情況作比較，試求最佳訂購 特別量 Q0。Qo q + Q 存量 時間To to t1 t2 t3 T q Q Tq當 t0 時訂購特別量 Q
14、 之存貨水準為(14) (15)(16)(17)當在 t0 時（ t0 t1 ）以原價 Ck 訂購 Q （當時之存貨水準為 q ），而在期間 t0 至 t3 之總成本為)(tQ= 1)(tTKeKD, 0Tt q+Q= 1KTeKD, t =0q(t)= 1)(tTKqeKD, 0Tt qq= 1qKTeKD, t = 0 OQ)(t= 1)(0tTKeKD, 00Tt OQ= 10KTeKD, t=0)(2 KBDCCKS +聖約翰學報 第二十五期 損耗性物料預期漲價模式EOQ之探討167表4-1 玩具之銷售資料表5-1 D之敏感度分析K 六參數作敏感度分析，其方法係將此六參數各取 七個固定變化值0%、10%、20%、30%代入模式 中，利用maple軟體分析其 Q0 、 T、 Q 及 的變化分 別如表5-1、表5-2、表5-3、表5-4、表5-5及表5-6。圖5-1、圖5-2、
