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1、数字信号处理中离散傅里叶变换的物理数字信号处理中离散傅里叶变换的物理 意义意义HolaMirai0.前言. 11.为什么要进行傅里叶变换. 12. 傅里叶变换的物理解释. 52.1 从宏观上认识傅里叶变换.63. 模拟信号与数字信号之间相互转换的理论基础.113.1 模拟信号到数字信号.113.2 由数字信号重建原始信号.134. 数字信号处理中的傅里叶变换.214.1 非周期系列的傅里叶变换（序列的傅里叶变换 DTFT）224.2 周期序列的傅里叶变换（序列的傅里叶级数 DFS）.225. 序列的周期性. 276. 一个实际例子. 297. 参考文献.318. 附录.32附录程序一. 32附
2、录程序二. 33附录程序三. 34附录程序四. 34数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义10.前言前言在信号分析、处理领域，傅里叶变换是最主要的分析工具，得益于傅里叶变换， 工程师们才能将各种复杂无序的信号分解成一定频率的正弦信号和余弦信号的叠加， 然后从已知正弦信号和余弦信号的特性出发，分析出原来信号的某些特性。需要说明的是，傅里叶变换并没有改变我们的研究目标，我们的研究目标一直是时域的信号 f（t），傅里叶变换只是让我们能从另外一个角度来研究问题，因为当 f（t）并不是常见的正弦或余弦信号时（或其他规律的信号），如果再在时域分析，那么我们将无法分析，因为在时域里面，我们只知道正弦或余弦信
3、号的特性，其他形式的信号特性我们没有分析过，这就引出了傅里叶变换， 傅里叶变换恰好能够将其他形式的信号分解成由不同频率正弦信号（也可以用余弦信号，两则本质上是一样的，下同）的叠加。1.为什么要进行傅里叶变换为什么要进行傅里叶变换事物的外在表现形式是多样的，从不同角度去看问题，可以发现事物的不同特性， 人认识事物的过程是通过观察事物的外在表现形式（现象），从而了解事物的本质。马克思主义辩证法和认识论告诉我们现象与本质是对立统一的辩证关系，对立表现在：现象是事物的外在方面，是表面的、多变的、丰富多彩的；本质是事物的内在方面，数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义2是深藏的、相对稳定的、比较深刻、单
4、纯的。因而现象是可以直接认识的，本质则只能间接地被认识。 统一表现在：两者是相互依存的。现象是本质的现象，本质是现象的本质。也就是说，本质只能通过现象表现出来，现象只能是本质的显现，他们之间是表现和被表现的关系。两者是相互蕴涵的。本质寓于现象之中，这是非常明显的，本质只有通过现象表现出来才能被人认识。反过来，本质也包含现象，因为现象尽管是多种多样的、纷繁复杂的，但毕竟是由本质决定的，早已潜在地包含于本质之中。因此，对于一个信号，时域和频域均是信号多方面的外在表象，一方面，我们可以直接从时域去观察该信号，但可能不能获得足够多关于本质的信息，另一方面，当我们从频域去观察该信号时，也许可以获得足够多
5、关于本质的信息。然而事物的本质无法被彻底认识的，我们只有不断的接近它，就目前我们了解的信号的本质是：对于任意的信号 f（t），都可以看做是由一系列不同频率、幅度、相位的正弦信号叠加而成的复合信号（该本质是我自己的理解，不一定完全正确）。图 2- 1 可以形象的表示从不同方面观察同一事物在认识事物中的作用，中间这幅图好比是时域信号，看起来没有规律，而其实在看似杂乱无章的表面下，内部有着巧妙的规律。那我们是否能说该幅图的本质就是图中的两句话呢？答案是不能， 因为也许还有我们尚未发现的规律，但是至少现在看起来不再是杂乱无章的了。数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义3图 2- 1 变换角度看事物俯瞰
6、中间这幅图，不能发现该图想表达的意思；闭上一只眼，从下往上看，发现“我愿一直守护在你身边”的汉字；从左往右看，发现“直到我永远停止呼吸为止”汉字。认识事物是一个过程，有许多不同的方法，比如局部到整体，特殊到一般.,对傅里叶变换的认识，我们可以用特殊到一般的方法，先研究周期信号的傅里叶级数 （特殊） ， 再推理到非周期信号 （一般） 。由傅里叶级数推导出傅里叶变换，然后反过来定义傅里叶级数。以下是人们认识傅里叶变换的过程，可以看出，人们认识傅里叶变换正是数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义4由特殊到一般的过程。1757年,法国数学家克莱罗在研究太阳引起的摄动时,大胆地采用了三角级数表示函数：1
7、0cos2)(nnnxAAxf（ 1- 1 ）20dcos)(21xnxxfAn：其中。1759 年,拉格朗日在对声学的研究中使用了三角级数.1777年,欧拉在天文学的研究中,用三角函数的正交性得到了将函数表示成三角函数时的系数.也就是现今教科书中傅立叶级数的系数.1753 年，丹贝努利首先提出将弦振动方程的解表示为三角级数的形式，这为傅立叶级数题奠定了物理基础,促进了它的发展。1822 年,傅立叶在 热的解析理论 一书中对于欧拉和贝努利等人就一些孤立的,特殊的情形采用的三角级数方法进行加工处理,发展成一般理论。傅立叶指出：任意定义在),(上的函数)(xf，当满足狄利克雷（Dirichlet）
8、收敛条件时，函数)(xf可以展开成级数10)sincos(2)(nnnnxbnxaaxf( 1- 2 )其中：.)2 , 1 , 0(dcos)(1nxnxxfan；.)2 , 1(dsin)(1nxnxxfbn。公式( 1- 2 )的另一种表示方式为：10)sin(2)(nnnnxAaxf( 1- 3 )其中各系数可以按如下方式求得：数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义5将公式 ( 1- 3 )三角展开得)sincoscossin(2)sin(2)(1010nxAnxAanxAaxfnnnn nnnn（ 1- 4 ）公式( 1- 2 ) ( 1- 3 )的右边相等，即可知 .)2 , 1(
9、dsin)(1cos.)2 , 1 , 0(dcos)(1sinnxnxxfbAnxnxxfaAnnnnnn （ 1- 5 ）nnA,是未知数，解方程组（ 1- 5 ）可求得nnA,。因此，傅里叶级数形式 ( 1- 3 )反映在数学上，是把一个复杂的周期为2的函数 f（x）表示为各类正弦函数)sin(nnnxA的叠加，反映在物理上，则是把一个复杂的周期为2的信号 f（t）表示为各类正弦信号)sin(nnntA的叠加。当函数的周期不是2时，设其周期为l 2，相应的傅里叶级数为10)sincos(2)(knnlxnblxnaaxf（ 1- 6 ）其中： llnllnnxlxnxflbnxlxnxf
10、la), 2 , 1(dsin)(1), 2 , 1 , 0(dcos)(12.傅里叶变换的物理解释傅里叶变换的物理解释数字信号处理是一名集理论与实践性很强的学科， 傅里叶变换如果单纯从数学上来分析可能会显得很枯燥。 作为一名不是数学专业的数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义6工科生，我们所使用的每一个公式，都应该有其物理意义，我们之所以一直不能理解记忆傅里叶变换， 那是因为大学时老师只是一遍又一遍的推导傅里叶变换的公式，各种特定信号的傅里叶变换形式，以及各种各样的结论，但从来不讲为何要这样变换，变换的目的是什么，变换会对信号的物理表现形式产生什么影响。以下，我将从物理学角度解释傅里叶变换的
11、意义。2.1 从宏观上认识傅里叶变换傅里叶变换的宏观解释就是将一个信号分解成一系列不同幅度、频率、相位的正弦信号的叠加，以下详细说明。对正弦函数tftf02sin)(（ 2- 1 ）我们称信号 f（t）是频率为 f0的周期函数，称正弦信号tf 02sin的频率为 f0。称002 fw为正弦信号tf 02sin的角频率。注意，由于角频率0w和频率 f0只是乘于2的关系， 本质上表示的是同一个事物，因此下文中为了表示方便，有时也直接称角频率为频率，读者可以从符号上看出来到底是指角频率还是频率，特此说明。周期信号周期信号（傅里叶级数傅里叶级数 FS）为了解释傅里叶变换的物理意义， 我们先来分析周期信
12、号的傅里叶变换，再来分析一般的非周期信号，傅里叶级数即是周期信号的傅里叶变换。大学高数课上我们学过，满足狄利克雷( Dirichlet )条件的周期函数可以展开成傅里叶级数的形式， 傅里叶级数是傅里叶变换的数字信号处理中离散傅里叶变换的物理意义7一种特殊情形（信号是周期的，所以频率离散，这个后面会详细讲）。以下以一个例子来解释如何对一个周期信号进行分解：考虑一个信号 f（t）是周期为2的周期函数 , 它在上的表达式为 tttf0101)( 2- 2)图 2- 2 f（t）信号的时域波形将其展开为傅里叶级数，先求其系数 an和 bn：),2,1,0(0dcos11dcos) 1(1dcos)(100ntnttnttnttfan( 2- 3 ） ,.6 , 4 , 2n0,.5 , 3 , 14 ) 1(12cos12cos1cos1dsin11dsin) 1(1dsin)(10000当当nnnnnnnt nnttnttntx
